ALLEGATO 1. IL VAR.
Il VAR è definito come la massima perdita che si può manifestare entro un certo intervallo temporale e con un certo livello di confidenza all’interno di un portafoglio rischioso.
Il VAR prende in esame la variabilità di un portafoglio espressa da una distribuzione di probabilità che indica i valori che il portafoglio può assumere alla scadenza e la relativa probabilità associata (vedere figura 1.a.).
FIGURA 1.a.
valore portafoglio a scadenza
densità di probabilità
Fonte: nostra elaborazione
Il VAR riprende il concetto di quantile. Un quantile è un valore (x*) per cui, stabilito un certo livello di confidenza (c), P(X<=x*).
Si va cioè ad individuare un livello di confidenza (c) e si individua in
corrispondenza di questo quel valore della funzione cumulata di probabilità per
cui la probabilità che si manifestino valori inferiori od uguali ad x* è pari proprio
a c (vedere figura 1.b.).
FIGURA 1.b.
Fonte: nostra elaborazione.
Il VAR è pari ad il quantile cambiato di segno (essendo, solitamente, un misuratore di perdite).
Supponiamo ad esempio di voler calcolare la perdita massima nel 99% dei casi, allora data una distribuzione della densità di probabilità (si considera la densità di probabilità in quanto l’area sotto la curva viene ad essere pari ad 1) si va ad individuare sulla curva quel valore ,x*, tale che la probabilità di registrare un valore inferiore ad x* sia pari all’1% (complemento percentuale a 99%). Il VAR va dunque a calcolare il peggior valore che si può verificare nel portafoglio rischioso nel 99% dei casi ovvero il miglior valore che si può manifestare, sempre nel portafoglio rischioso, nell’1% dei casi.
Il VAR dipende da due variabili chiave:
1. l’orizzonte temporale prescelto, 2. il livello di confidenza prescelto.
Essendo queste due variabili determinate dal decisore, uno dei limiti che viene mosso al VAR è il fatto di essere un metodo fortemente soggettivo, oltre a ciò il VAR si limita a considerare il quantile non andando a verificare cosa accade oltre a tale valore
1. Per ciò si sono sviluppati in tempi più recenti altri misuratori del
1
Si sono inoltre rilevati altri limiti di carattere matematico, come il fatto che il VAR non fosse una misura
rischio alternativi al VAR (ad esempio il Tail Conditional Expextation, il
Conditional VAR o L’Expected Shortfall).
ALLEGATO 2. IL METODO DI ALTMAN.
Il ricorso ai tassi di default cumulati dei titoli obbligazionari di rischio comparabile si ispira alla metodologia di Altamn introdotta nel 1989. Tale metodo si basa sul concetto dei tassi di mortalità dei bond, prevedendo di quantificare per tutti i bond aventi un certo rating all’origine (tempo 0) il tasso di mortalità marginale (marginal mortality rate)entro un certo intervallo temporale (tempo t). La metodologia dunque stima il rischio di credito di gruppi omogenei di debitori sulla base del tasso di inadempimento (mortalità) storico caratteristico di ciascun gruppo. L’ipotesi fondamentale del modello è che se una classe omogenea di prenditori a registrato in passato un dato tasso di inadempimento ed ha originato determinati livelli di perdita, debitori aventi le medesime caratteristiche genereranno gli stessi tassi di perdita.
Il tasso di mortalità marginale è dato da:
MMR: valore dei bond per cui si è registrata l’insolvenza al tempo t valore totale dei bond ancora in vita all’inizio dell’anno t
Indifferentemente il marginal mortalità rate può essere calcolato invece che in base al valore delle emissioni in base al numero degli emittenti, avremo allora:
MMR: numero di emittenti divenuti insolventi all’anno t numero di emittenti non insolventi all’inizio dell’anno t
Successivamente si va a calcolare il tasso di sopravvivenza (survival rate) degli emittenti di un dato rating all’anno t che sarà dato dal complemento ad uno del tasso di mortalità:
SR=1- MMR
Il passaggio successivo consiste nell’andare a ricavare il tasso di mortalità cumulato su un periodo di tempo più prolungato (T) che sarà pari a:
T
CRT(T)= ∏ MMR(t)
t=1
sostituendo il tasso di sopravvivenza avremo : T
CRT(T)=1- ∏ SR(t) t=1
Sulla base dei tassi di mortalità o sopravvivenza cumulata si va quindi a stimare la probabilità d’insolvenza di un certa controparte che, abbinata al recovery rate, darà l’ammontare di perdita attesa.
I limiti principali del modello si rifanno al fatto che il modello in questione è backward looking, ovvero basa valutazioni future sui dati passati. Questo è un limite forte se consideriamo che nel mercato obbligazionario la curva dei rendimenti è caratterizzata da un andamento ciclico, per cui a periodi di alta mortalità ne seguono altri di bassa mortalità. Chiaramente considerare i dati del periodo precedente porta ad una sovrastima del rischio insito nelle posizioni successive. Inoltre la mortalità dei titoli campione potrebbe essere collegata ad alcune variabili sistematiche, delle quali il modello non tiene conto.
L’applicabilità in ambito bancario è inoltre limitata essendo le caratteristiche di
prestiti concessi non assimilabili alle obbligazioni, che presentano tassi fissi e
pagati a scadenze regolari.
ALLEGATO 3. STIMA DELLA PERDITA ATTESA SULLA BASE DEL CREDIT SPREAD.
Una metodologia alternativa al metodo di Altman consiste nello stimare la perdita attesa sulla base della struttura per scadenze dei credit spread riferiti ad una certa classe di emittenti nell’ipotesi che gli investitori siano neutrali al rischio. Per le diverse scadenze temporali si vanno a confrontare i rendimenti dei titoli rischiosi con quelli dei cosiddetti titoli privi di rischio aventi al medesima durata e le stesse caratteristiche in termini di modalità di rimborso e di pagamento degli interessi.
Consideriamo il tasso di rendimento di uno zero coupon emesso oggi e con scadenza al tempo t (R o,t ) ed il tasso di rendimento di un titolo rischioso anch’esso emesso oggi e con scadenza al tempo t (I o,t ). Considerare un soggetto neutrale al rischio significa prevedere un’indifferenza nell’investire oggi nello zero coupon che dà a scadenza un valore certo o nel titolo rischioso che a scadenza potrebbe aver subito una perdita. I montanti delle due operazioni devono dunque essere uguali, deve cioè valere la seguente relazione:
(1+R o,t )=(1+I o,t )*(1-PA t )
Dove: con PA t indico la perdita subita dal titolo rischioso al tempo t.
Dalla formula precedente si possono stimare i tassi di perdita attesi di tutti i titoli rischiosi, impliciti nelle curve dei tassi degli zero coupon:
PA t = 1- (1+R o,t ) (1+I o,t ) o più in generale:
PA t = 1- (1+R t,t+1 ) (1+I t,t+1 )
I limiti di questo modello si rifanno al fatto di assumere che gli spreads del
rendimento tra i titoli rischiosi ed i titoli privi di rischio siano unicamente
determinati dal premio per il rischio di credito, riproponendo la teoria delle
aspettative pure. Nella realtà i rendimenti dei titoli rischiosi incorporano anche un premio di liquidità e sono condizionati dai costi di transazione. La metodologia presuppone inoltre che i titoli confrontati siano tutti uguali per caratteristiche salvo che per la scadenza e che sia possibile estrarre da essi la curva degli zero coupon. Esiste inoltre un problema per i debitori a cui non è stato assegnato un rating dato dalla difficoltà di inserirli in certa classe.
ALLEGATO 4. IL METODO DI MERTON.
Il metodo di Merton è la base per i modelli di stima della perdita attesa basati sull’option pricing. Secondo Merton la componente azionaria di una società può essere considerata come un’opzione call con sottostante il valore dell’attività dell’impresa e con prezzo d’esercizio il valore del debito contratto.
Supponiamo una situazione semplificata del seguente tipo: un’impresa con un attivo totalmente a rischio e con un passivo composto da mezzi propri e di terzi (vedere tabella 4.a.).
TABELLA 4.a.
ATTIVO PASSIVO Attività rischiose: V t Mezzi di terzi B t
Mezzi propri E t
TOTALE: V t TOTALE: V t
Fonte: nostra elaborazione.
Per semplicità supponiamo che il valore dei mezzi di terzi sia assimilabile ad un zero coupon con scadenza T e valore nominale F (che rappresenta il valore che dovrà essere rimborsato alla scadenza ai creditori dell’impresa).
Supponiamo poi che alla scadenza T l’impresa sia insolvente, potranno allora verificarsi due eventi:
1) il valore dell’attivo è superiore a F: sarà rimborsato il debito ed il valore trattenuto dagli azionisti sarà pari a V t -F
2) il valore dell’attivo è inferiore a F: il valore dell’attivo sarà usato per coprire i debiti ed il valore rimanente per gli azionisti sarà pari a zero.
Il payoff per gli azionisti sarà dunque dato da Max [V t -F,0] ,ovvero il payoff di
un’opzione call avente come sottostante il valore dell’attivo dell’impresa e come
prezzo d’esercizio F.
Di contro il payoff per i creditori sarà dato da Min [V t , F]; questo può essere scomposta nel seguente modo:
T T
Min [V t , F]= F- Min [V t -F,0]= F- Max [F-V t ,0]= B(1+r)+ [F- B(1+r)]- Max [F-V t ,0]
T
Dove: B(1+r) rappresenta il montante derivato dall’investimento in titoli non rischiosi per il periodo T,
T
[F- B(1+r) ] rappresenta il premio dato al creditore per aver investito in attività rischiose,
Max [F-V t ,0] rappresenta il valore di un’opzione put avente come
sottostante il valore dell’attivo dell’impresa e come prezzo d’esercizio F (avente quindi gli stessi parametri della call).
Dal valore della put si riesce dunque a stimare tutti i parametri applicabili nella formula di Black&Scholes per quantificare il valore dell’attività rischiosa a scadenza, assimilabile ad un opzione call avente come sottostante il valore dell’attività e come prezzo d’esercizio il valore nominale del debito. Da questi si ricavano poi la loss given default e la probabilty at default.
Il modello di Merton si basa su alcune ipotesi che ne rappresentano anche i principali limiti:
a) non vi sono né costi di transazione né tasse e tutte le attività sono perfettamente divisibili,
b) esiste un numero sufficiente di investitori dotati di livelli di ricchezza analoghi e tali che ogni investitore ritiene di poter vendere o acquistare al prezzo di mercato le quantità di attività desiderata,
c) esiste un mercato nel quale è possibile dare e prendere al medesimo tasso d’interesse,
d) è consentita la vendita allo scoperto di tutte le attività ed il ricavato è interamente disponibile per l’investimento,
e) le contrattazioni delle attività avvengono di continuo,
f) il valore delle imprese è indipendente dalla loro struttura,
g) esiste un tasso risk-free identico per tutte le scadenze (la curva dei tassi è piatta),
h) la dinamica del valore dell’attività dell’impresa può essere descritta da un processo di tipo stocastico.
Oltre a ciò il modello di Merton ipotizza che il default avvenga solo alla scadenza e la presenza di un’unica linea di credito. Queste limitazioni saranno superate con l’implementazione dei modelli successivi.
ALLEGATO 5. I FIRST PASSAGE TIME MODEL.
I First Passage Time Model furono introdotti da Black e Cox nel 1976, che modificarono il modello di Merton assegnando al debito un valore in base al tempo residuo alla scadenza:
-γ(T-t) V(t)=k*e
Dove:con V(t) indico il valore del debito al momento t con k e γ indico delle costanti
con (T-t) indico il tempo residuo alla scadenza
Inoltre Black e Cox cercarono di superare l’altro limite forte del modello di Merton prevedendo due tipologie di debito: il senior debt ed il junior debt e calcolando il prezzo del junior debt come la differenza di prezzo di due senior debt successivi:
B(J,t,T)=B(D,t,T)-B(P,t,T)
Dove: con B(J,t,T) indico il prezzo del junior debt con scadenza T al momento t con B(D,t,T) indico il prezzo del senior debt D con scadenza T al
momento t
con B(P,t,T) indico il prezzo del senior debt P con scadenza T al momento t
Altre modifiche furono poi apportate alle teorie di Black e Cox in tempi successivi. Longstaff e Schwartz nel 1995 ipotizzarono dapprima un tasso d’interesse calcolato con un procedimento di tipo stocastico e suddivisero il senior debt in diverse classi di rischio, non più solo junior e senior.
ALLEGATO 6. GLI INTENSITY MODELS.
Gli Intensity Models si basano su un presupposto totalmente differente dai Firm Models. Essi ipotizzano infatti che il default possa manifestarsi in qualsiasi momento in base ad una distribuzione di probabilità rappresentativa dell’intensità di default. Uno dei modelli più semplici che si rifanno alla logica degli intensity models è il modello di Jarrow e Turnbull. La struttura del modello è simile a quella di un albero in cui ad ogni nodo vengono fatti corrispondere le diverse situazioni di default (in termini di variabilità del tasso d’interesse) ed i rami rappresentano la probabilità che il default si manifesti. La stima della perdita attesa avverrà sulla base delle varie possibili perdite e delle relative probabilità di manifestazione.
FIGURA 6.a.
…..
λ aumento del tasso t=0
…..
(1-λ)
...
diminuzione del tasso
…..
Fonte: nostra elaborazione.
ALLEGATO 7. LA DISTRIBUZIONE DEL RATING NELLA SIMULAZIONE DI UNIONCAMERE.
4,0%
13,6%
17,5%
25,8%
20,5%
1,2% 0,7%
2,1%
4,5%
10,2%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
BBB+ BBB BBB- BB+ BB BB- B+ B B- C C C
Rating
F re que nz a
Fonte: Pettinato S., a cura di, “Gli effetti del trattato di Basilea 2 sulle aziende italiane”. Risultati della
simulazione su un campione d’imprese, Unioncamere, Roma, 15 ottobre 2003.
ALLEGATO 8. LA DISTRIBUZIONE DEL PRICING NELLA SIMULAZIONE DI UNIONCAMERE.
Fatturato <= 5 mil. Fatturato tra 25 e 50 mil.
Fatturato tra 5 e 10 mil. Fatturato >050 mil.
-100%
-50%
0%
50%
100%
150%
200%
A- BBB+ BBB BBB- BB+ BB BB- B+ B B- C C C
Rating
Differenza % con Basilea I
Fonte: Pettinato S., a cura di, “Gli effetti del trattato di Basilea 2 sulle aziende italiane”. Risultati della
simulazione su un campione d’imprese, Unioncamere, Roma, 15 ottobre 2003.
ALLEGATO 9. LE ECCEZIONI BLU.
CODICE DESCRIZIONE B003 Rate scadute < 90 gg Experian
B004 Rate scadute < 90 gg Crif B006 Attività lavorativa precaria
B007 Cancellazione Cai
2B009 Rilievi aperti procedura rilievi B010 Garanzie personali ricevute
B011 Nazionalità non Ue, residenza < a 5 anni B012 Nazionalità Ue, residenza < a 3 anni B013 Età inferiore a 21 anni o superiore a 80
anni
3B021 Importo richiesto non garantito > 110%
importo proponibile
B022 Sofferenza allargata CR I livello
4B023 Garanzie attivate con esito negativo CR I livello
B024 Crediti passati a perdita CR I livello B025 Finanziamenti procedura concorsuale CR I
livello
B026 Crediti ristrutturati CR I livello
B027 Crediti in corso di ristrutturazione CR I livello
B028 Altri atti pregiudizievoli a carico
B029 Crediti scaduti operazioni factoring CR I livello
Fonte: Banca Popolare di Lodi presentazione dal titolo: Il sistema Matrix.
2
Il CAI (Centrale d’Allarme Interbancaria)è un archivio informativo presso Banca d’Italia in cui confluiscono:
1. generalità dei traenti assegni bancari e postali emessi senza autorizzazione o provvista e dei soggetti ai quali sia stata revocata l’autorizzazione all’utilizzo delle carte di pagamento
2. dati relativi a tali strumenti ed a quelli smarriti, rubati o bloccati in relazione a revoca disposta a carico dei correntisti od alle sanzioni irrogate dagli Uffici territoriali del Governo e dell’Autorità giudiziaria.
3
Si intende qui l’età del soggetto imprenditoriale.
4
