CAPITOLO 4
STIMA DELLA FREQUENZA DOPPLER
Vediamo ora in che modo il singolo ricevitore radar può misurare la massima frequenza doppler relativa al movimento del bersaglio.
Fig. 4.1 – Schema a blocchi per la stima della frequenza doppler
Il segnale in banda base (equazione 3.1) viene inizialmente processato per estrarre la Short-Time Fourier Transform (fig. 4.2, siamo nel caso generale) denominata . Questa come spiegato in precedenza è una funzione bidimensionale e quindi, dal punto di vista del calcolatore, può essere vista come una matrice: ogni riga corrisponde ad una frequenza e ogni colonna ad istante di tempo. A differenza del caso ideale la semplice STFT fatta in questo modo presenta dei massimi della funzione diversi tra di loro in corrispondenza delle periodicità della forma d’onda e questo giustifica l’utilizzo di un opportuno algoritmo di binarizzazione dell’immagine per attribuire al singolo pixel il valore “0” oppure “1”. In letteratura sono presenti numerosi esempi da uno dei quali è stato tirato fuori lo schema a blocchi illustrato in figura 4.1. [8]
Fig. 4.2 – Short-Time Fourier Transform
Poiché questo processing fa utilizzo dell’istogramma dell’immagine è opportuno modificare il range dei valori della in modo tale da avere un massimo pari a “1” e un minimo pari a “0”. Fatto questo si passa appunto all’istogramma della che, essendo comunque sempre in assenza di rumore, sarà simile alla figura 4.3.
L’istogramma di un’immagine è un tipo di istogramma che rappresenta in modo grafico la distribuzione tonale di un’immagine digitale. Traccia il numero di pixel per ogni valore tonale [9]: l’asse orizzontale del grafico rappresenta le variazioni tonali, mentre l’asse verticale il numero di pixel di quel tono particolare. L’istogramma è fondamentale nel nostro caso perché ci permette di trovare la giusta soglia da usare poi per la binarizzazione dell’immagine; è necessario quindi trovare un metodo adeguato per il calcolo di tale soglia: per il nostro problema è stato scelto l’algoritmo di Otsu [10].
Algoritmo di Otsu
Questo algoritmo valuta la soglia S analizzando la qualità della distribuzione dei livelli di grigio tra le due classi (oggetto e sfondo) che la scelta della soglia induce. Detto l’istogramma dell’immagine e considerato che il valore del singolo pixel dell’immagine può variare tra “0” (nero) e “255” (bianco), si considera l’istogramma normalizzato
(4.1)
dove stima la probabilità di comparsa del livello di grigio . Per un fissato valore della soglia S, si determina una ripartizione dei livelli di grigio in due classi e ; le probabilità che un pixel appartenga ad una delle due classi sono:
(4.2) (4.3)
I livelli di grigio medi delle due classi sono:
Per cui il livello di grigio medio nell’intera immagine è (4.6)
Si calcolano poi le varianze delle due classi
(4.7) (4.8)
A questo punto è possibile valutare la varianza tra le classi e la varianza interna alle classi
(4.9) (4.10)
Mentre la prima misura la separazione tra le due classi, la seconda ne misura la compattezza. L’obiettivo del metodo è quello di individuare il valore della soglia S per cui si massimizza la separazione tra le classi e la compattezza di ciascuna; ciò equivale a massimizzare il rapporto
(4.11)
Riprendendo come esempio la STFT della fig. 4.2, considerando che le due classi sono la forma d’onda (oggetto) e lo sfondo, e il relativo istogramma di fig. 4.3, il rapporto da massimizzare per il calcolo della soglia tramite l’algoritmo Otsu è rappresentato in fig. 4.4.
Fig. 4.4 – Calcolo della soglia (algoritmo Otsu)
Una volta trovata la soglia (indicata con nello schema a blocchi di fig. 4.1) è facile passare all’algoritmo di binarizzazione dell’immagine:
(4.12)
Sempre relativamente allo stesso esempio l’immagine binaria è la seguente
Nell’asse orizzontale ci sono gli istanti di tempo e in quello verticale le frequenze. Come si vede la forma d’onda è compresa tra due valori di frequenza (uno positivo e l’altro negativo): la corrisponde al
