-categorie: motivazioni ed esempi. Francesca Pratali

(1)

∞-categorie: motivazioni ed esempi

Francesca Pratali

(2)

Panoramica

∞-categorie:

generalizzazione di

• teoria dell’omotopia (simplesso singolare Sing_•(X ),complessi di Kan);

• teoria delle categorie (nervo di una categoriaN•(C)).

(3)

Panoramica

∞-categorie:

generalizzazione di

(4)

Panoramica

∞-categorie:

generalizzazione di

(5)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

Teoria omotopica dei tipi (HoTT)

sistema formale basato sulla teoria dei tipi di Martin L¨of.

Applicazioni (tra le):

• teoria sintetica dell’omotopia;

• software di dimostrazioni assistite (Coq, Agda . . . )

(6)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

Uguaglianza in HoTT:

• uguaglianza computazionale: ≡

• uguaglianza proposizionale: se A `e un tipo, x , y : A, esiste il tipo x =A y

Problema: Gli assiomi non dimostrano x =_A y =⇒ x ≡ y . Anzi, non vale nemmeno

Y

x ,y :A

Y

f ,g :x =Ay

f =x =Ay g

(7)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

Uguaglianza in HoTT:

• uguaglianza computazionale: ≡

• uguaglianza proposizionale: se A `e un tipo, x , y : A, esiste il tipo x =A y

Problema: Gli assiomi non dimostrano x =A y =⇒ x ≡ y . Anzi, non vale nemmeno

Y

x ,y :A

Y

f ,g :x =Ay

f =x =Ay g

(8)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

Soluzione (HoTT) Tipo A Spazio topologico A

x : A x punto di A

f : x =A y cammino in Ω(x , y , A) f =x =_Ay g Omotopie tra i cammini f , g

e cos`ı via . . .

(9)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

• Hofmann, Streitcher (1998): − =A − rende A un gruppoide

∞-dimensionale debole.

Consistenza di HoTT? (= modello set-teoretico) Osservazione

I complessi di Kan sono gruppoidi ∞-dimensionali.

(10)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

• Hofmann, Streitcher (1998): − =A − rende A un gruppoide

(11)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

• Hofmann, Streitcher (1998): − =_A − rende A un gruppoide

(12)

Motivazioni: ∞-categorie e HoTT

• Voevodski, Kapulkin e Lumsdaine hanno costruito (2009) un modello di HoTT all’interno di sSet, in cui i tipi sono i complessi di Kan e famiglie di tipi sono fibrazioni di Kan.

(13)

Insiemi simpliciali

Definizione

Dato n ∈ N, poniamo hni := {0 < 1 < · · · < n}.

Definiamo la categoria simpliciale ∆ come segue:

• Ob(∆) = {hni, n ∈ N};

• Hom_∆(hni, hmi) = Fun_Cat(hni, hmi).

Definizione

Un insieme simpliciale `e un funtore S• : ∆^op→ Set . Chiamiamo S_n l’insieme degli n−simplessi di S•.Gli elementi di S₀ si dicono vertici di S•, e quelli di S1 i lati di S•.

Definizione

Chiamiamo sSet := Fun_Cat(∆^op, Set) la categoria degli insiemi simpliciali.

(14)

Insiemi simpliciali

Simplesso Standard

Definizione

Dato n ≥ 0, l’n-esimo simplesso standard ∆ⁿ: ∆^op→ Set `e il funtore rappresentato da hni:

∆ⁿ= Hom_∆(−, hni) Osservazione

Dato X•: ∆^op→ Set, per il Lemma di Yoneda si ha la bigezione Hom_sSet(∆ⁿ, X•) ' X_n

(15)

Insiemi simpliciali

Facce e mappe degeneri

Definizione

Per ogni 0 ≤ i ≤ n, siano δⁱ : hn − 1i → hni, σⁱ : hn + 1i → hni i due morfismi di ∆ definiti da:

δⁱ(k) =

(k se k ≤ i − 1 k + 1 se k ≥ i σⁱ(k) =

(k se k ≤ i k − 1 se k ≥ i + 1 Dato S•: ∆^op→ Set, chiamiamo:

• i -esima faccia il morfismo S•(δⁱ) = d_i : S_n→ S_n−1

• i -esima mappa degenere il morfismo S•(σⁱ) = si : Sn→ S_n+1

(16)

Insiemi simpliciali

Corno di ∆

ⁿ

Definizione (i -esimo corno di ∆ⁿ)

Dati 0 ≤ i ≤ n, definiamo l’insieme simpliciale Λⁿ_i come Λⁿ_ihmi = {α ∈ ∆ⁿ_m : hni * α(hmi) ∪ {i}}

(17)

Insiemi simpliciali

Corno di ∆

ⁿ

Definizione (i -esimo corno di ∆ⁿ)

Dati 0 ≤ i ≤ n, definiamo l’insieme simpliciale Λⁿ_i come Λⁿ_ihmi = {α ∈ ∆ⁿ_m : hni * α(hmi) ∪ {i}}

(18)

Insiemi simpliciali

Realizzazione geometrica

Definizione Dato ∆ⁿ definiamo

|∆ⁿ| = {(t₀, . . . , tn) ∈ [0, 1]ⁿ⁺¹ : Pn

i =0t_i = 1}.

Pi`u in generale, definiamo | − | : sSet → Top ponendo

|X•| =

F

nX_n× |∆ⁿ|

(dix , u) ∼ (x , δiu), (six , u) ∼ (x , σiu)

(19)

Insiemi simpliciali

Realizzazione geometrica

Osservazione

|Λⁿ_i| = {(t₀, . . . , t_n) ∈ [0, 1]ⁿ⁺¹ : ∃j 6= i tale che t_j = 0}.

|Λⁿ_i| `e un retratto di |∆ⁿ|.

(20)

Insiemi simpliciali

Complesso singolare Sing

_•

(X )

Costruzione

X spazio topologico, definiamo il complesso singolare di X Sing_•(X ) : ∆^op → Set come segue:

• Sing_n(X ) = Hom_Top(|∆ⁿ|, X )

• per α : hmi → hni, si ha un morfismo Sing_n(X ) → Sing_m(X ) precomponendo per α, dove

α : |∆^m| → |∆ⁿ| (t₀, t₁, . . . , t_m) → ( X

α(i )=0

t_i, . . . , X

α(i )=n

t_i) La costruzione si estende ad un funtore:

(21)

Insiemi simpliciali

Complesso singolare Sing

_•

(X )

Esempio

I gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico X , i.e.

H•(X , Z), sono i gruppi di omologia del complesso

· · · → Z[Sing2(X )]−→ Z[Sing^δ 1(X )]−→ Z[Sing^δ 0(X )]

dove δ(σ) =P_n

i =0(−1)ⁱd_i(σ)

(22)

Insiemi simpliciali

Complessi di Kan

Definizione

Un insieme simpliciale S• `e un complesso di Kan se soddisfa:

Per n > 0 e 0 ≤ i ≤ n ogni mappa σ₀ : Λⁿ_i → S_• si estende ad un simplesso σ : ∆ⁿ → S_•

Λⁿ_i S•

∆ⁿ

σ0

∃σ

(23)

Insiemi simpliciali

Sing

_•

(X ) ` e un complesso di Kan

Proposizione

Sing_•(X ) `e un complesso di Kan.

Dimostrazione. Consideriamo σ₀ : Λⁿ_i → Sing_•(X ). Si pu`o dimostrare che la bigezione

Hom_Top(|∆ⁿ|, X ) = Sing_n(X ) ' Hom_sSet(∆ⁿ, Sing_•(X )) proviene da un’aggiunzione | − | a Sing_•.

Quindi dimostriamo che σ^t₀= f₀: |Λⁿ_i| → X fattorizza tramite

|Λⁿ_i| → |∆ⁿ|−→ X^f

Ma |Λⁿ_i| `e un retratto di |∆ⁿ| quindi basta prendere f := f₀◦ r , con r : |∆ⁿ| → |Λⁿ_i| retrazione.

(24)

Nervo

Nervo di una categoria

Costruzione

Sia C una categoria. Il nervo di C `e l’insieme simpliciale N_•(C) : ∆^op→ Set tale che:

• sugli oggetti Nn(C) := FunCat(hni, C) ;

• sui morfismi α : hmi → hni , N•(C)(α) : Nn(C) → Nm(C) `e la precomposizione con α.

La costruzione si estende ad un funtore N_•: Cat → sSet

(25)

Nervo di una categoria

Osservazione

• N₀(C) = Ob(C).

• Se n ≥ 1, σ ∈ Nn(C) si identifica con

C₀ −→ C^f¹ ₁ −→ C^f² ₂ → . . . C_n−1−→ C^fⁿ _n

• Se f : X → Y `e un morfismo in C ( ⇐⇒ f ∈ N1(C)), si ha s(f ) = X = d₁(f ) e t(f ) = Y = d₀(f ).

• Se X `e un oggetto di C, allora id_X : X → X corrisponde a s₀(X ).

(26)

N

_•

` e pienamente fedele

Proposizione

Il funtore nervo N• : Cat → sSet `e pienamente fedele.

Dimostrazione. Date C e C⁰ categorie, vogliamo mostrare che N•

induce una bigezione

θ : Hom_Cat(C, C⁰) → Hom_sSet(N•(C), N•(C⁰))

Suriettivit`a: data α : N•(C) → N•(C⁰), α0, α1 determinano un funtore F : C → C⁰ tale che θ(F )i = αi per i = 0, 1, dunque θ(F ) = α.

(27)

N

_•

` e pienamente fedele

Proposizione

Il funtore nervo N• : Cat → sSet `e pienamente fedele.

Dimostrazione. Date C e C⁰ categorie, vogliamo mostrare che N•

induce una bigezione

θ : Hom_Cat(C, C⁰) → Hom_sSet(N•(C), N•(C⁰)) Suriettivit`a: data α : N•(C) → N•(C⁰), α0, α1 determinano un funtore F : C → C⁰ tale che θ(F )_i = α_i per i = 0, 1, dunque θ(F ) = α.

(28)

Caratterizzazione di N

_•

(C)

Teorema

Sia S• un insieme simpliciale. Allora S• sta nell’immagine essenziale di N• se e solo se vale:

(*) per ogni 0 < i < n ogni mappa di insiemi simpliciali σ0: Λⁿ_i → S_• si estende ad un’unica σ : ∆ⁿ→ S_•

Λⁿ_i S•

∆ⁿ

σ0

∃!σ

(29)

Caratterizzazione di N

_•

(C)

DimostrazioneLa condizione `e necessaria.

Osservazione

Per 0 ≤ j ≤ n il vertice j -esimo vj di ∆ⁿ sta in Λⁿ_i. Se n ≥ 3, allora

∆ⁿh1i ⊆ Λⁿ_ih1i. Indichiamo con j ≤ k il lato j → k di ∆ⁿ.

• Se n = 2, la tesi equivale a esiste unica la composizione di due morfismi in C.

• Se n ≥ 3, σ0 determina un funtore G : hni → C, con

G (j ) = σ₀(v_j) = C_j, G (j ≤ k) = σ₁(j ≤ k) = f_k,j : C_j → C_k Allora G `e l’n-simplesso di N•(C) cercato (che via Yoneda corrisponde a σ : ∆ⁿ→ N_•(C), σ = G ◦ ).

(30)

∞-categorie

Definizione

Una ∞-categoria `e un insieme simpliciale S• che soddisfa la propriet`a di estensione debole di Kan:

per ogni 0 < i < n, ogni mappa di insiemi simpliciali σ0 : Λⁿ_i → S•

ammette un’estensione a σ : ∆ⁿ → S_•.

Λⁿ_i S•

∆ⁿ

σ0

∃σ

(31)

∞-categorie

Esempio

• Ogni complesso di Kan `e un’∞-categoria. In particolare, Sing_•(X ) `e un’∞-categoria.

• Per ogni categoria C, N•(C) `e un’∞-categoria.

Tutte le categorie sono ∞-categorie

Definizione

• Ob(S•) = S₀.

• Hom_S_•(x , y ) = {f ∈ S₁ : x = d₁(f ), y = d₀(f )} per ogni x , y ∈ S₀.

• Dato x oggetto di S•, poniamo id_x := s₀(x ) ∈ S₁.

(32)

∞-categorie

Esempio

• Ogni complesso di Kan `e un’∞-categoria. In particolare, Sing_•(X ) `e un’∞-categoria.

• Per ogni categoria C, N•(C) `e un’∞-categoria.

Tutte le categorie sono ∞-categorie Definizione

• Ob(S•) = S₀.

• Hom_S_•(x , y ) = {f ∈ S₁ : x = d₁(f ), y = d₀(f )} per ogni x , y ∈ S₀.

• Dato x oggetto di S•, poniamo id_x := s₀(x ) ∈ S₁.

(33)

Composizione morfismi

Omotopie di morfismi

Definizione

Sia C un’∞-categoria e f , g : X → Y due morfismi di C. Diciamo che f ∼ g se esiste σ : ∆² → C 2-simplesso come a sinistra, o equivalentemente se esiste τ 2-simplesso come a destra:

Y ⇐⇒ X

X Y X Y

idY f

g f

g idX

(34)

Omotopie di morfismi

Proposizione

Dati X , Y oggetti di C, si ha che l’omotopia ∼ `e una relazione di equivalenza su HomC(X , Y ).

DimostrazioneRiflessività: data f : X → Y , il 2-simplesso degenere s1(f ) è un’omotopia da f in sé.

Per avere transitivit`a e simmetria basta dimostrare che:

(**) dati f , g , h : X → Y tre morfismi di C, se f ∼ g e f ∼ h, allora g ∼ h.

(35)

Omotopie di morfismi

Abbiamo quindi τ₀ : Λ³₁→ C, che si estende a τ : ∆³ → C. Ma ora basta prendere d₁(τ ).

(36)

Composizione di morfismi

Definizione

X , Y , Z ∈ C e f : X → Y , g : Y → Z , h : X → Z morfismi. Si dice che h `e una composizione di f e g se esiste un 2-simplesso σ di C tale che d₁(σ) = h, d₀(σ) = g , d₂(σ) = f .

Y

X Z

f g h

(37)

Composizione di morfismi

Proposizione (Unicit`a a meno di omotopia) Siano f : X → Y , g : Y → Z morfismi. Allora

• esiste h : X → Z composizione di f e g ;

• Un altro morfismo h⁰ : X → Z `e una composizione di f e g se e solo se h ∼ h⁰.

(38)

Unicit` a a meno di omotopia

Dimostrazione.

h⁰ = f ◦ g =⇒ h ∼ h⁰ h ∼ h⁰ =⇒ h⁰ = f ◦ g

(39)

Unicit` a a meno di omotopia

Dimostrazione.

h⁰ = f ◦ g =⇒ h ∼ h⁰ h ∼ h⁰ =⇒ h⁰ = f ◦ g

(40)

La categoria di omotopia hC

Definizione (hC)

Data C un’∞-categoria, definiamo hC come segue:

• Ob(hC) = Ob(C) = C₀;

• per X , Y oggetti di hC, Hom_hC(X , Y ) = HomC(X , Y )/ ∼, e chiamiamo [f ] la classe di equivalenza di un morfismo f ∈ HomC(X , Y ).

• E ben definita una legge di composizione`

◦ : Hom_hC(X , Y ) × Hom_hC(Y , Z ) → Hom_hC(X , Z ) [f ] ◦ [g ] = [h] dove h `e una composizione di f e g

(41)

h(Sing

_•

(X )) = π

_≤1

(X )

Esempio

hSing_•(X ) `e il primo gruppoide fondamentale di X , π≤1(X ). In particolare:

• Hom_π_≤1_{(X )}(x , y ) 6= ∅ se e solo se x e y stanno nella stessa componente connessa per archi di X ;

• π₁(X , x ) = Hom_π_≤1_{(X )}(x , x )

Osservazione

Rispetto a π≤1(X ), Sing_•(X ) d`a informazioni sui tipi di omotopia n-dimensionali di X : omotopie tra cammini diventano 2-simplessi, omotopie di omotopie diventano 3-simplessi e cos`ı via . . . .

(42)

h(Sing

_•

(X )) = π

_≤1

(X )

Esempio

hSing_•(X ) `e il primo gruppoide fondamentale di X , π≤1(X ). In particolare:

• Hom_π_≤1_{(X )}(x , y ) 6= ∅ se e solo se x e y stanno nella stessa componente connessa per archi di X ;

• π₁(X , x ) = Hom_π_≤1_{(X )}(x , x )

Osservazione

Rispetto a π≤1(X ), Sing_•(X ) d`a informazioni sui tipi di omotopia n-dimensionali di X : omotopie tra cammini diventano 2-simplessi, omotopie di omotopie diventano 3-simplessi e cos`ı via . . . .

(43)

Grazie per l’attenzione!