Universit`a degli Studi di Palermo Facolt`a di Economia

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Universit` a degli Studi di Palermo

Facolt` a di Economia

Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche “Silvio Vianelli”

Argomenti del Precorso di

Matematica Generale

V. Lacagnina A. Pecorella

2006–2007

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Capitolo 1. GLI INSIEMI 7

Premessa 7

1.1. Notazioni (insieme, elemento, appartenenza) 7 1.2. Descrizione di un insieme (1 ^◦ metodo) 7 1.3. Notazioni (quantificatore esistenziale ed universale) 8 1.4. Descrizione di un insieme (2 ^◦ metodo) 9

1.5. Definizione di uguaglianza 9

1.6. Definizione di sottoinsieme 9

1.7. Principio di doppia inclusione 10

1.8. Definizione di non contenuto 10

1.9. Definizione di insieme vuoto 10

1.10. Definizione di insieme delle parti 10

1.11. Definizione di insieme unione 11

1.12. Definizione di insieme intersezione 12

1.13. Definizione di insieme differenza 12

1.14. Definizione di prodotto cartesiano 12

1.15. Definizione di coppie uguali 13

1.16. Esercizi di riepilogo 16

Capitolo 2. GLI INSIEMI NUMERICI 17

Premessa 17

2.1. I Numeri Naturali 17

2.2. I Numeri Interi Relativi 17

2.3. Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi 18

2.4. I Numeri Razionali 18

2.5. Definizione di insieme discreto 19

2.6. Densit` a di Q 19

2.7. Propriet` a dei numeri reali 21

2.8. La retta cartesiana 22

2.9. Convenzioni (interi, razionali e reali positivi e negativi) 22

Capitolo 3. LA FUNZIONE 25

Premessa 25

3.1. Definizione di funzione 26

3.2. Definizione di piano cartesiano 29

3.3. Definizione di grafico di una funzione 30 3.4. Criterio per stabilire il grafico di una funzione 31 3.5. Definizione di insieme delle immagini 31

3

(4)

4 V. Lacagnina A. Pecorella

3.6. Definizione di funzione reale di variabile reale 32

3.7. Esercizi di riepilogo 35

Capitolo 4. LA RETTA 37

Premessa 37

4.1. Definizione di luogo geometrico 37

4.2. Definizione di rette perpendicolari e parallele 41 4.3. Coefficiente angolare retta passante per 2 punti 42 4.4. Retta passante per un punto con coefficiente angolare m 42

4.5. Retta passante per due punti 43

4.6. Esercizi di riepilogo 47

Capitolo 5. LA PARABOLA 49

5.1. Definizione di parabola 49

5.2. Equazione della parabola 50

5.3. Osservazioni di carattere generale sulla parabola 53

5.4. Esercizi di riepilogo 55

Capitolo 6. EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO 57

Premessa 57

6.1. Equazioni di primo grado 58

6.2. Equazioni di secondo grado 58

6.2.1. Equazione spuria 59

6.2.2. Equazione pura 61

6.2.3. Equazione completa 61

6.3. Relazione tra radici e coefficienti dell’equazione 63 6.4. Decomposizione di un’equazione di secondo grado 64

6.5. Esercizi di riepilogo 67

Capitolo 7. DISEQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO 69

Premessa 69

7.1. Definizione di insieme numerico 69

7.2. Definizione di minorante 69

7.3. Definizione di maggiorante 69

7.4. Definizione di insieme limitato 69

7.5. Definizione di intervallo 70

7.6. Definizione di sistema esteso dei numeri reali 71

7.7. Disequazioni di primo grado 72

7.8. Disequazioni di secondo grado 75

7.9. Esercizi di riepilogo 78

Capitolo 8. SISTEMI DI DISEQUAZIONI E DISEQUAZIONI

RAZIONALI FRATTE 79

Premessa 79

8.1. Definizione di soluzione di un sistema di disequazioni 79

8.2. Definizione di disequazione razionale fratta 81

8.3. Definizione del segno di un polinomio 81

(5)

8.4. Esercizi di riepilogo 85 Capitolo 9. RELAZIONE FRA GRADO E NUMERO RADICI,

EQUAZIONI BINOMIE E TRINOMIE 87

Premessa 87

9.1. Teorema fondamentale dell’algebra 88

9.2. Definizione di complesso coniugato 88

9.3. Teorema II 89

9.4. Corollario I 89

9.5. Numero soluzioni di un’equazione 89

9.6. Definizione di equazioni binomie 90

9.7. Definizione di equazioni trinomie 91

9.8. Esercizi di riepilogo 93

Capitolo 10. I POLINOMI 95

Premessa 95

10.1. Definizione di polinomio 97

10.2. Definizione di polinomio nullo 97

10.3. Definizione di radice di un polinomio 97 10.4. A(x) divisibile per (x − α) ⇔ A(α) = 0 98

10.5. Regola 101

10.6. Esercizi di riepilogo 107

Capitolo 11. EQUAZIONI RECIPROCHE 107

Premessa 107

11.1. Definizione di equazione reciproca 107 11.2. Equazione reciproca di terzo grado prima specie 109

11.3. Esercizi di riepilogo 113

Capitolo 12. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON IL VALORE

ASSOLUTO 115

Premessa 115

12.1. Definizione di valore assoluto di un numero reale 116

12.2. Esercizi di riepilogo 126

Capitolo 13. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 127

Premessa 127

13.1. Propriet` a delle potenze ad esponente intero 127 13.2. Equazioni irrazionali: indice della radice n dispari 128 13.3. Equazioni irrazionali: indice della radice n pari 128

13.4. Disequazioni irrazionali 132

13.5. Disequazioni irrazionali: indice della radice n dispari 132 13.6. Disequazioni irrazionali: indice della radice n pari 133 13.7. Propriet` a degli operatori irrazionali 137

13.8. Esercizi di riepilogo 140

Capitolo 14. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

E LOGARITMICHE 141

(6)

6 V. Lacagnina A. Pecorella

14. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo 141

14.1. La funzione esponenziale 141

14.2. La funzione logaritmo 143

15. Equazioni esponenziali 146

16. Equazioni logaritmiche 148

17. Disequazioni esponenziali 152

18. Disequazioni logaritmiche 154

Capitolo 15. CENNI DI TRIGONOMETRIA 157

Premessa 157

15. Funzioni trigonometriche e formule di trasformazione 158 15.1. Funzioni trigonometriche e relative propriet` a 158

15.2. Funzioni inverse 164

15.3. Formula di trasformazione delle funzioni trigonometriche 164

15.3.1. Formule notevoli 164

15.3.2. Archi complemetari: 165

15.3.3. Archi che differiscono di ^π ₂ : 165

15.3.4. Archi supplementari: 165

15.3.5. Archi che differiscono di π: 165

15.3.6. Archi opposti: 165

15.3.7. Formule di addizione e sottrazione 165

15.3.8. Formule di duplicazione 166

15.3.9. Formule di bisezione 166

15.3.10. Formule parametriche 166

15.3.11. Formule di Werner 167

15.3.12. Formule di prostaferesi 167

15.4. Determinazione del periodo di funzioni trigonometriche

semplici 167

15.4.1. Costanti moltiplicative 167

15.4.2. Costanti additive 168

15.4.3. Somma, prodotto e divisione di funzioni periodiche 169

Capitolo 16. EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE 171

Premessa 171

16. Equazioni elementari 171

Indice analitico 173

(7)

GLI INSIEMI

Premessa

In matematica, in genere, si ` e soliti definire un concetto prima di utilizzarlo. Nel descrivere, per` o, la teoria degli insiemi, le nozioni di

“insieme”, “elemento”, “appartenenza” sono cos`ı semplici che non pos- sono essere definite mediante altre ancora pi` u semplici. Tali nozioni vengono dunque assunte come nozioni primitive, ossia non definibili mediante concetti pi´ u semplici.

Talvolta capita di dire o ascoltare frasi quali:“l’insieme delle vocali”,

“l’insieme dei numeri pari”, “l’insieme delle matricole della Facolt´ a di Economia dell’Universit´ a degli Studi di Palermo, che frequentano il cor- so di laurea in Economia Aziendale”. In altri termini nell’uso comune trova posto la parola insieme con il significato di collezione di oggetti di qualsiasi natura ed aventi una o pi´ u caratteristiche in comune. Come concetto matematico l’insieme continuer´ a ad avere lo stesso significato e gli oggetti si chiameranno elementi.

1.1 Notazioni (insieme, elemento, appartenenza)

Gli insiemi si indicheranno mediante le lettere maiuscole: A, B, · · · , Z;

gli elementi mediante le lettere minuscole: a, b, · · · , z.

La scrittura a ∈ T si legge “a appartiene a T”, e significa che a ` e un elemento dell’insieme T . Il segno “∈” si dice di appartenenza.

La negazione di a ∈ T ` e a / ∈ T , che si legge “a non appartiene a T”

e significa che a non ` e un elemento di T .

1.2 Descrizione di un insieme (1 ^◦ metodo)

Per descrivere un insieme ` e possibile scrivere fra parentesi graffe gli elementi di cui esso ` e costituito utilizzando la virgola come segno di separazione.

Esempio

A = {1, 7, 5} significa che A ` e un insieme costituito dai 3 elementi: 1, 7 e 5; evidentemente in relazione ai numeri 4 e 7 si ha: 4 / ∈ A , 7 ∈ A.

7

(8)

8 V. Lacagnina A. Pecorella

Con questo metodo gli elementi non descritti esplicitamente si de- ducono per semplice estrapolazione.

Per esempio ` e facile intuire che C = {0, 1, ..., 9} ` e costituito dalle 10 cifre del sistema decimale.

Quando poi si vogliono descrivere insiemi costituiti da infiniti ele- menti ` e necessaria anche una certa elasticit` a mentale.

Di fondamentale importanza sono i due seguenti insiemi:

N = {0, 1, 2, ...} (Insieme dei Numeri Naturali)

Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} (Insieme dei Numeri Interi Relativi) E bene evidenziare che gli elementi di un insieme sono distinti ` fra loro e che l’ordine con cui si elencano ` e ininfluente.

Non ` e corretto, per esempio, scrivere A = {1, 7, 5, 7}.

In relazione all’ordine con cui si descrivono gli elementi di un insieme si ha:

A = {1, 5, 7} = {1, 7, 5} = {5, 1, 7} = {5, 7, 1} = {7, 1, 5} = {7, 5, 1}

Prima di esporre un secondo metodo per descrivere un insieme, ` e opportuno introdurre le seguenti notazioni:

1.3 Notazioni (quantificatore esistenziale ed universale) Il simbolo “∃” si legge “esiste” e viene usato spesso per ragioni di sintesi e precisione. Per esempio, la seguente espressione:

∃ x ∈ A t.c. ...

si legge: “Esiste almeno un elemento x in A tale che ¹ ... ”

Questa seconda scritura abbreviata, che differisce dalla precedente sol- tanto per l’introduzione del punto esclamativo:

∃ ! x ∈ A t.c. ...

si legge: “Esiste ed ` e unico l’elemento x in A tale che ... ” Invece l’espressione:

∀ x ∈ A : ...

si legge: “Per ogni elemento x di A risulta ... ”

I simboli “∃” e “∀” si chiamano rispettivamente quantificatore esisten- ziale e quantificatore universale.

1 in sostituzione di “t.c.” si utilizza spesso il simbolo “ : ”, o anche “ / ”

(9)

1.4 Descrizione di un insieme (2 ^◦ metodo)

Un modo alternativo per descrivere un insieme A ` e quello di scegliere un insieme “noto” che contiene A ed individuare gli elementi specificando una o pi` u condizioni caratterizzanti.

Esempio 1

L’insieme C = {0, 1, ..., 9} potrebbe rappresentarsi scrivendo:

C = {x ∈ N : 0 ≤ x ≤ 9}

Esempio 2

L’insieme D = {1, 3, 5, ...} dei numeri naturali dispari pu` o rappresentarsi scrivendo:

D = {x ∈ N : x = 2k + 1, k ∈ N}

Questo secondo procedimento come si vede ` e molto pi` u rigoroso del primo in quanto non lascia nulla di indeterminato.

Siano A e B due insiemi, di notevole importanza sono le seguenti definizioni:

1.5 Definizione di uguaglianza

La scrittura A = B si legge “A ` e uguale a B ” e vuol dire che A e B hanno i medesimi elementi.

Esempio

Sia A = {1, 3, 7, 4, 17} e B = {7, 1, 4, 17, 3}

A e B hanno gli stessi elementi e dunque risulta A = B.

1.6 Definizione di sottoinsieme

Si scrive A ⊆ B, si legge “A ` e contenuto o uguale a B ” ovvero A

`

e un sottoinsieme di B e significa che ogni elemento di A ` e anche un elemento di B o che A e B sono uguali.

Esempio 1

Sia A = {1, 3, 7} e B = {1, 3, 4, 6, 7}

Ogni elemento di A ´ e contenuto in B e dunque risulta A ⊆ B.

Si osserva anche che esiste almeno un elemento che sta in B ma non in A. Tale circostanza, in modo pi´ u preciso, si indica scrivendo A ⊂ B e si dice che A ´ e un sottoinsieme proprio di B o che A ´ e contenuto propriamente in B. Mediante la notazione dei diagrammi di Venn si pos- sono rappresentare gli insiemi con una forma geometrica del piano e meglio evidenziare le relazioni che intercorrono fra essi. In tal caso si ha:

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ... ...

...

A B

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. ...

...

.3 .1 .7 .4

.6

Fig. 1. A ´ e un sottoinsieme proprio di B

(10)

10 V. Lacagnina A. Pecorella

Esempio 2

Sia A = {2, 5, 7, 10, 17} e B = {2, 5, 10, 7, 17}

Anche in tal caso si ha: A ⊆ B. In modo pi´ u preciso, si pu´ o scrivere: A = B.

1.7 Principio di doppia inclusione

Da quanto detto pu` o dedursi che per dimostrare che A = B ` e possibile applicare il principio di doppia inclusione:

A ⊆ B e B ⊆ A 1.8 Definizione di non contenuto

La scrittura A 6⊂ B si legge “A non ` e contenuto in B ”, ossia esiste almeno un elemento dell’insieme A che non sta in B.

Esempio

Sia A = {3, 5, 7} e B = {0, 2, 3, 5} allora A 6⊂ B perch` e 7 ∈ A e 7 / ∈ B.

Mediante la notazione dei diagrammi di Venn:

. .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. ...

...

B 0.

2.

. .. . . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ...

...

A 7.

3.

5. Fig. 2. A non ´ e contenuto in B.

1.9 Definizione di insieme vuoto

Per una trattazione semplice e lineare dell’insiemistica ` e necessario in- trodurre un insieme privo di elementi che indicheremo con il simbolo ∅ e chiameremo insieme vuoto.

Per ogni insieme A risulta : ∅ ⊂ A. ² 1.10 Definizione di insieme delle parti

Dato un insieme S, si indica con P (S) l’insieme che ha per elementi tutti e soltanto i sottoinsiemi di S.

P (S) si chiama l’insieme delle parti di S.

Esempio 1

Sia S = {a, b, c} allora l’insieme delle parti di S ` e:

P (S) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

2 Non pu` o risultare ∅ 6⊂ A perch` e dovrebbe esistere almeno un elemento

dell’insieme vuoto non contenuto in A.

(11)

Esempio 2

Se fosse S = {a, 7} allora si avrebbe P (S) = {∅, {a}, {7}, {a, 7}}.

E’ possibile dimostrare che se S ` e costituito da n elementi allora P (S) contiene 2 ⁿ elementi.

Di considerevole importanza sono le operazioni fra gli insiemi.

Siano A e B due sottoinsiemi di S.

1.11 Definizione di insieme unione

A ∪ B si legge “A unione B ” ed indica l’insieme degli elementi di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

A ∪ B = {x ∈ S : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ³

In altri termini, equivalentemente, un elemento x sta nell’unione se x ` e un elemento di A, oppure se ` e un elemento che sta in B, o ancora se ` e un elemento che sta sia in A che in B.

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S

B

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A

Fig. 3. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A∪B Esempio

S = N A = {2, 3, 7, 11, 13}

B = {1, 3, 7, 9}

A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 9, 11, 13}

1.12 Definizione di insieme intersezione

A ∩ B si legge “A intersezione B ” ed indica l’insieme degli elementi di S che appartengono sia ad A che a B, in altri termini gli elementi comuni ai due insiemi.

A ∩ B = {x ∈ S : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} ⁴

un elemento x sta nell’intersezione se x appartiene ad A e a B.

3 il simbolo ∨ verr` a definito in modo rigoroso in logica ed ha il significato che viene dato usualmente alla vocale “ o ”

4 analogamente il simbolo ∧ verr` a definito in seguito ed ha il significato che

viene dato usualmente alla vocale “ e ”

(12)

12 V. Lacagnina A. Pecorella

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...

S

A

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B

Fig. 4. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A∩B Esempio

S = N

A = {2, 3, 4, 5, 7, 11, 13} B = {1, 3, 5, 7, 9}

A ∩ B = {3, 5, 7}

1.13 Definizione di insieme differenza

La differenza insiemistica si denota con la scrittura A \ B si legge “A meno B ” ed indica l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Sinteticamente: A \ B = {(x ∈ A) ∧ (x / ∈ B)}.

S

...

..

A

...

B

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Fig. 5. Il rettangolo rappresenta l’insieme S. La parte punteggiata A\B Esempi

A = {2, 5, 7, 11, 13} B = {1, 5, 7, 9} A \ B = {2, 11, 13} B \ A = {1, 9}

N \ {0} indica l’insieme dei Numeri Naturali con esclusione dello zero 1.14 Definizione di prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B e si indica con A × B l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B.

A × B = {(a, b) : (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}

Parlando di coppia ordinata (a, b), a viene detta prima coordinata e b

seconda coordinata.

(13)

1.15 Definizione di coppie uguali Siano a ₁ , a ₂ ∈ A e b ₁ , b ₂ ∈ B allora

(a ₁ , b ₁ ) = (a ₂ , b ₂ ) ⇔ (a ₁ = a ₂ ) ∧ (b ₁ = b ₂ ).

Se A 6= B si avr` a evidentemente A × B 6= B × A.

Esempi di prodotto cartesiano

A = {a, b, c}

B = {1, 2}

A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

B × A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

(14)

14 V. Lacagnina A. Pecorella

1.16 Esercizi di riepilogo

1. [] Rappresentare l’insieme dei numeri interi positivi pari.

2. [] Rappresentare l’insieme dei numeri interi negativi multipli di 3.

3. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, −1, 3, 7, 5, 17} B = {−1, 2, 3, 5, 7, 17}

A ⊆ B ? B ⊆ A ? 4. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {1, 7, 2, 3, 5, 6, 10, 17}

Stabilire se vale la relazione: A ⊆ B.

5. [] Si considerino gli insiemi :

A = {−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {−1, 3, 5, 6, 7}

Stabilire se vale la relazione: B ⊆ A.

6. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, 3, 4, 5, 7, 11} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}

Determinare A ∩ B e A ∪ B.

7. [] Si consideri l’insieme:

S = {2, 3, 7}

Si trovi P (S) cio` e l’insieme delle parti di S.

8. [] Si considerino gli insiemi :

A = {−3, 0, 5, 7, 17} B = {−3, −2, 1, 3, 5, 17}

Determinare A \ B e B \ A.

9. [] Si considerino gli insiemi :

A = {1, 3, 5} B = {2, 4}

Determinare A × B e B × A.

(15)

Risultati-Svolgimento esercizi proposti

1. [] Una possibile rappresentazione dei numeri interi positivi pari `e:

P = {x ∈ N : x = 2k , k ∈ Z + }

2. [] Una rappresentazione dei numeri interi negativi multipli di 3 `e:

T = {x ∈ Z : x = −3k , k ∈ N \ {0}}

3. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, −1, 3, 7, 5, 17} B = {−1, 2, 3, 5, 7, 17}

Risulta: A ⊆ B , B ⊆ A e dunque A = B.

4. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}

Risulta: A " B

5. [] Si considerino gli insiemi :

A = {−1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {−1, 3, 5, 6, 7}

Risulta: B ⊆ A

6. [] Si considerino gli insiemi :

A = {2, 3, 4, 5, 7, 11} B = {1, 3, 5, 6, 10, 17}

A ∩ B = {3, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 17}

7. [] Si consideri l’insieme:

S = {2, 3, 7}

allora P (S) = {∅, {2}, {3}, {7}, {2, 3}, {2, 7}, {3, 7}, {2, 3, 7}}

8. [] Si considerino gli insiemi :

A = {−3, 0, 5, 7, 17} B = {−3, −2, 1, 3, 5, 17}

A \ B = {0, 7}

B \ A = {−2, 1, 3}

(16)

16 V. Lacagnina A. Pecorella

9. [] Si considerino gli insiemi :

A = {1, 3, 5} B = {2, 4}

A × B = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

B × A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}

(17)

GLI INSIEMI NUMERICI

Premessa

L’obiettivo principale del corso ` e lo studio delle funzioni reali di una sola variabile reale. Le funzioni sono espresse da formule matematiche contenenti numeri ed ` e proprio per questo che gli insiemi numerici han- no particolare importanza in matematica.

La loro introduzione pu` o essere affrontata con differenti modalit` a. Si preferisce un approccio induttivo: si considera l’insieme N dei numeri naturali, noto nelle sue caratteristiche generali e poi, come conseguenza di semplici considerazioni, si costruiscono con successivi ampliamenti l’insieme Z dei numeri interi relativi, l’insieme Q dei numeri razionali ed infine l’insieme R dei numeri reali che `e l’insieme in cui `e definita l’analisi matematica.

2.1 I Numeri Naturali

L’insieme dei numeri naturali ` e:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

In N si possono introdurre le operazioni di somma e di moltiplicazione che sono operazioni interne nel senso che:

∀ n ₁ , n ₂ ∈ N n ₁ + n ₂ ∈ N n ₁ · n ₂ ∈ N Esiste l’opposto in N?

∀ n ₁ ∈ N ∃ n 2 ∈ N t.c. n 1 + n ₂ = 0?

E facile rendersi conto che, in N , a parte n = 0, nessun altro elemento ` ha l’opposto.

Si conviene di indicare con N + l’insieme dei numeri naturali positivi.

2.2 I Numeri Interi Relativi

Per rimuovere questo limite e rendere possibile l’operazione di sottra- zione si introducono i numeri interi relativi:

Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}

Si conviene di indicare con Z + l’insieme dei numeri interi positivi, con Z ⁻ l’insieme dei numeri interi negativi.

17

(18)

18 V. Lacagnina A. Pecorella

2.3 Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi

Graficamente i numeri naturali ed i numeri interi relativi, si possono rappresentare su una retta: si fissano due punti distinti O e U , con U alla destra di O, e si conviene di far corrispondere al punto O il numero 0 ed al punto U il numero 1, si stabilisce che la lunghezza del segmento OU sia l’unit` a di misura.

Poi, a partire dal punto U e spostandosi verso destra di un segmento lungo 1, si individua un punto che corrisponder` a al numero 2; iteran- do il ragionamento precedente, si potrebbe individuare il punto, sulla retta, corrispondente ad un qualunque numero naturale.

Per i numeri interi negativi si procede in modo analogo, spostandosi alla sinistra del punto O.

O U

· · ·

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

· · · Fig. 1. Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi

Siamo fortemente interessati ad individuare un insieme nume- rico che ci consenta di stabilire una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell’insieme ed i punti della retta.

E evidente che preso comunque un punto sulla retta ad esso non cor- ` risponde un numero intero. Per esempio, sia A il punto medio del segmento OU, allora per quanto detto ad A corrisponde 1

2 che non ` e un numero intero.

Alla ricerca di questo insieme, e per consentire l’operazione di divisione si introduce un ampliamento dell’insieme dei numeri interi relativi:

2.4 I Numeri Razionali

Q =

p

q : (p, q ∈ Z) ∧ (q 6= 0)

Il termine razionale deriva dal latino ratio = quoziente, ed infatti i nu- meri razionali si esprimono come quoziente, rapporto di numeri interi.

Due frazioni p q e r

s si definiscono equivalenti ⇔ ps = rq.

E semplice dimostrare che Z ⊂ Q. Infatti ∀z ∈ Z risulta: ` z = z

1 ∈ Q ¹

1 Un numero razionale ` e un numero che pu` o esprimersi come frazione p

q ove

p, q ∈ Z e q 6= 0 ed in tal caso z ∈ Z per ipotesi, 1 ∈ Z e 1 6= 0

(19)

2.5 Definizione di insieme discreto

Un insieme A si dice discreto se ∀ x, y ∈ A fra x e y ci sono al pi` u un numero finito di elementi di A.

Dalla definizione di insieme discreto si deduce che fra due elementi distinti di un insieme discreto o non cade alcun elemento o ne cadono un numero finito. E facile rendersi conto che N e Z sono insiemi ` discreti.

Per esempio fra i numeri interi -3 e -2 non cade alcun intero; fra i numeri naturali 1 e 4 cadono gli elementi 2 e 3; ed in generale, presi comunque due interi ovviamente fra essi cadono al pi´ u un numero finito di elementi.

Ci si chiede: l’insieme Q `e discreto?

2.6 Teorema (densit` a di Q)

L’insieme dei numeri razionali ` e denso in s` e. Cio` e presi comunque due numeri razionali q ₁ e q ₂ con q ₁ < q ₂ ` e sempre possibile trovare un numero razionale compreso fra essi e quindi infiniti numeri.

Dimostrazione. Basta, per esempio, calcolarne la media aritmetica:

m ₁ = q 1 + q 2

2 Il medesimo procedimento si pu` o ripetere scegliendo come primo nu- mero ancora q ₁ e come secondo numero m ₁ . Si determiner` a il numero razionale

m 2 = q ₁ + m ₁ 2

Iterando l’algoritmo in modo analogo, al passo k-imo si trover` a:

m _k = q ₁ + m _k−1 2

m _k m ₂ m ₁

· · ·

q ₁ q ₂

· · ·

Fig. 2. Al passo k si calcola la media aritmetica fra q 1 e m _k−1

E dunque calcolando ad ogni passo la media aritmetica, e potendo iterare un qualsivoglia numero di volte tale procedimento, si ` e provato che fra due razionali cadono infiniti altri numeri razionali.

La propriet` a di essere un insieme denso in s` e, di cui gode l’insieme dei

numeri razionali, fa ben sperare riguardo al problema di individuare

un insieme numerico da poter porre in corrispondenza biunivoca con i

(20)

20 V. Lacagnina A. Pecorella

punti della retta.

Cio` e fissati su una retta l’origine O, ed alla destra di O il punto U in modo che OU = 1. Si individuano 2 semirette aventi origine in O, una contenente U , che si conviene di chiamare semiretta positiva, e l’altra, che non lo contiene, chiamata semiretta negativa.

E evidente che, fissato un qualsiasi numero razionale ` p

q , ` e possibile in- dividuare sulla retta un punto P in modo che risulti OP = p

q . Dunque scelto comunque un numero razionale p

q ` e possibile individuare un sol punto P sulla retta in modo che OP = p

q .

Viceversa, scelto un qualsiasi punto P sulla retta ` e possibile determi- nare un numero razionale p

q in modo che OP = p q ?

Purtroppo la risposta ` e negativa, pur essendo Q denso in s`e!

Nel V secolo A.C. fior`ı nell’Italia Meridionale la scuola pitagorica.

I pitagorici si posero il seguente problema: dato un quadrato di lato OU , unitario, misurarne la diagonale.

Ovviamente usando i numeri interi non ` e possibile misurare la diago- nale perch` e ` e certamente un numero pi` u grande di 1 e pi` u piccolo di 2.

Si potrebbe pensare che ∃ p, q ∈ Z + t.c. OA = p q .

O U

A

A ⁰

· · ·

. . . .

. .

· · ·

...

....

...

....

...

Fig. 3. La misura di OA ⁰ non ´ e esprimibile mediante un numero razionale

E possibile dimostrare che non esiste alcun razionale che mi- ` sura la diagonale del quadrato.

Ed allora il punto A ⁰ costruito mediante il compasso in modo che risulti OA = OA ⁰ non ´ e misurabile mediante un numero razionale. Infatti, per il teorema di Pitagora, tale problema ha come soluzione √

²

2 / ∈ Q.

(21)

Ci` o non era facilmente intuibile perch` e i numeri razionali sono densi sulla retta reale. Quindi i punti a cui corrisponde un’ascissa razionale son fitti ma non sono tutti, cio` e esistono dei “buchi”, delle “lacune”.

Fra i numeri razionali rappresentati sulla retta esistono altri numeri non razionali detti appunto numeri irrazionali.

Il generico numero razionale p

q si pu` o pensare come un numero deci- male che pu` o essere finito o periodico.

Tale numero si ottiene eseguendo la divisione di p per q.

Per esempio facendo la divisione fra 2 e 5 si ottiene il numero decimale finito 0, 4; 2 diviso 7 d` a come risultato il numero decimale illimitato periodico 0, 285714.

I numeri irrazionali hanno invece la caratteristica comune di avere infinite cifre decimali non periodiche.

L’insieme dei numeri reali, che si conviene indicare con R, ` e costituito dall’unione dei numeri razionali e dei numeri irra- zionali ed ` e l’insieme numerico tanto cercato.

R = {numeri razionali ∪ numeri irrazionali}

Per esempio 3

7 ∈ Q, √

²

5 / ∈ Q, √

²

5 ∈ R.

2.7 Propriet` a dei numeri reali

Fissato sulla retta reale un punto O, denominato origine, ed un punto U che si conviene di scegliere alla destra dell’origine t.c. OU = 1, comunque si scelga sulla retta un punto P alla destra del punto O, ad esso corrisponde un solo numero reale x > 0 tale che OP = x e viceversa.

Grazie a questa propriet` a dei numeri reali ` e possibile introdurre il concetto di coordinate cartesiane sulla retta reale.

2.8 La retta cartesiana

Si consideri una retta orientata r, si fissino su di essa due punti: O ed U in modo che O preceda U .

La retta r risulta cos´ı suddivisa in due semirette: quella avente origine

in O e contenente U , che si conviene di chiamare semiretta positiva, e

l’altra avente origine nel punto O e non contenente U , che chiameremo

semiretta negativa.

(22)

22 V. Lacagnina A. Pecorella

Scelto comunque un punto P ₁ sulla semiretta positiva, esiste un solo numero reale positivo x ₁ che d` a la misura di OP ₁ che si definisce ascissa di P ₁ . Preso comunque un punto P ₂ sulla semiretta negativa, esiste un solo numero reale positivo x ₂ che d` a la misura di P ₂ O, e poich` e P ₂ ` e stato scelto sulla semiretta negativa si definisce ascissa di P ₂ il numero

−x ₂ . Infine, se il punto scelto coincide con O (il punto origine), ad esso si fa corrispondere il numero reale 0.

P ₂ O U P ₁

· · · r

−x 2 0 1 x ₁

> · · · Fig. 4. Coordinate cartesiane sulla retta reale

Viceversa: ad ogni numero reale corrisponde uno ed un sol punto sulla retta reale. Il numero reale 0 corrisponde al punto O origine della retta cartesiana; scelto comunque un numero reale x ₁ > 0 ` e possibile individuare alla destra di O quell’unico punto P ₁ che verifica la relazione OP 1 = x 1 . Se infine si considerasse un numero reale x 2 < 0 allora ` e possibile individuare alla sinistra di O quell’unico punto P 2 che verifica la relazione P ₂ O = −x ₂ .

La corrispondenza biunivoca cos´ı stabilita fra i punti della retta r ed i numeri reali, permette di identificare tali insiemi. Per cui si parler` a del punto 1, del punto 7, del punto 1

4 .

2.9 Convenzioni (razionali,reali positivi e negativi)

Analogamente a quanto convenuto per i numeri interi positivi e nega- tivi, con i simboli Q + , R + si indicheranno rispettivamente l’insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali positivi:

Q + = {x ∈ Q : x > 0} R + = {x ∈ R : x > 0}

Analoghe considerazioni valgono per i numeri razionali e reali negativi.

Mediante la notazione dei diagrammi di Venn, il rapporto esistente fra gli insiemi N, Z, Q e R pu´o sintetizzarsi mediante la seguente figura:

N Q Z

R

Fig. 5. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

(23)

Dunque, le considerazioni sino ad ora fatte ed altre importanti pro- priet` a che verranno esposte e discusse in seguito, determinano la scelta dell’insieme dei numeri reali come insieme numerico di lavoro.

In altri termini l’insieme dei numeri reali presenta caratteristiche e pro- priet` a idonee per lo sviluppo della teoria delle funzioni reali.

Allora d’ora in poi, se non dovesse essere specificato diversamente,

quando si considereranno quantit` a numeriche si intender` a parlare di

numeri reali.

(24)

(25)

LA FUNZIONE

Premessa

Si vuole adesso introdurre il concetto di funzione che ` e di fondamentale importanza nello studio della Matematica Generale.

Le funzioni intervengono sovente nelle attivit` a dell’uomo, talvolta in modo celato altre volte in modo esplicito.

In ogni caso quando ad un elemento di un insieme si fa corrispondere un elemento di un altro insieme si ha a che fare con il concetto di funzione.

Spesso, quando si acquista un certo bene, il prezzo che si paga ` e fun- zione della quantit` a del bene in questione.

Per esempio quando si acquista il pane si paga in proporzione alla quan- tit` a del bene comprato, cos`ı se 1 kg di pane costa 1 euro e cinquanta centesimi, 2 kg costeranno 3 euro.

Talvolta la legge che lega le due quantit` a: bene da acquistare e corri- spondente prezzo da pagare, potrebbe essere variabile.

Per esempio volendo, acquistare alcuni DVD, non ci si stupirebbe af- fatto se il prezzo unitario dipendesse dalla quantit` a del bene.

Il rivenditore, ovviamente, vuole invogliare ad acquistare pi` u merce possibile e quindi propone un prezzo unitario che varia in base alla quantit` a: fino a 10 DVD il prezzo unitario potrebbe, per esempio, esse- re 1 euro, da 11 a 30 pezzi 90 centesimi, da 31 a 50 pezzi 80 centesimi, pi` u di 50 DVD 70 centesimi.

Quantit` a di DVD Prezzo unitario

fino a 10 DVD 1 euro da 11 a 30 DVD 90 centesimi da 31 a 50 DVD 80 centesimi pi´ u di 50 DVD 70 centesimi

Tab. 1. Quantit` a DVD e relativi prezzi unitari

25

(26)

26 V. Lacagnina A. Pecorella

3.1 Definizione di funzione

Siano A e B due insiemi non vuoti. Diremo che in A ` e definita una funzione a valori in B e scriveremo f : A → B se ` e fissata una legge (una regola) che ad ogni elemento di A fa corrispondere (associa) uno ed un solo elemento dell’insieme B.

f : A → B si legge f da A in B

ed esprime il fatto che f opera da A verso B.

Se con x si indica il generico elemento di A, allora f (x) (leggasi “f di x”) ` e l’elemento di B che la funzione f fa corrispondere a x e si chiama immagine di x mediante f , valore di f in x, oppure f calcolata in x.

I due insiemi A e B si dicono rispettivamente insieme di partenza ¹ e insieme di arrivo della funzione f .

Sinonimo di funzione ` e applicazione.

Per definizione, una funzione f : A → B viene assegnata quando ven- gono stabiliti i due insiemi non vuoti A e B e comunque si scelga x in A si ` e in grado di determinare l’elemento f (x) di B.

Esempio 1 (f ` e una funzione da A in B)

A = {1, 3, 4, 5} B = {0, 2, 7}

f : A → B

f (1) = 0, f (3) = 2, f (4) = 0, f (5) = 2

...

....

...

A 1 • 3 •

4 • 5 •

...

....

...

B 0 •

2 •

7 •

...

Fig. 1. Rappresentazione della funzione mediante i diagrammi di Venn f ` e una funzione da A in B: infatti A e B sono 2 insiemi non vuoti e ad ogni elemento di A ` e stato associato, mediante la f , uno ed un sol elemento di B. Si osservi che in questo esempio, l’elemento 7 ∈ B non gioca alcun ruolo!!! Ma ci` o non contraddice la definizione di funzione.

1 di sovente A si chiama dominio o anche insieme di definizione della

funzione

(27)

Esempio 2 (f non ` e una funzione da A in B) A = {1, 3, 2} B = {7, 4, 5}

f : A → B f (1) = 4, f (3) = 5

...

A 1 •

3 •

2 •

...

B 7 •

4 •

5 •

...

Fig. 2. Rappresentazione mediante i diagrammi di Venn

Il diagramma di Venn ben evidenzia che f non ` e una funzione da A in B perch´ e all’elemento 2 ∈ A non ` e stato associato alcun elemento di B (2

`

e l’unico elemento di A dal quale non parte una freccia).

Esempio 3 (f non ` e una funzione da A in B) A = {1, 3, 2, 7} B = {7, 4, 5}

f : A → B

f (1) = 7, f (3) = 4, f (2) = 5, f (7) = 5, f (3) = 7

...

A 1 • 3 • 2 • 7 •

...

B 7 •

4 •

5 •

...

... ...

...

Fig. 3. Rappresentazione mediante i diagrammi di Venn

f non ` e una funzione da A in B perch´ e all’elemento 3 ∈ A vengono associati i due elementi 4 e 7 appartenenti all’insieme B, e ci´ o contraddice la definizione di funzione. ²

2 Utilizzando la rappresentazione mediante i diagrammi di Venn, si ha una fun-

zione se e solo se da ogni elemento del primo insieme parte una ed una sola

freccia che colpisce un solo elemento del secondo insieme.

(28)

28 V. Lacagnina A. Pecorella

Esempio 4 (f ` e una funzione da A in B) Si considerino gli insiemi:

A = {Vocaboli della lingua italiana}

B = {Lettere dell’alfabeto italiano}

f (x) = { La prima lettera del vocabolo x }

f : A → B ` e la funzione che ad ogni vocabolo della lingua italiana associa la sua lettera iniziale.

Ed allora, per esempio, f (casa) = c, f (matricola) = m, f (albero) = a, ... .

Ovviamente quando A contiene infiniti elementi, la funzione non pu` o essere assegnata specificando per ciascun valore di A il corrispondente valore di B, ma bens`ı mediante una legge, una formula, che consenta di calcolare f (x) ∀x ∈ A.

Esempio 5 (f ` e una funzione da N in Z) Si consideri:

f : N → Z f (x) = x ²

f ` e la funzione che ad ogni numero naturale associa il suo quadrato.

La legge assegnata consente di determinare l’immagine di qualsiasi numero naturale. Ed allora, per esempio, f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 4, ... .

3.2 Definizione di piano cartesiano

Mediante la (1.14) si ` e definito il prodotto cartesiano, un esempio di particolare interesse ` e quello in cui A = B = R.

In tal caso si ha:

R × R = R ² = {(x, y) : x ∈ R e y ∈ R}

cio` e l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate di numeri reali.

E possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra i punti ` del piano e le coppie ordinate (x, y) ∈ R × R = R ² .

Si posizionano sul piano due rette: una in posizione orizzontale e l’al- tra in posizione verticale, in modo che esse risultino perpendicolari tra loro. Sia O = (0, 0) il loro punto di intersezione.

Si scelga sulla retta orizzontale ed alla destra del punto O un punto U , sia OU = 1 l’unit` a di misura valida per entrambe le rette.

La retta orizzontale, che chiameremo asse delle ascisse, ` e suddivisa in

due semirette aventi origine in O. Si conviene di chiamare semiretta

positiva quella contenente il punto U , semiretta negativa l’altra.

(29)

Analogamente la retta verticale, che chiameremo asse delle ordinate, ` e suddivisa dal punto O in due semirette quella contenente i punti al di sopra dell’asse delle ascisse, che si definisce semiretta positiva, e l’altra che viene denominata semiretta negativa delle ordinate.

Le due rette vengono anche chiamate assi cartesiani.

Per quanto visto in (2.8), ognuna delle due rette ` e in corrispondenza biunivoca con R, in modo tale che i numeri crescono da sinistra verso destra sulla retta orizzontale, e dal basso verso l’alto sulla retta verti- cale. Quanto detto viene evidenziato posizionando due freccette come in Fig. 4. Per stabilire la corrispondenza biunivoca tra R ² ed i punti del piano si pu` o procedere come di seguito descritto.

Sia P un qualsiasi punto del piano, si traccia la retta r passante per P ed ortogonale all’asse delle ascisse e si indica con P _x il punto di interse- zione della retta r con l’asse delle ascisse; si traccia la retta s passante per P ed ortogonale all’asse delle ordinate e sia P _y il punto di interse- zione di s con l’asse delle ordinate. Al generico punto P corrisponde la coppia ordinata (P _x , P _y ) ∈ R ² .

Viceversa, alla coppia ordinata (P x , P y ) ∈ R ² corrisponde il punto P del piano ottenuto come punto d’intersezione della retta ortogonale al- l’asse delle ascisse passante per P _x con la retta ortogonale all’asse delle ordinate e passante per P _y .

...

x y

O p

−

U

• P _x

• .

P y P

r s

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

...

. ...

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. ...

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. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ..

Fig. 4. Corrispondenza tra i punti del piano e le coppie (P x , P y ) ∈ R ² .

Inoltre, l’asse delle ascisse e delle ordinate suddividono il piano in

quattro quadranti, che si conviene di denotare: I ^◦ , II ^◦ , III ^◦ e IV ^◦

QUADRANTE, come mostrato in Fig. 5.

(30)

30 V. Lacagnina A. Pecorella

...

x y

O p

U

I ^◦ QU ADR.

II ^◦ QU ADR.

III ^◦ QU ADR. IV ^◦ QU ADR.

Fig. 5. Suddivisione in quattro quadranti del piano cartesiano

3.3 Definizione di grafico di una funzione

Sia f : A → B una funzione. Si chiama grafico di f il sottoinsieme G _f di A × B formato da tutte le coppie (x, f (x)) al variare di x in A.

In simboli:

G _f = {(x, f (x)) : x ∈ A}

Esempio 6

f : N → Z f (x) = x ²

G _f = {(0, f (0)), (1, f (1)), (2, f (2)), · · · } = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), · · · }

...

x y

O 1 2

1 4

•

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

.

... ...

... ... ...

Fig. 6. I punti in grassetto costituiscono il grafico della funzione

(31)

Esempio 7

f : R → R f (x) = x ²

...

x y

O

...

Fig. 7 Grafico di f (x) = x ²

3.4 Criterio per stabilire il grafico di una funzione

Si indichi con G un generico grafico tracciato su un sistema di assi cartesiani ortogonali. Diremo che G ` e il grafico di una funzione reale di variabile reale se comunque si tracci una retta parallela all’asse delle y essa interseca G al pi` u in un punto.

...

x y

O

•• •

• ••

•

...

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x y

O

•

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...

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...

.

Fig. 8. Grafico di una funzione Fig. 9. Non ` e il grafico di una funzione 3.5 Definizione di insieme delle immagini

Sia f : A → B una funzione.

Si chiama codominio di f o insieme delle immagini di f , e si denota con codom(f ), im(f ) o f (A), l’insieme delle immagini di tutti gli elementi del dominio A:

codom(f ) = im(f ) = f (A) = {f (x), x ∈ A}

Per le funzioni rappresentate in Fig. 6. e Fig. 7. risulta rispettivamente:

im(f ) = {y ∈ N : y = x ² , x ∈ N} im(f ) = R + ∪ {0}

3.6 Definizione di funzione reale di variabile reale

Si dice che f : A → B ` e una funzione reale di variabile reale se A

e B sono sottoinsiemi di R.

(32)

32 V. Lacagnina A. Pecorella

3.7 Esercizi di riepilogo

1. [] Si considerino gli insiemi:

A = {1, 3, 5, 7} B = {−2, 0, 2, 4, 6}

e sia f (1) = 2, f (3) = 4, f (5) = 6, f (7) = 8.

Stabilire se f ` e una funzione.

2. [] Stabilire se f : Z → N f (x) = x + 1 ` e una funzione.

3. [] Stabilire se f : N → R f (x) = √

x ` e una funzione.

4. [] Sia f : [0, 4] → R e f (x) = x + 1.

4.1 Tracciare il grafico qualitativo della funzione.

4.2 Dedurre dal grafico Im(f ).

5. [] Si consideri la funzione f : Q → R f (x) = x.

Tracciare il grafico qualitativo di f .

6. [] Sia f : N → R e f (x) = 2x + 1.

6.1 Tracciare il grafico qualitativo della funzione.

6.2 Dedurre dal grafico Im(f ).

7. [] Si consideri la funzione f : R → R f (x) = −x.

7.1 Tracciare il grafico qualitativo di f .

7.2 Determinare Im(f ).

(33)

Risultati-Svolgimento esercizi proposti 1. []

A = {1, 3, 5, 7} B = {−2, 0, 2, 4, 6}

f (1) = 2, f (3) = 4, f (5) = 6, f (7) = 8 f non ` e una funzione perch` e f (7) = 8 / ∈ B.

2. []

f : Z → N f (x) = x + 1

f non ` e una funzione perch` e scelto per esempio nel dominio x = −7 risulta f (−7) = −7 + 1 = −6 / ∈ N.

3. []

f : N → R f (x) = √

x ` e una funzione.

Infatti (∀x ∈ N) f (x) = √ x ∈ R

4. []

Sia f : [0, 4] → R e f (x) = x + 1.

...

x y

O 5−

1−

4 p

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

. ... ... ... ... ... ...

Im(f ) = [1, 5]

(34)

34 V. Lacagnina A. Pecorella

5. []

Si consideri la funzione f : Q → R f (x) = x.

...

x y

O

...

6. []

f : N → R f (x) = 2x + 1.

...

x y

O 5− • 3− • 1 • −

1 p 2 p

...

. ...

...

. ...

...

. ...

...

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... ...

...

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...

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...

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...

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...

. ...

...

. ...

...

. ... ... ...

Im(f ) = {x ∈ N : f (x) = 2x + 1} = {1, 3, 5, 7, · · · }

(35)

7. []

f : R → R f (x) = −x

...

x y

O

...

Im(f ) = R

(36)

(37)

LA RETTA

Premessa

E stata stabilita una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano e ` le coppie ordinate (x, y) ∈ R × R = R ² .

Ci` o consente di interpretare geometricamente le propriet` a analitiche e viceversa.

Esempio

Se P ₁ = (x ₁ , y ₁ ) e P ₂ = (x ₂ , y ₂ ) allora

P ₁ ` e a destra e pi` u in alto di P ₂ ⇐⇒ (x ₁ > x ₂ ) e (y ₁ > y ₂ ).

4.1 Definizione di luogo geometrico nel piano

Un luogo geometrico nel piano ` e l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una determinata propriet` a geometrica.

Esempio

Per esempio la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario ` e l’insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano la condizione di avere distanza unitaria dall’origine degli assi.

Da un punto di vista analitico, un luogo geometrico L nel piano, ` e dunque l’insieme di tutte e sole le coppie (x, y) ∈ R ² che verificano un’equazione del tipo: f (x, y) = 0.

L = {(x, y) ∈ R ² : f (x, y) = 0}

Esempio

Da un punto di vista analitico, per esempio, la circonferenza avente centro nell’origine e raggio unitario ` e l’insieme di tutte e sole le coppie (x, y) ∈ R ² che verificano l’equazione x ² + y ² = 1.

Il pi` u semplice luogo geometrico ` e quello della retta.

E possibile dimostrare che ad ogni retta del piano si pu` ` o associare una equazione di primo grado in due variabili, e reciprocamente ad ogni equazione di primo grado in due variabili si pu` o associare una retta.

Universit`a degli Studi di Palermo Facolt`a di Economia