Velocità media
1. Sono dati i tempi di percorrenza
Un automobilista viaggia per 12 minuti alla velocità di 50 km/ora, per 24 minuti alla velocità di 80 km/ora e per 15 minuti alla velocità di 100 km/ora.
Calcolare la velocità media.
= = + +
+ + = ∙ + ∙ + ∙
+ + = ∑ ∙
∑
Come si vede la velocità media è in questo caso pari alla media aritmetica delle singole velocità ponderate per i tempi di percorrenza.
Ricordiamo infatti la formula della media aritmetica ponderata:
= ∑ ∙
∑ Quindi, passando ai dati:
= ∙ + ∙ + ∙
+ + = 50 ∙ 12 60 + 80 ∙ 24
60 + 100 ∙ 15 12 60
60 + 24
60 + 15 60
=
= 10 + 32 + 25 51 60
= 78.82 km/h
Velocità media
2. Sono date le distanze percorse
Un automobilista percorre 5 km alla velocità di 50 km/ora, 4 km alla velocità di 80 km/ora, 20 km alla velocità di 100 km/ora.
Calcolare la velocità media.
= = + +
+ + = + +
+ + = ∑
∑
Come si vede la velocità media è in questo caso pari alla media armonica delle singole velocità ponderate per gli spazi percorsi.
Ricordiamo infatti la formula della media aritmetica ponderata:
= ∑
∑ 1 ∙ Quindi , passando ai dati :
= + +
+ + = 5 + 4 + 20 50 + 5 4
80 + 20 100
= 5 + 4 + 20 20 7
= 82.86 km/h
Raggio medio
Si consideri un bosco formato da K alberi. Approssimiamo ogni tronco d’albero con un cilindro, ciascuno con un proprio raggio r
ie una altezza h
i. Vogliamo calcolare il raggio medio dei K alberi che mantiene costante il volume totale del legname che si può ricavare dal bosco.
Ricordando che il volume di un cilindro è dato da π # ℎ, si ha:
%&'
()(= %&' + %&' +…+%&'
*= π # ℎ +π # ℎ + … + π #
*ℎ
*Sostituiamo ora ciascun raggio con il raggio medio cercato:
π # ℎ +π # ℎ + … + π #
*ℎ
*= π # ℎ +π # ℎ + … + π # ℎ
*Raccogliendo i termini comuni:
π + # ℎ =
*
π # + ℎ
*
