CAPITOLO 3

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CAPITOLO 3

ANALISI DEI RISULTATI

3.1 INTRODUZIONE

In questo capitolo vengono illustrati i risultati sperimentali ottenuti in seguito alle prove effettuate.

Le simulazioni sono state realizzate con lo scopo sia di testare il corretto comportamento del tempo di rilassamento T1 nei diversi contesti ricreati, sia di valutare le tempistiche e le

prestazioni che nel complesso hanno caratterizzato i programmi eseguiti.

Il lavoro è stato organizzato in modo da ricreare una situazione iniziale in cui è stato riprodotto un simulatore di immagini di Risonanza Magnetica, poi sottoposto ad una procedura di fitting non lineare. Il risultato ottenuto in questa prima fase è stato usato come punto di riferimento e confronto per le elaborazioni successive, ideate con l’intento di apportare delle modifiche capaci di gestire, nel modo più efficiente possibile, l’obiettivo di velocizzare la procedura inziale ed aumentare l’accuratezza del risultato finale.

Le simulazioni sono state condotte variando il valore dei parametri a seconda dei contesti da riprodurre. Tutti gli esperimenti sono stati effettuati lavorando su un computer Mac OS X 10.8.5. Tutti i risultati ottenuti sono stati organizzati in data-set multipli contenuti in apposite tabelle e illustrati nei relativi grafici.

3.2 RISULTATI RELATIVI AL FANTOCCIO

La realizzazione del fantoccio, capace di rappresentare le curve di rilassamento teorico del

T1 poi sottoposte ad una procedura di fitting non lineare, è stata eseguita sia ricreando una

situazione di pre-contrasto, che una di post-contrasto. Tale operazione è stata ottenuta adoperando i dati tratti dalla letteratura, sia mantenendoli fissi, sia rendendoli variabili entro un certo range in modo da rendere più realistica la simulazione; dunque sono stati creati due data-set, uno contenente i dati fissi (FIX) ed un altro contenente i dati variabili (VAR).

Numericamente, le informazioni utili qui usate per riprodurre la condizione di pre-contrasto sono state:

− intensità del segnale nativo del miocardio S0_myo = 60.40±17.68 (valore medio di

10 soggetti);

− intensità del segnale nativo del ventricolo sinistro S0_lv = 71.30±18.26 (valore

medio di 10 soggetti);

− numero di intervalli RR considerati NRR = 6;

− tempo di rilassamento T1 del miocardio T1_myo = 1000±183 msec;

− tempo di rilassamento T1 del ventricolo sinistro T1_lv = 1500±23 msec;

− fattore di recupero del segnale f = 0.5 ÷ 1.

Gli stessi dati nel caso post-contrasto assumono un valore differente:

− intensità del segnale nativo del miocardio S0_myo = 77.46±23.35 (valore medio di

10 soggetti);

− intensità del segnale nativo del ventricolo sinistro S0_lv = 78.94±21.20 (valore

medio di 10 soggetti);

− numero di intervalli RR considerati NRR = 2;

− tempo di rilassamento T1 del miocardio T1_myo = 300±46 msec;

− tempo di rilassamento T1 del ventricolo sinistro T1_lv = 500±112 msec;

− fattore di recupero del segnale f = 0.5 ÷ 1.

Informazioni aggiuntive su tali parametri sono già state fornite nel capitolo precedente, paragrafo 2.3.

Ogni simulazione è stata eseguita quattro volte, una per ogni diverso valore di rumore σ testato e, tutte le volte, è stata ipotizzata una durata del ciclo cardiaco pari a 800 msec (diastole ≈500 msec e sistole ≈300 msec)25. Maggiori dettagli informativi sul rumore sono disponibili nel capitolo precedente, paragrafi 2.3 e 2.3.1.

Per ogni prova ripetuta sono stati registrati: l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (considerando che la bontà dell’errore di fitting è quanto la relativa curva somiglia a quella originale, si tratta della media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto mettendo in relazione la mappa T1 del fantoccio

con la mappa T1 conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma,

37   inversione (punto che contraddistingue la curva di decadimento teorico da quella raddrizzata). In questo lavoro, il punto di inversione preso in considerazione è, tra i campioni analizzati, quello che registra il minimo errore %. Nella realtà, però, può capitare che il T0 appartenga ad una curva non ben definita, perciò il minimo non si vede bene in

quanto “coperto” dal rumore. Nel caso di questo lavoro, la scelta del T0 tra uno dei

campioni è giustificabile dall’avere una sequenza ad alta risoluzione; ma se si considerasse una curva a bassa risoluzione, come le vere sequenze T1, si troverebbe una

approssimazione del punto di inversione.

Tutti gli output relativi al fantoccio sono riportati nelle tabelle 3.1 e 3.2.

Nel seguito, suddetti dati sono stati usati per un confronto qualitativo con i risultati ottenuti nei programmi in cui sono state apportate le ottimizzazioni.

Tab. 3.1: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ, con dati fissi (FIX) e variabili (VAR) caratteristici in pre-contrast. Per ogni prova sono stati registrati: il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1 conseguente

dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

Tab. 3.2: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ, con dati fissi (FIX) e variabili (VAR) caratteristici in post-contrasto. Per ogni prova sono stati registrati: il numero di iterazioni necessarie alla ricerca

del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1

conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

È possibile osservare che, a parità di rumore σ, i risultati relativi all’errore % di fitting non variano in maniera considerevole nei due casi di utilizzo di dati di partenza fissi o

Rumore'σ Num'Iterazioni Err'%'di'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) Num'Iterazioni Err'%'di'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) σ=1 2!!(!!2.164!!(!!18 1.341 0.379 373.184 2!!(!!2.160!!(!!20 1.339 0.579 376.279 σ=3 2!!(!!2.173!!(!!19 1.366 1.056 369.376 2!!(!!2.163!!(!!19 1.361 1.812 372.829 σ=5 2!!(!!2.162!!(!!19 1.412 1.650 370.414 2!!(!!2.172!!(!!24 1.399 3.243 372.810 σ=10 2!!(!!2.163!!(!!18 1.559 3.421 366.997 2!!(!!2.166!!(!!18 1.524 8.310 368.453 PRE?'CONTRAST'('NO'OTTIMIZZAZIONI') FIX VAR

Rumore'σ Num'Iterazioni Err'%'di'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) Num'Iterazioni Err'%'di'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) σ=1 2!!(!!5.169!!(!!42 3.958 0.520 154.796 2!!(!!5.153!!(!!40 3.948 0.811 159.680 σ=3 2!!(!!5.160!!(!!31 3.981 1.488 152.965 2!!(!!5.158!!(!!38 3.975 2.430 153.165 σ=5 2!!(!!5.206!!(!!24 4.006 2.419 153.992 2!!(!!5.201!!(!!28 3.986 3.985 156.496 σ=10 2!!(!!5.183!!(!!31 4.109 4.840 158.391 2!!(!!5.191!!(!!28 4.075 8.117 154.169 POSTA'CONTRAST''('NO'OTTIMIZZAZIONI') FIX VAR

variabili; si registra solo una lieve riduzione dell’errore % sui dati variabili, rispetto a quelli fissi: 0.014±0.01% in pre-contrast e 0.018±0.01% in post-contrast.

Sempre a parità di valore σ, l’errore % sul T1, invece, subisce un aumento nella parte destra

delle tabelle 3.1 e 3.2, nello specifico: 1.860±1.82% in pre-contrast e 1.519±1.11% in post-contrast.

I numeri di iterazioni riportati (valore minimo, medio e massimo, rispettivamente) si mantengono più o meno costanti.

Il tempo di calcolo in pre-contrast appare maggiore di 2.6±0.8 minuti se si usano i dati variabili, mentre in post-contrast l’aumento del tempo con gli stessi dati è di 0.8±3.4 minuti. Dunque risulta che, a parità di rumore σ, le considerazioni fatte non rivelano differenze significative tra il data-set FIX e quello VAR, perciò si è preferito continuare il lavoro sfruttando solo l’insieme dei parametri variabili entro un opportuno range, perché questi ricreano una situazione ragionevolmente più vicina al caso reale.

Fig. 3.1: Variazioni del numero di iterazioni, dell’errore % di fitting, dell’errore % commesso sul T1 e del

tempo di calcolo (ore) nei casi pre- e post-contrasto, a parità di rumore σ, usando i dati fissi e variabili 0 2 4 6 8 10 Num

iteraz Err % fitting Err % T1 calcolo tempo

σ=1

iteraz fitting Err % Err % T1 calcolo tempo

σ=3

iteraz Err % fitting Err % T1 calcolo tempo

σ=5

iteraz fitting Err % Err % T1 calcolo tempo

σ=10

FIX-­‐pre   VAR-­‐pre   FIX-­‐post   VAR-­‐post  

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Fig. 3.2: In questo grafico è possibile osservare gli andamenti crescenti degli errori % di fitting e sul T1, rispettivamente

meno evidenti e più marcati, all’aumentare del valore del rumore σ, mentre l’andamento del tempo (nell’ordine delle ore) è pressoché costante ed indipendente da σ. I dati si riferiscono ai valori pre-contrasto, appartenenti al data-set VAR

Fig. 3.3: In questo grafico è possibile osservare gli andamenti crescenti degli errori % di fitting e sul T1, rispettivamente

meno evidenti e più marcati, all’aumentare del valore del rumore σ, mentre l’andamento del tempo (nell’ordine delle ore) è pressoché costante ed indipendente da σ. I dati si riferiscono ai valori post-contrasto, appartenenti al data-set VAR

Osservando l’andamento dell’errore % di fitting e quello sul T1 riportato nei grafici 2.2 e

2.3, riferiti rispettivamente alle condizioni in pre- e post-contrasto, si nota un incremento graduale in corrispondenza dell’aumento del rumore σ; invece il numero delle iterazioni e il tempo di calcolo impiegato seguono un andamento pressoché costante e indipendente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Pre-constrast

(data-set VAR)

Post-constrast

dal valore σ. Quest’ultima affermazione lascia dedurre che il tempo di calcolo e il numero di iterazioni sono legate più al numero di frames su cui si lavora, che non all’entità del rumore. Emerge, appunto, che il tempo di calcolo in pre-contrast è nettamente superiore a quello impiegato in post-contrast, proprio perché il numero di frames con cui si lavora nel primo caso è pari a 180, rispetto ai 60 in post-contrasto.

Infatti, la velocità di IDL, come di qualsiasi altro software simile, di interagire con i vettori, prescinde dal valore dei singoli elementi contenuti nel vettore.

3.3 RISULTATI DELLE OTTIMIZZAZIONI

Qui di seguito verranno riportate tutte le tabelle, ed i relativi grafici, contenenti i risultati dei programmi i cui codici sono stati variati, rispetto all’originale, per perseguire l’obiettivo di ottimizzare la procedura di fitting non lineare, facendo in modo che si potessero ottenere errori % entro range ragionevoli e in un minore tempo di calcolo. Infatti, come è possibile notare dalle tabelle 3.1 e 3.2, il tempo di calcolo iniziale è notevolmente elevato, dell’ordine delle ore.

In ciascuna procedura di ottimizzazione sono state apportate delle modifiche graduali, in modo da apprezzarne più dettagliatamente i miglioramenti ottenuti ed anche eventuali aspetti negativi, così da poter fare una valutazione precisa per la scelta dell’ottimizzazione più vantaggiosa.

Tali prove sono state eseguite sia in pre- che in post-contrasto sfruttando solo il data-set VAR, come spiegato nel paragrafo precedente.

3.3.1 OTTIMIZZAZIONE 1: ELIMINAZIONE DEL FONDO

La modifica iniziale apportata è stata l’eliminazione del background, caratterizzato dall’assenza di segnale utile.

Dallo studio della tabella 3.3, la prima cosa che risalta è la netta riduzione del tempo di calcolo, che prima richiedeva delle ore per il conseguimento dell’output del programma, mentre ora richiede circa 40 minuti in pre-contrasto e circa 15 minuti in post-contrasto.

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Tab. 3.3: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli relativi all’ottimizzazione 1, eseguiti al variare del rumore σ, con dati variabili (VAR) in pre- e post-contrast. Per ogni prova sono stati registrati: il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli

campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1

conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

Un’altra evidenza riguarda il numero di iterazioni, che si mantiene costante a 2 in tutte le otto prove effettuate.

Sia il tempo di calcolo impiegato, che il numero di iterazioni, si confermano essere, ancora una volta, indipendenti dal rumore σ per le stesse motivazioni fornite al paragrafo 3.2. Più interessanti risultano le considerazioni relative agli errori %: per quanto riguarda l’errore di fitting, si nota un graduale incremento proporzionale all’aumento del rumore; più evidente è, in relazione all’amplificazione del valore di σ, la crescita dell’errore % commesso sul T1 in seguito alla procedura di fitting. Questo si verifica sia in pre- che in

post-contrasto e può essere apprezzato nei grafici 2.4 e 2.5.

Le considerazioni sui risultati ottenuti a parità di rumore σ denotano che l’errore di fitting in pre-contrasto è più grande di quello post, in media, di 0.184±0.2; mentre l’errore % sul

T1 è più alto in pre-contrasto, in media, di 0.02±0.9. Dunque le differenze sono in entrambi

i casi trascurabili.

Dal confronto tra i risultati presenti in tabella 3.3 e quelli contenuti nelle tabelle 3.1 e 3.2, è possibile dedurre che l’intento di diminuire il tempo di calcolo è stato raggiunto, dal momento che è stata registrata una riduzione media pari al 90.3% nel post-contrasto e dell’89.3% in pre-contrasto, mantenendo gli errori percentuali sul T1 entro un range

accettabile. Infatti, tale errore % subisce delle modifiche tollerabili, in quanto si assiste ad un aumento del suddetto errore dell’10.9% nella situazione pre-contrast dell’ottimizzazione 1 e dello 0.3% in post-contrast.

Per quanto riguarda l’errore di fitting, le statistiche riportano una riduzione di tale valore pari al 56.7% e 89.3% nei casi pre- e post-contrasto, rispettivamente.

I risultati appena descritti sono apprezzabili nei grafici 2.6 e 2.7 di seguito illustrati.

Rumore'σ Num'Iteraz Err'%'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) Num'Iteraz Err'%'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min)

σ=1 2 0.051 0.585 39.708 2 0.056 0.803 14.772 σ=3 2 0.251 1.801 40.672 2 0.197 2.396 14.850 σ=5 2 0.565 3.297 39.584 2 0.391 4.001 15.313 σ=10 2 1.569 9.787 39.298 2 1.061 8.190 15.496 OTTIMIZZAZIONE'1:'ELIMINAZIONE'FONDO PREE'CONTRAST''(VAR) POSTE'CONTRAST''(VAR)

Fig. 3.4: In questo grafico è possibile osservare l’andamento crescente dell’errore % commesso sul T1 all’aumentare del

valore del rumore σ, risultante dall’ottimizzazione 1. I dati si riferiscono ai valori pre e post-contrasto del data-set VAR

Fig. 3.5: In questo grafico è possibile osservare l’andamento crescente dell’errore % di fitting all’aumentare del valore del rumore σ, risultante dall’ottimizzazione 1. I dati si riferiscono ai valori pre e post-contrasto del data-set VAR

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Errore % T

(data-set VAR)

Errore % fitting

(data-set VAR)

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Fig. 3.6: Nei due grafici in alto è possibile osservare come si riducono gli errori % sul T1 (a sinistra) e del fitting (a destra) facendo il confronto tra gli output delle tabelle 3.1 e 3.2 e quelli della tabella 3.3. In particolare, nel fantoccio base e nell’ottimizzazione 1 sono emersi, rispettivamente, i seguenti valori medi dell’errore % T1: 3.486±2.9 (pre-c) e 3.836±2.7 (post-c); 3.868±3.6 (pre-c) e 3.848±2.8 (post-c). Da tali valori numerici e dal grafico a sinistra si deduce che le variazioni sono minime. I valori medi dell’errore % di fitting che sono risultati nel fantoccio base e nell’ottimizzazione 1, rispettivamente, sono: 1.406±0.07 (pre-c) e 3.996±0.05 (post-c); 0.609±0.6 (pre-c) e 0.426±0.4 (post-c). Da tali valori numerici e dal grafico a destra si deduce che le variazioni, in questo caso, sono nettamente più evidenti. I dati si riferiscono ai valori del data-set VAR

Fig. 3.7: In questo grafico è possibile notare come si riduce il tempo di calcolo impiegato per ottenere l’output del programma. Infatti, facendo il confronto tra i dati riportati nelle tabelle 3.1 e 3.2 e quelli in tabella 3.3, sono emersi, rispettivamente, i seguenti valori medi dell’ordine dei minuti: 372.6±2.8 (fantoccio base in pre-c) e 155.9±2.5 (fantoccio base in post-c); 39.8±0.5 (ottimizzazione 1 in pre-c) e 15.1±0.3 (ottimizzazione 1 in post-c). Da tali valori numerici e dal grafico in alto si deduce che le variazioni sono fortemente significative. I dati si riferiscono ai valori del data-set VAR

Questi dati portano a concludere che nel fondo sono presenti errori alti che non danno alcun contributo informativo utile, per questo risulta fondamentale il filtraggio del

0 1 2 3 4 5 PRE-C POST-C

Errore % T

Errore % fitting

Tempo di calcolo (ore)

Phantom 0 No BK

background. Le differenze tra le T1 Maps e le Fitting Error Maps nella situazione di

partenza e in quella relativa all’ottimizzazione 1 sono riscontrabili nelle figure 3.8 e 3.9.

Fig. 3.8: La figura a sinistra illustra un esempio di T1 Map in scala di grigi, con relativa colorbar riferita ai valori del

tempo T1 (msec) di ogni pixel. L’immagine a destra mostra, invece, un esempio di Fit-Error Map a colori, con relativa colorbar riferita all’errore quadratico medio % di fitting di ogni pixel. Entrambe fanno riferimento al fantoccio base in post-contrast, con σ=5; T1, f ed S0 variabili

Fig. 3.9: L’immagine a sinistra mostra un esempio di T1 Map in scala di grigi, con relativa colorbar riferita ai valori del

tempo T1 (msec) di ogni pixel. La figura a destra illustra, invece, un esempio di Fit-Error Map a colori, con relativa colorbar riferita all’errore quadratico medio % di fitting di ogni pixel. Entrambe fanno riferimento al codice scritto per l’ottimizzazione 1 in post-contrast, con σ=5; T1, f ed S0 variabili, infatti si nota l’assenza del fondo in entrambe le mappe

T1map 1000 2000 3000 4000 FitError_Map 5 10 15 T1map 0 100 200 300 400 500 600 FitError_Map 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

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3.3.2 OTTIMIZZAZIONE 2: FITTING CON PIXEL VICINI

Oltre alla soddisfacente eliminazione del background, in questo caso è stata introdotta una modifica aggiuntiva riguardante i valori di inizializzazione della procedura di fitting. In particolare, sono stati usati i parametri S0 e T1 dei pixel tra loro adiacenti.

Sono state realizzate otto prove, ciascuna per ogni diverso valore di rumore σ, e sono stati raccolti i seguenti risultati:

Tab. 3.4: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli relativi all’ottimizzazione 2, eseguiti al variare del rumore σ, con dati variabili (VAR) in pre- e post-contrast. Per ogni prova sono stati registrati: il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli

campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1

conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

Come nell’ottimizzazione 1, in proporzione all’aumento di σ, anche qui è stato stimato un graduale incremento dell’errore percentuale di fitting ed una marcata crescita dell’errore sul T1, sia in pre- che in post-contrasto.

Fig. 3.10: In questi grafici è possibile osservare l’andamento crescente risultante dall’ottimizzazione 2, sia dell’errore % commesso sul T1 (immagine a sinistra) che dell’errore % di fitting (immagine a destra),

all’aumentare del valore del rumore σ. I dati si riferiscono ai valori pre e post-contrasto del data-set VAR Rumore'σ Num'Iteraz Err'%'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min) Num'Iteraz Err'%'Fitting Err'%'sul'T1 t'calcolo!(min)

σ=1 2 0.051 0.576 41.075 2 0.055 0.805 14.718 σ=3 2 0.253 1.790 40.879 2 0.191 2.397 14.584 σ=5 2 0.568 3.273 39.239 2 0.384 4.032 14.645 σ=10 2 1.571 9.598 40.109 2 1.049 8.209 14.332 OTTIMIZZAZIONE'2:'ELIMINAZIONE'FONDO'+'FITTING'CON'PIXEL'VICINI PREK'CONTRAST''(VAR) POSTK'CONTRAST''(VAR) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Errore % T

(data-set VAR)

Errore % fitting

(data-set VAR)

Anche in questo caso, è possibile apprezzare il netto decremento del tempo di calcolo rispetto alla situazione di partenza; inoltre si nota che la velocizzazione della procedura determina una riduzione del numero di iterazioni.

Dal confronto con i dati contenuti nelle tabelle 3.1 e 3.2, emerge che la riduzione media dei tempi di calcolo in pre- e post-contrasto, rispettivamente, ammonta all’89.2% e al 90.6%, nel rispetto del range degli errori sul T1.

Quest’ultimo, infatti, in comparazione con i valori di partenza, subisce una modifica trascurabile: aumenta di 9.3 punti percentuali in pre-contrasto e dello 0.7% in post-contrasto.

Per l’errore di fitting, dal raffronto si registra una riduzione media pari al 56.5% in pre-contrasto e dell’89.5% in post-pre-contrasto.

La scelta di tale ottimizzazione deriva dalla considerazione che lo scopo del fitting eseguito con la procedura MPFIT, è quello di cercare il set di parametri che meglio fitta i dati.

Fornendo i parametri iniziali migliori, si vuole dare un contributo tale da favorire il lavoro di fitting svolto da MPFIT.

Fig. 3.11: Nei due grafici in alto è possibile osservare come si riducono gli errori % sul T1 (a sinistra) e del fitting (a destra) facendo il confronto tra gli output delle tabelle 3.1 e 3.2 e quelli della tabella 3.4. In particolare, nel fantoccio base e nell’ottimizzazione 2 sono emersi, rispettivamente, i seguenti valori medi dell’errore % T1: 3.486±2.9 (pre-c) e 3.836±2.7 (post-c); 3.809±3.5 (pre-c) e 3.861±2.8 (post-c). Da tali valori numerici e dal grafico a sinistra si deduce che le variazioni sono minime. I valori medi dell’errore % di fitting che sono risultati nel fantoccio base e nell’ottimizzazione 2, rispettivamente, sono: 1.406±0.07 (pre-c) e 3.996±0.05 (post-c); 0.611±0.6 (pre-c) e 0.420±0.4 (post-c). Da tali valori numerici e dal grafico a destra si deduce che le variazioni, in questo caso, sono nettamente più evidenti. I dati si riferiscono ai valori del data-set VAR

0 1 2 3 4 5 PRE-C POST-C

Errore % T

Errore % fitting

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Fig. 3.12: In questo grafico è possibile notare la riduzione significativa del tempo di calcolo necessario per ottenere l’output del programma. Infatti, dal confronto tra i dati riportati nelle tab. 3.1 e 3.2 e quelli in tab. 3.4, sono emersi, rispettivamente, i seguenti valori medi: 372.6±2.8min (fantoccio base in pre-c) e 155.9±2.5min (fantoccio base in post-c); 40.3±0.7min (ottimizzazione 2 in pre-c) e 14.6±0.1min (ottimizzazione 2 in post-c). I dati si riferiscono al data-set VAR

L’idea di utilizzare i valori dei pixel tra loro adiacenti dà ottimi risultati, ma l’unico neo è dovuto al fatto che tale ottimizzazione può risultare fallimentare in corrispondenza della zona di confine tra un tessuto e l’altro.

Fig. 3.13: L’immagine a sinistra mostra un esempio di T1 Map in scala di grigi, con relativa colorbar riferita ai valori del

tempo T1, in msec, di ogni pixel. La figura a destra illustra, invece, un esempio di Fit-Error Map a colori, con relativa colorbar riferita all’errore quadratico medio % di fitting. Entrambe fanno riferimento al codice scritto per l’ottimizzazione 2 in post-contrast, con σ=5; T1, f ed S0 variabili, infatti si nota la presenza di una zona in cui è evidente la differenza di intensità dei pixel situati in corrispondenza del confine tra il tessuto miocardico e il ventricolo sinistro.

0 1 2 3 4 5 6 7 PRE-C POST-C

Tempo di calcolo (ore)

Phantom 0 Neighbors T1map 0 1000 2000 3000 4000 FitError_Map 0 10 20 30 40 50 60

3.3.3 OTTIMIZZAZIONE 3: FINESTRA Δt

In questa procedura, oltre all’eliminazione del fondo e al fitting effettuato con i valori S0 e

T1 dei pixel vicini, si tiene conto anche dell’effetto che la finestra Δt di campioni ha sul

comportamento dell’errore T1. Non si conosce a priori quale sia il miglior range Δt per

l’algoritmo, ma ovviamente ci si aspetta una procedura più veloce in corrispondenza di un intervallo Δt minore. Questo è confermato dai risultati tabellari di seguito riportati (tab. 3.5 e tab. 3.6), in cui vengono fornite informazioni non solo riferite agli errori percentuali di fitting e sul T1, il tempo di calcolo e il numero di iterazioni come nei casi già analizzati in

precedenza, ma anche il valor medio relativo all’effettiva dimensione della finestra di campioni sottoposta al fitting, in corrispondenza ad un preciso valore Δt.

Sono state eseguite un totale di 28 prove in pre-contrasto e 14 prove in post-contrasto, per ogni diverso rumore σ. In ciascuna prova il Δt è stato fatto variare in modo crescente, in corrispondenza quindi di un maggior numero di campioni analizzati e di un conseguente aumento del tempo di calcolo necessario per l’ottenimento dell’output.

Nel caso pre-contrasto il valore massimo di Δt è stato posto pari a 90, in post-contrasto il Δt massimo è stato fissato, invece, a 30. Questa scelta è dovuta ad un diverso numero di frames in pre- e post-contrasto (rispettivamente, 180 e 60 frames).

Poiché la finestra è stata costruita facendo coincidere il suo punto centrale con il punto di inversione della curva di decadimento, punto variabile ad ogni iterazione, è stata ricreata una situazione tale che, a destra e a sinistra dal centro, la finestra si estendesse di un’ampiezza pari a Δt, evitando comunque di superare i limiti riguardanti il numero effettivo di frames, altrimenti la riuscita dell’operazione sarebbe risultata discutibile.

49  

Tab. 3.5: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 3. Sono stati usati dati variabili (VAR) caratteristici in pre-contrast. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza Δt; il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1 conseguente

dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

Δt dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) 1 45.925 3$@4.755@$10 17.169 16.353 0.703 46.441 3$@4.460@$9 17.438 14.711 0.671 2 45.937 2$@4.679@$10 15.778 15.096 1.003 46.376 3$@4.408@$9 15.850 11.309 1.021 3 45.924 3$@4.642@$10 13.965 14.412 1.526 46.439 2$@4.463@$9 14.964 11.329 1.328 4 45.945 3$@4.635@$9 11.324 13.239 1.809 46.377 2$@4.463@$9 13.317 12.076 1.749 5 45.927 3$@4.660@$10 9.474 11.687 2.241 46.410 2$@4.544@$11 11.661 10.661 2.047 6 45.938 3$@4.646@$10 7.266 7.994 2.833 46.410 3$@4.602@$10 10.589 10.057 2.407 7 45.936 3$@4.714@$9 5.795 7.295 3.187 46.335 2$@4.707@$10 9.199 10.867 2.854 8 45.929 3$@4.764@$9 4.332 6.143 3.490 46.413 3$@4.739@$10 7.202 7.995 3.151 9 45.924 3$@4.831@$10 3.448 5.593 3.611 46.338 3$@4.804@$10 5.419 7.239 3.545 10 45.917 3$@4.907@$10 2.355 4.121 4.021 46.335 3$@4.886@$10 3.986 5.834 3.899 11 45.909 3$@4.994@$11 2.008 4.777 4.317 46.221 3$@4.960@$10 2.556 4.040 4.321 12 45.896 3$@5.054@$11 0.821 1.657 4.680 46.219 3$@5.061@$9 1.996 3.846 4.692 13 45.902 3$@5.167@$10 0.453 1.111 5.128 46.240 3$@5.182$@$10 1.201 2.548 5.069 14 45.894 3$@5.306@$11 0.292 0.777 5.576 46.264 3$@5.326@$11 0.951 2.553 5.419 15 45.929 3$@5.412@$10 0.210 0.685 5.966 46.279 3$@5.471@$10 0.879 2.440 5.875 16 46.052 3$@5.556@$10 0.154 0.749 6.345 46.327 3$@5.603@$12 0.552 2.137 6.562 17 46.214 3$@5.651@$11 0.142 0.713 6.821 46.518 3$@5.685@$12 0.444 1.941 7.107 18 46.401 3$@5.746@$10 0.082 0.671 7.109 46.681 3$@5.809@$11 0.352 1.913 7.556 19 46.693 3$@5.889@$11 0.113 0.674 7.434 47.003 3$@5.930@$11 0.339 1.889 8.124 20 47.014 3$@5.979@$11 0.058 0.593 7.963 47.567 3$@6.010@$11 0.307 1.885 7.905 25 49.860 3$@6.668@$12 0.051 0.576 9.728 50.285 3$@6.697@$13 0.252 1.799 10.003 30 54.018 4$@7.598@$13 0.050 0.574 11.123 54.355 3$@7.605@$13 0.250 1.803 11.523 40 63.474 4$@7.581@$19 0.051 0.576 14.344 63.607 4$@7.719@$20 0.250 1.833 15.146 50 70.474 5$@7.648@$21 0.050 0.574 17.498 73.547 5$@7.688@$18 0.249 1.819 18.369 60 83.449 5$@7.876@$21 0.051 0.573 22.062 83.649 5$@7.884@$23 0.249 1.834 22.266 70 93.465 5$@7.543@$20 0.051 0.576 24.219 93.648 5$@7.579@$17 0.251 1.836 26.805 80 103.470 5$@7.369@$17 0.051 0.577 27.853 103.650 5$@7.365@$20 0.249 1.834 29.542 90 113.470 5$@7.624@$22 0.050 0.573 29.231 113.701 4$@7.501@$23 0.252 1.789 29.623 Δt dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 46.996 2$@4.431@$10 17.136 12.039 0.607 50.035 2$@4.737@$12 15.138 16.314 0.664 2 46.974 2$@4.516@$10 19.575 12.896 1.032 49.719 2@$4.697@$12 14.781 14.492 1.005 3 46.860 2$@4.443@$9 14.710 11.613 1.370 50.041 2$@4.746@$16 14.031 13.818 1.402 4 46.975 2$@4.522@$10 15.376 11.193 1.720 49.719 2$@4.782@$12 13.665 13.768 1.772 5 46.862 3$@4.488@$9 12.102 10.273 2.072 49.815 2$@4.811@$13 12.543 13.189 2.160 6 46.887 2$@4.574@$9 11.423 9.366 2.515 49.784 2$@4.895@$13 12.064 13.442 2.546 7 46.788 2$@4.616@$10 9.873 8.524 3.090 49.845 2$@4.950@$12 11.113 12.744 2.911 8 46.750 3$@4.706@$10 8.104 7.487 3.260 49.803 2$@5.028@$13 10.686 12.922 3.311 9 46.830 2$@4.806@$10 7.266 7.586 3.604 49.872 2$@5.119@$12 9.679 12.307 3.685 10 46.758 2$@4.915@$11 5.737 6.508 3.981 49.864 3$@5.237@$15 9.035 12.122 4.103 11 47.069 3$@5.017@$10 4.591 5.925 4.320 49.909 2$@5.321@$14 7.867 11.074 4.574 12 47.034 3$@5.146@$11 3.845 5.089 4.646 50.339 2$@5.481@$15 7.363 11.026 4.931 13 47.113 3$@5.269@$11 2.984 4.773 5.058 49.724 3$@5.536@$12 6.443 11.497 5.216 14 47.114 3$@5.404@$11 2.414 4.056 5.589 49.836 2$@5.659@$13 5.834 11.321 5.747 15 47.237 3$@5.514@$11 1.831 3.973 6.193 50.181 2$@5.821@$14 5.149 10.639 6.178 16 47.310 3$@5.635@$12 1.638 3.628 6.272 50.495 2$@5.962@$13 4.748 10.463 6.468 17 47.389 3$@5.771@$12 1.411 3.914 7.034 50.708 2$@6.103@$14 4.296 10.374 6.788 18 47.597 3$@5.875@$13 1.061 3.449 7.372 50.579 3$@6.235@$15 3.654 10.378 7.496 19 47.841 3$@6.003@$12 0.963 3.438 7.448 51.245 2$@6.387@$15 3.518 10.272 7.612 20 48.054 3$@6.117@$13 0.807 3.465 7.938 51.655 3$@6.555@$13 3.199 10.232 7.934 25 50.834 3$@6.821@$12 0.636 3.394 9.693 54.320 2$@7.229@$17 2.301 9.802 9.970 30 54.538 4$@7.671@$14 0.567 3.290 11.348 57.166 3$@7.795@$18 1.793 9.416 12.095 40 64.015 4$@7.905@$16 0.565 3.292 14.618 65.745 4$@8.227@$20 1.629 9.643 15.556 50 73.828 5$@7.747@$20 0.564 3.291 17.950 75.641 2$@7.943@$22 1.592 9.768 18.709 60 83.897 5$@7.826@$20 0.562 3.277 21.032 85.516 2$@7.797@$31 1.571 9.573 22.091 70 93.828 5$@7.602@$22 0.564 3.291 24.134 95.362 4$@7.579@$23 1.556 9.699 25.275 80 103.897 4$@7.408@$26 0.562 3.277 27.064 105.482 2$@7.405@$19 1.563 9.575 28.189 90 113.923 4$@7.412@$18 0.571 3.230 30.819 115.357 2$@7.169@$18 1.556 9.701 31.715 −.PRE.CONTRAST.−...OTTIMIZZAZIONE.3:...ELIMINAZIONE.FONDO...+...FITTING.CON.PIXEL.VICINI...+...FINESTRA. σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Tab. 3.6: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 3. Sono stati usati dati variabili (VAR) caratteristici in post-contrast. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza corrispondente al valore Δt; il numero di iterazioni

necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto confrontando la mappa T1 del

fantoccio con la mappa T1 conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma, nell’ordine dei minuti.

Le prove effettuate hanno consentito di dedurre che, a parità di valore σ, si assiste ad una notevole riduzione dell’errore % sul T1 in corrispondenza dell’aumento del valore Δt. In

particolare, in pre-contrasto si registra una riduzione tra il Δtmin ed il Δtmax di tale errore

percentuale pari a: 96.5% per σ=1; 87.8% per σ=3; 73.2% per σ=5 e 40.5% per σ=10. La stessa valutazione fatta sui valori post-contrasto rivela una riduzione pari a: 95.5% per σ=1; 87.1% per σ=3; 76.5% per σ=5 e 49.0% per σ=10. Nonostante tale netta differenza tra l’errore presentato per Δt=1 e quello per il Δt massimo, si nota che l’andamento decrescente dell’errore T1 si assesta su un plateau dopo un certo Δt. Dal grafico in fig. 3.13

è possibile individuare il valore dell’intervallo Δt in corrispondenza del quale l’andamento dell’errore percentuale sul T1 si assesta più velocemente sul gradino.

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1t$calcolo$(min)dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1t$calcolo$(min)

1 13.640 3$?4.947?$11 11.760 20.073 0.666 13.694 2$?4.796?$10 13.302 18.341 0.588 2 13.629 3$?4.894?$10 7.751 16.754 0.972 13.695 2$?4.781?$13 8.355 14.080 0.917 3 13.639 2$?4.907?$12 3.553 8.169 1.311 13.707 2$?4.922?$9 4.469 10.720 1.263 4 13.639 3$?5.235?$10 1.079 3.151 1.670 13.754 3$?5.241?$10 1.864 5.328 1.621 5 13.848 3$?5.564?$10 0.159 0.943 1.993 13.920 3$?5.620?$10 0.889 3.901 2.078 6 14.266 3$?6.021?$11 0.082 0.855 2.298 14.361 3$?6.107?$12 0.349 2.656 2.314 7 14.945 3$?6.487?$11 0.059 0.825 2.666 14.997 3$?6.543?$11 0.261 2.502 2.691 8 15.720 3$?6.974?$12 0.058 0.815 2.870 15.758 3$?6.989?$12 0.210 2.426 3.026 9 16.555 3$?7.375?$12 0.056 0.810 3.136 16.600 3$?7.410?$13 0.214 2.380 3.248 10 17.421 3$?7.950?$13 0.056 0.811 3.411 17.474 3$?7.909?$14 0.197 2.369 3.454 15 22.324 4$?7.336?$23 0.056 0.813 4.945 22.354 4$?7.432$?18 0.196 2.368 4.918 20 27.314 5$?7.643?$26 0.057 0.813 6.274 27.355 5$?7.694?$17 0.199 2.375 6.439 25 32.324 5$?7.917?$19 0.056 0.813 7.764 32.354 5$?7.923?$16 0.196 2.367 7.803 30 37.314 6$?8.215?$16 0.057 0.812 9.105 37.355 6$?8.198?$19 0.199 2.375 9.237

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1t$calcolo$(min)dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1t$calcolo$(min)

1 13.869 2$?4.626?$10 11.798 17.031 0.556 14.427 2$?4.750?$12 12.284 15.965 0.635 2 13.869 2$?4.766?$10 8.995 16.333 0.910 14.419 2$?4.937?$11 10.626 15.528 0.940 3 13.875 3$?5.004?$10 5.856 14.028 1.244 14.466 2$?5.202?$14 7.837 13.923 1.273 4 13.868 3$?5.313?$11 4.001 11.043 1.595 14.553 2$?5.537?$12 5.524 12.956 1.608 5 14.083 3$?5.696?$11 1.620 6.472 1.969 14.781 2$?5.979?$15 3.935 11.341 1.960 6 14.506 3$?6.163?$11 0.786 4.538 2.260 15.165 3$?6.452?$14 2.893 11.018 2.304 7 15.118 3$?6.621?$11 0.607 4.324 2.583 15.728 3$?6.893?$14 1.947 9.115 2.662 8 15.886 3$?7.071?$13 0.470 4.065 2.877 16.416 3$?7.314?$15 1.581 8.733 2.949 9 16.697 4$?7.506?$13 0.403 3.997 3.165 17.203 3$?7.780?$15 1.335 8.311 3.257 10 17.583 3$?7.972?$15 0.392 3.996 3.446 18.031 3$?8.124?$16 1.224 8.269 3.588 15 22.403 4$?7.556?$21 0.389 3.988 5.022 22.756 5$?8.038?$18 1.072 8.103 5.446 20 27.417 5$?7.738?$23 0.388 4.007 6.559 27.741 5$?7.789?$22 1.058 8.139 6.681 25 32.402 5$?7.948?$22 0.389 3.988 7.740 32.729 5$?7.988?$18 1.058 8.093 8.140 30 37.417 6$?8.165?$19 0.388 4.008 9.361 37.738 2$?8.300?$19 1.055 8.141 9.850 −/POST/CONTRAST/−//////OTTIMIZZAZIONE/3:///ELIMINAZIONE/FONDO///+///FITTING/CON/PIXEL/VICINI///+///FINESTRA/ σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

51  

Fig. 3.14: In questi grafici è possibile seguire l’andamento decrescente dell’errore % sul T1

in corrispondenza dell’aumento graduale dell’ampiezza dell’intervallo Δt. Ad ogni valore σ corrisponde un preciso Δt in cui l’andamento si assesta sul plateau 0   1   2   3   4   5   6  7   8  9   10   11   12   13   14   15   16  17   18  19   20   0   5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75   80   85   90   Er ro re    %    T 1   Δt    

Pre-contrasto

Post-contrasto

Dalle tabelle 3.5 e 3.6 si osserva anche che all’aumentare del Δt, aumenta ragionevolmente il numero di campioni sottoposti alla procedura di fitting ma si riduce l’analogo errore percentuale: 99.7% e 99.5% per σ=1; 98.6% e 98.5% per σ=3; 96.7% per σ=5; 89.7% e 91.4% per σ=10. Tali valori si riferiscono alla diminuzione dell’errore di fitting tra il Δtmin

ed il Δtmax rispettivamente in pre- e in post-contrasto.

Ma, l’intento principale di tale ottimizzazione è quello di riuscire ad individuare il Δt in cui si registra un errore percentuale T1 simile a quello ottenuto nei calcoli iniziali, usati come

riferimento, e valutare se tale errore viene calcolato in una dinamica temporale più veloce. Dunque, facendo un confronto tra le tabelle 3.5 e 3.1 si stima che si ottiene un errore percentuale sul T1 pressoché identico in corrispondenza di Δt=25 per σ=1, con un

risparmio di tempo pari a 366.5 minuti; per σ=3 si guadagnano 361.3 minuti a Δt=30; per σ=5 e per σ=10, in relazione a Δt=30 in entrambi i casi, si risparmiano rispettivamente 361.5 e 356.4 minuti.

Lo stesso ragionamento, però basato sulle tabelle 3.6 e 3.2, rivela che per σ=1 si ottiene lo stesso errore in soli 3.4 minuti rispetto alle 2.6 ore iniziali, in corrispondenza di Δt=10; per σ=3, Δt=8 dà lo stesso errore in 150.2 minuti in meno; per σ=5 e σ=10 si risparmiano 148.8 minuti in entrambi i contesti, usando rispettivamente un Δt pari a 25 nel primo caso e Δt=15 nel secondo.

3.3.4 OTTIMIZZAZIONE 4: DIVERSO PESO PER I CAMPIONI

Lavorando sempre con i parametri appartenenti al data-set VAR, è stata qui aggiunta una nuova modifica a quelle già adottate finora: sono stati pesati con peso unitario solo i campioni compresi nella finestra Δt sottoposta alla procedura di fitting; per tutti gli altri campioni è stato considerato un peso pari a zero.

Sottocampionando la curva di decadimento in questo modo, i risultati raccolti hanno dato modo di concludere che azzerare il peso di alcuni campioni, non implica che questi non vengano del tutto analizzati, bensì sono solo considerati con un valore diverso; perciò non è stato registrato alcun risparmio in termini di tempo di calcolo rispetto all’ottimizzazione precedente.

53   Dall’insieme dei risultati si deduce che, a parità di rumore σ, anche in questa ottimizzazione si riscontra un aumento del tempo di calcolo in concomitanza ad un incremento dell’intervallo Δt, come era logico aspettarsi.

Inoltre, anche qui l’andamento dell’errore percentuale sul T1 diminuisce gradualmente

nella fase iniziale, per poi assestarsi su un plateau, come nello studio precedente.

In particolare, in pre-contrasto è stato registrato un ribasso di tale errore pari a: 96.9% per σ=1; 92.9% per σ=3; 88.1% per σ=5; 86.4% per σ=10.

Simili riduzioni percentuali sono state riscontrate anche in post contrasto tra il Δtmin ed il

Δtmax, più precisamente l’errore sul T1 diminuisce di: 95.9% per σ=1; 90.7% per σ=3;

84.9% per σ=5 e 72.3% per σ=10 (figura 3.15).

Per l’errore di fitting sono stati riscontrati, a parità di rumore, i seguenti decrementi percentuali tra il Δtmin ed il Δtmax in pre-contrasto ed in post-contrasto, rispettivamente:

99.2% e 98.6% per σ=1; 97.8% e 96.9% per σ=3; 96.6% e 94.9% per σ=5; 96.3% e 92.1% per σ=10.

Dal confronto tra le tabelle 3.7 e 3.1 si evince che per Δt=90 e σ=1, si ottiene un errore percentuale sul T1 simile ma in minor tempo (circa 30 minuti invece di 6.3 ore); per Δt=90

e σ=3 si arriva ad un risultato affine risparmiando circa 343 minuti; invece per σ=5 e σ=10 è in corrispondenza di Δt=90 e Δt=80 che si ottiene un errore percentuale somigliante, guadagnando 343 e 340 minuti, rispettivamente. Questo valeva per il pre-contrasto; per il post-contrasto, invece, si stima un errore percentuale sul T1 pressoché analogo in

corrispondenza di Δt=30 per σ=1, con 149 minuti in meno; anche per σ=3, σ=5 e σ=10 è in relazione a Δt=30 che si guadagnano, rispettivamente, 143, 147 e 144 minuti circa (confronto tra le tabelle 3.8 e 3.2).

Tab. 3.7: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli effettuati al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 4. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza corrispondente al valore Δt; il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso

dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1

(ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1 conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato

dal programma, nell’ordine dei minuti. Tale prova include: eliminazione del background, procedura di fitting eseguiti sui pixel tra loro adiacenti, realizzazione della finestra Δt e assegnamento di un peso unitario solo per i campioni contenuti all’interno della finestra. Sono state eseguite un totale di 20 prove ad intervalli unitari da 1 a 10, poi intervallate di 5. Il

Δt massimo è stato fissato a 90, a causa del numero totale di frames pari a 180 in condizioni di pre-contrasto

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 45.948 2$@8.932@$44 20.048 26.614 1.354 46.270 2$@8.029@$37 21.256 34.532 1.142 2 45.926 2$@8.562@$39 17.705 25.923 1.986 46.138 2$@8.059@$32 20.845 34.198 1.802 3 45.947 2$@8.026@$34 16.173 25.477 3.190 46.265 2$@7.936@$30 19.370 31.328 2.444 4 45.922 2$@7.615@$34 14.483 24.204 3.128 46.212 2$@7.569@$34 16.999 29.034 2.891 5 45.943 2$@7.089@$31 13.318 23.059 3.868 46.142 2$@7.555@$33 16.343 26.535 3.452 6 45.976 2$@7.011@$33 12.533 22.759 4.159 46.303 2$@7.431@$31 14.659 25.406 3.934 7 46.016 2$@6.841@$30 8.563 14.930 4.611 46.138 2$@7.144@$26 12.746 21.507 4.265 8 46.003 2$@6.603@$38 7.239 14.206 4.889 46.209 2$@6.818@$23 11.520 24.024 4.645 9 46.002 2$@6.616@$29 5.447 9.862 5.444 46.141 2$@6.978@$25 9.778 16.433 5.115 10 46.005 2$@6.601@$27 4.447 7.827 5.841 46.172 2$@6.997@$24 8.683 14.964 5.551 15 46.033 $2$@6.708@$32 2.023 3.421 8.083 46.291 2$@7.189@$28 4.835 8.746 8.060 20 47.065 2$@7.258@$34 1.556 2.815 10.580 47.331 2$@7.617@$30 3.650 7.284 10.454 25 49.924 2$@7.806@$32 1.170 2.333 12.651 50.144 2@$8.238@$32 2.884 6.279 12.501 30 54.052 2$@8.443@$30 0.982 2.078 14.747 54.207 2$@8.799@$34 2.372 5.527 14.351 40 63.510 2$@8.909@$25 0.656 1.639 18.461 63.600 2$@9.259@$28 1.675 4.504 17.421 50 73.516 4$@8.103@$21 0.468 1.357 21.640 73.570 2$@8.670@$25 1.227 3.838 20.708 60 83.508 2$@6.692@$19 0.337 1.148 24.761 83.607 2$@7.266@$21 0.908 3.281 23.706 70 93.515 2$@5.307@$18 0.257 0.998 27.547 93.563 2$@6.026@$18 0.728 2.980 25.412 80 103.425 2$@4.311@$16 0.203 0.901 27.451 103.608 2$@5.159@$19 0.562 2.631 27.516 90 113.449 2$@4.176@$16 0.154 0.813 30.373 113.564 2$@4.179@$19 0.469 2.449 29.387

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 46.715 2$@7.184@$28 24.098 34.871 0.989 50.019 2$@5.885@$23 22.107 30.535 0.875 2 46.679 2$@7.089@$31 20.509 32.459 1.563 49.967 2$@6.014@$31 17.405 28.926 1.334 3 46.980 2$@7.182@$26 19.749 30.350 2.355 50.059 2$@6.202@$24 18.626 28.261 1.726 4 46.980 2$@7.108@$28 18.797 26.929 2.809 50.037 2$@6.370@$24 15.919 28.020 2.530 5 46.980 2$@7.168@$35 17.569 26.189 3.262 49.765 2$@6.323@$24 14.653 26.862 2.743 6 46.873 2$@7.025@$30 15.398 26.364 4.009 50.065 2$@6.388@$18 14.618 26.994 3.197 7 46.723 2$@7.170@$25 14.313 23.907 4.311 50.064 2$@6.538@$30 13.453 24.478 3.916 8 47.005 2$@7.210@$30 13.124 23.118 4.600 49.807 2$@6.585@$19 12.388 23.431 4.102 9 46.924 2$@7.295@$23 12.487 23.840 5.135 50.106 2$@6.705@$22 12.107 23.012 4.618 10 47.015 2$@7.255@$34 10.675 20.090 5.612 49.912 2$@6.774@$21 11.077 23.966 5.173 15 47.115 2$@7.608@$31 6.696 13.608 8.035 50.550 2$@7.576@$22 8.203 21.854 8.520 20 48.294 2$@7.953@$26 4.323 10.323 10.802 51.109 2$@7.631@$19 4.995 16.136 10.047 25 50.854 2$@8.403@$29 3.819 9.184 12.819 53.813 2$@8.007@$19 4.011 14.795 12.708 30 54.816 2$@8.758@$30 3.038 8.056 15.288 56.940 2$@8.102@$19 3.165 13.900 14.568 40 64.086 2$@9.159@$22 2.316 6.946 19.213 65.904 2$@8.484@$20 2.893 13.587 18.152 50 73.892 2$@8.864@$21 1.774 6.083 21.828 75.391 2$@8.332@$22 2.329 11.258 21.679 60 83.960 2$@7.904@$21 1.267 5.123 23.081 85.626 2$@7.966@$21 1.838 10.736 22.890 70 93.892 2$@6.602@$27 1.138 4.881 25.355 95.554 2$@7.481@$19 1.789 10.894 25.783 80 103.960 2$@6.223@$19 0.871 4.258 27.478 105.587 2$@7.307@$27 1.630 9.971 28.519 90 113.892 2$@4.778@$22 0.808 4.139 30.062 113.892 2$@4.778@$22 0.808 4.139 30.062 −/PRE/CONTRAST/−OTTIMIZZAZIONE/4:/ELIMINAZIONE/FONDO+FITTING/CON/PIXEL/VICINI+FINESTRA+DIVERSO/PESO/PER/I/CAMPIONI σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

55  

Tab. 3.8: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 4. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza corrispondente al valore Δt; il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso

dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1

(ottenuto confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1 conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato

dal programma, nell’ordine dei minuti. Tale prova include: eliminazione del background, procedura di fitting eseguiti sui pixel tra loro adiacenti, realizzazione della finestra Δt e assegnamento di un peso unitario solo per i campioni contenuti all’interno della finestra. Sono state eseguite un totale di 14 prove ad intervalli unitari da 1 a 10, poi intervallate di 5. Il

Δt massimo è stato fissato pari a 30, a causa del numero totale di frames pari a 60 in condizioni di post-contrasto Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 13.685 2$@7.947@$37 14.697 27.158 1.120 13.661 2$@8.168@$28 17.359 33.869 1.098 2 13.687 2$@6.976@$27 11.591 24.744 1.514 13.671 2$@7.513@$31 13.122 28.405 1.527 3 13.684 2$@6.697@$22 6.142 12.200 1.891 13.694 2$@7.252@$29 9.553 20.668 1.968 4 13.691 2$@7.094@$29 3.467 6.453 2.378 13.694 2$@7.364@$34 7.202 14.612 2.399 5 13.882 2$@6.999@$24 2.696 4.622 2.816 13.910 2$@7.539@$29 6.242 11.841 2.860 6 14.296 2$@7.758@$35 2.084 3.856 3.235 14.333 2$@7.879@$37 4.895 9.800 3.214 7 14.964 2$@7.728@$45 1.888 3.594 3.588 14.995 2$@8.161@$29 4.281 9.060 3.587 8 15.751 2$@8.622@$38 1.553 3.151 3.877 15.767 2$@8.594@$32 3.745 8.297 3.905 9 16.583 2$@8.601@$30 1.399 2.935 4.331 16.595 2$@8.890@$33 3.329 7.695 4.235 10 17.455 2$@9.220@$38 1.203 2.662 4.625 17.467 2$@9.160@$35 3.008 7.244 4.576 15 22.346 2$@10.151@$33 0.706 1.968 6.219 22.349 2@10.409@$39 1.709 5.230 5.962 20 27.346 2$@10.093@$31 0.434 1.534 7.599 27.342 2@10.504@$36 1.158 4.295 7.507 25 32.346 2$@8.626@$29 0.293 1.285 8.895 32.349 2$@8.648@$24 0.744 3.539 8.581 30 37.345 2$@7.054@$42 0.200 1.102 10.272 37.332 2$@8.173@$35 0.545 3.153 10.405

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 13.805 2$@7.879@$33 16.996 33.599 0.995 14.499 2$@6.582@$37 16.741 34.965 0.768 2 13.839 2$@7.553@$28 13.768 32.620 1.488 14.489 2$@6.814@$36 14.398 34.779 1.237 3 13.836 2$@7.489@$31 11.223 30.115 1.977 14.537 2$@6.937@$25 11.731 31.234 1.664 4 13.889 2$@7.626@$34 9.648 21.590 2.379 14.659 2$@7.360@$20 10.337 28.275 2.162 5 14.091 2$@7.660@$31 7.914 18.146 2.780 14.824 2$@7.348@$24 12.798 21.093 2.562 6 14.492 2$@7.930@$29 6.939 14.431 3.236 15.249 2$@7.687@$28 6.649 21.410 2.969 7 15.130 2$@8.329@$40 5.992 13.216 3.549 15.764 2$@7.817@$26 5.617 18.159 3.206 8 15.896 2$@8.488@$34 4.964 11.656 3.910 16.478 2$@8.009@$38 5.094 15.938 3.583 9 16.712 2$@8.908@$35 4.775 11.371 4.178 17.225 2$@8.144@$27 4.360 14.672 3.867 10 17.592 2$@8.935@$32 4.045 10.397 4.415 18.086 2$@8.188@$30 4.159 14.057 4.220 15 22.427 2$@10.173@37 2.660 8.198 5.921 22.674 2$@6.622@$30 2.921 12.184 5.731 20 27.405 2$@9.680@$31 1.743 6.707 7.489 27.685 2$@8.484@$22 2.074 10.700 6.991 25 32.423 2$@9.231@$25 1.228 5.807 8.740 32.649 2$@8.539@$24 1.627 9.746 8.398 30 37.407 2$@8.555@$31 0.873 5.047 10.022 37.683 2$@8.681@$23 1.321 8.997 9.796 −POST3CONTRAST−OTTIMIZZAZIONE34:ELIMINAZIONE3FONDO+FITTING3CON3PIXEL3VICINI+FINESTRA+DIVERSO3PESO3PER3I3CAMPIONI σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Fig. 3.15: In questi grafici è possibile seguire l’andamento decrescente dell’errore % sul T1 in corrispondenza

dell’aumento graduale dell’ampiezza dell’intervallo Δt per l’ottimizzazione 4. Ad ogni valore σ corrisponde un preciso Δt in cui l’andamento si assesta sul plateau

In realtà, nonostante rispetto alle analisi effettuate sul fantoccio di partenza qui si ottenga un errore percentuale sul T1 simile ma in molto meno tempo (in media 29.6±0.7 minuti in

pre-contrasto di contro ai 372.6±2.8 minuti iniziali; in media 10.1±0.2 minuti in post-contrasto invece di 155.9±0.5 minuti nel fantoccio base), l’ottimizzazione 4 appare

0   5   10   15   20   25   30   35   0   5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75   80   85   90   Er ro re    %    T 1   Δt    

Pre-contrasto

Post-contrasto

57   meno apprezzabile perché, di fatto, l’errore sul T1 aumenta di 0.857±0.5% in pre-contrasto

e di 0.739±0.3% in post-contrasto, in media, rispetto al fantoccio base.

Fig. 3.16: Nei due grafici è possibile osservare, in alto, l’incremento dell’errore % sul T1 non solo in relazione al rumore σ, ma soprattutto facendo il confronto tra l’ottimizzazione 4 e il fantoccio di partenza;

in basso si può visualizzare come l’ottimizzazione riesce comunque nell’intento di diminuire il tempo impiegato per il calcolo dell’errore percentuale, sia in pre- che in post-contrasto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 σ=1 σ=3 σ=5 σ=10 %  

Errore % T

Tempo di calcolo

3.3.5 OTTIMIZZAZIONE 5: T1 CALCOLATO IN FUNZIONE DI T0 E

CREAZIONE DI MAPPE PER CIASCUN PARAMETRO DI

INIZIALIZZAZIONE DELLA PROCEDURA DI FITTING

In questa ottimizzazione sono state sommate: l’eliminazione del fondo; l’uso di un fattore di recupero f fisso ad 1; la ricerca del tempo T0 nell’intervallo Δt come punto di minimo

della curva raddrizzata; il calcolo del tempo di rilassamento T1 in funzione di T0, secondo

l’equazione [7]; la stima di S0 come punto massimo della curva di decadimento.

Noti S0, T0 e T1 per ogni pixel, è stata ricreata una mappa (matrice 256x256) sia per S0, che

per T0 e T1, il cui valor medio è stato utilizzato come parametro iniziale per la procedura di

fitting.

L’intento è sempre quello di ridurre il tempo di calcolo impiegato mantenendo ragionevoli gli errori percentuali.

In relazione agli output del fantoccio iniziale, anche qui è possibile apprezzare una riduzione del tempo necessario al conseguimento del risultato; inoltre si nota che il numero minimo, medio e massimo di iterazioni non varia in maniera contrastante tra il caso pre- e quello post-contrasto.

Per quanto riguarda l’errore percentuale di fitting, si nota un suo graduale decremento a parità di rumore σ, in relazione all’allargamento della finestra; se invece si analizza in rapporto all’aumento di σ, emerge un suo graduale incremento, a parità di Δt. Questi valori appaiono più alti in pre-contrasto e non in post.

Più in dettaglio, sono stati riscontrati i seguenti decrementi percentuali tra il Δtmin ed il

Δtmax, sia in pre- che in post-contrasto, rispettivamente: 99.5% e 99.1% per σ=1; 97.9% e

98.2% per σ=3; 95.9% per σ=5; 86.9% e 89.0%per σ=10.

Di maggiore interesse sono le valutazioni in merito all’errore percentuale sul T1: in

relazione all’amplificazione del rumore σ, è molto marcata la crescita di tale errore percentuale a parità di intervallo Δt; mentre a parità di valore σ, si ha una diminuzione dell’errore T1 all’aumentare del range Δt, e poi va ad assestarsi sul plateau.

Questo vale sia in pre- che in post-contrasto. Tra il Δtmin ed il Δtmax si registrano le seguenti

riduzioni dell’errore sul T1: 98.1% e 97.7% per σ=1, 94.6% e 94.7% per σ=3,

rispettivamente, sia in pre- che in post-contrasto; 91.5% e 88.9% per σ=5 nei due diversi casi; 66.5% e 72.1% per σ=10 nelle due diverse situazioni.

59  

Tab. 3.9: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 5. Sono state eseguite 18 prove totali ad intervalli unitari da 1 a 15, poi intervallate di 5 fino a 30 e di 10 fino a 70. Il Δt massimo è stato fissato a 70. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza corrispondente al valore Δt; il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla

procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1 (ottenuto

confrontando la mappa T1 del fantoccio con la mappa T1 conseguente dal fitting); il tempo di calcolo impiegato dal programma,

nell’ordine dei minuti.

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 57.525 3$?4.691?$11 13.772 20.585 0.807 57.813 2$?4.498?$8 15.804 18.818 0.796 2 57.528 3$?4.759?$9 8.528 18.638 1.299 57.860 3$?4.589?$12 14.402 17.487 1.276 3 57.516 3$?4.803?$9 7.398 16.498 1.856 57.772 3$?4.689?$10 11.644 16.669 1.869 4 57.514 3$?4.900?$9 6.045 15.784 2.317 57.835 3$?4.760?$9 9.958 16.801 2.312 5 57.518 3$?5.056?$10 6.923 15.624 2.901 57.858 3$?4.848?$9 8.556 16.397 3.021 6 57.489 3$?5.221?$10 6.017 14.510 3.304 57.763 3$?4.964?$10 7.044 16.433 3.389 7 57.482 3$?5.316?$10 5.673 14.418 3.839 57.812 3$?5.078?$10 6.938 16.282 3.938 8 57.546 3$?5.436?$10 6.023 14.704 4.649 57.896 3$?5.189?$11 5.010 12.807 4.458 9 57.529 3$?5.505?$10 5.953 14.498 5.132 57.865 3$?5.294?$10 4.940 12.196 4.871 10 57.508 3$?5.530?$10 5.163 12.228 5.484 57.866 2$?5.373?$11 3.545 9.661 5.427 11 57.518 3$?5.561?$11 4.705 10.938 6.118 57.858 3$?5.502?$11 3.371 8.499 6.023 12 57.479 3$?5.625?$10 2.792 6.702 6.731 57.862 2$?5.563?$10 2.395 5.727 6.624 13 57.505 3$?5.694?$12 1.763 4.511 7.436 57.876 3$?5.664?$10 1.439 3.993 7.467 14 57.486 3$?5.773?$11 0.386 1.080 8.029 57.850 3$?5.741?$11 0.952 2.496 7.944 15 57.521 3$?5.806?$11 0.114 0.417 8.932 57.861 3$?5.828?$11 0.649 1.754 8.958 20 57.522 3$?5.858?$12 0.066 0.364 12.726 57.842 3$?6.026?$12 0.325 1.055 13.116 25 57.731 3$?6.002?$11 0.071 0.374 16.549 58.377 3$?6.105?$12 0.320 1.027 17.265 30 61.265 3$?6.245?$11 0.071 0.374 20.195 61.471 3$?6.232?$11 0.323 1.022 20.140 40 69.277 3$?6.407?$12 0.070 0.375 24.877 69.516 3$?5.873?$12 0.322 1.016 24.309 50 79.271 3$?6.976?$24 0.069 0.378 28.973 79.381 3$?6.756?$24 0.324 1.019 29.412 60 89.248 3$?6.474?$25 0.068 0.374 35.493 89.376 4$?6.505?$20 0.322 1.010 32.160 70 99.255 4$?7.426?$19 0.069 0.382 37.490 99.406 4$?7.461?$20 0.324 1.013 37.108

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 53.409 2$?4.475?$14 17.532 19.429 0.835 61.158 2$?4.699?$16 15.118 15.813 0.800 2 58.314 2$?4.559?$9 14.859 13.715 1.249 61.441 2$?4.758?$13 14.586 14.322 1.335 3 58.376 2$?4.619?$10 13.121 12.723 1.737 61.326 2$?4.799?$12 13.746 13.448 1.819 4 58.427 3$?4.678?$10 11.628 12.142 2.310 61.523 2$?4.852?$13 13.213 12.048 2.416 5 58.357 3$?4.738?$11 10.894 12.418 2.787 61.349 2$?4.912?$13 12.205 10.962 2.906 6 58.475 3$?4.827?$10 9.150 12.603 3.348 61.295 2$?4.969?$14 11.518 9.925 3.326 7 58.386 3$?4.957?$9 7.813 11.322 4.132 61.769 2$?5.098?$15 10.482 9.795 3.833 8 58.315 2$?5.046?$10 6.489 10.480 4.564 61.348 2$?5.118?$12 9.971 9.846 4.347 9 58.359 2$?5.159?$10 5.262 9.016 5.333 61.340 2$?5.258?$11 8.903 9.086 4.925 10 58.515 2$?5.296?$10 4.276 7.719 5.635 61.382 2$?5.343?$11 8.456 8.598 5.512 11 58.489 2$?5.409?$10 2.968 4.814 6.242 61.726 2$?5.494?$13 7.197 8.460 6.269 12 58.662 2$?5.547?$10 2.497 4.367 6.639 61.826 2$?5.641?$11 6.736 8.238 6.908 13 58.624 2$?5.662?$10 1.913 3.797 7.349 61.544 2$?5.742?$16 5.764 8.151 7.693 14 58.660 3$?5.763?$11 1.729 3.352 7.833 61.889 2$?5.876?$13 5.334 7.720 8.179 15 58.588 3$?5.838?$11 1.385 2.818 8.691 61.785 2$?5.963?$14 4.826 6.938 9.042 20 58.407 3$?6.129?$12 0.768 1.787 13.462 61.741 3$?6.372?$12 3.132 5.410 12.198 25 59.330 3$?6.243?$11 0.730 1.656 17.320 62.637 3$?6.583?$12 2.350 4.890 15.767 30 62.022 3$?6.299?$11 0.705 1.666 20.526 65.030 3$?6.609?$12 2.169 4.821 19.129 40 70.074 3$?5.848?$16 0.705 1.666 25.699 72.181 3$?6.262?$17 2.005 4.792 23.706 50 79.817 3$?6.638?$24 0.707 1.650 28.520 81.431 3$?6.418?$23 1.981 5.109 27.983 60 89.817 4$?6.555?$20 0.707 1.658 33.023 91.263 3$?6.644?$22 1.978 4.947 32.419 70 99.862 4$?7.600?$17 0.705 1.659 40.131 101.273 3$?7.982?$20 1.966 5.296 40.595 −/PRE/CONTRAST/−/////OTTIMIZZAZIONE/5:///ELIMINAZIONE/FONDO///+///FITTING/CON/VALORI/MEDI/DI/OGNI/MAPPA///+///FINESTRA/ σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

Tab. 3.10: Risultati numerici ottenuti in seguito ai calcoli eseguiti al variare del rumore σ e dell’intervallo Δt nell’ottimizzazione 5. Sono state eseguite 14 prove totali ad intervalli unitari da 1 a 10, poi intervallate di 5 fino a 30. Il

Δt massimo è stato fissato a 30, a causa del numero totale di frames pari a 60 in condizioni di post-contrasto. Per ogni prova sono stati registrati: il valor medio delle dimensioni della finestra di ampiezza corrispondente al valore Δt; il numero di iterazioni necessarie alla ricerca del punto di inversione; l’errore % commesso dalla procedura di fitting non lineare (media dell’errore sui singoli campioni); il valore % dell’errore commesso sul T1; il tempo di calcolo impiegato

dal programma, nell’ordine dei minuti.

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 17.315 3$>4.951>$10 8.148 23.623 0.753 17.297 3$>4.821>$12 14.289 29.021 0.745 2 17.313 3$>5.315>$10 7.003 19.898 1.256 17.292 3$>5.055>$9 10.363 28.981 1.238 3 17.315 3$>5.660>$11 7.329 19.147 1.794 17.283 3$>5.428>$10 6.314 16.441 1.764 4 17.322 3$>5.946>$10 6.416 16.356 2.413 17.296 3$>5.792>$10 4.861 11.785 2.316 5 17.301 3$>6.112>$10 1.324 2.317 2.937 17.289 2$>6.080>$11 2.074 5.570 2.895 6 17.315 3$>6.295>$11 0.088 0.567 3.565 17.302 3$>6.314>$12 0.473 2.081 3.474 7 17.406 3$>6.342>$11 0.074 0.538 4.127 17.491 3$>6.486>$11 0.293 1.579 4.150 8 18.151 3$>6.463>$11 0.074 0.538 4.573 18.164 3$>6.559>$11 0.264 1.534 4.765 9 18.908 3$>6.598>$12 0.074 0.536 5.059 18.912 3$>6.651>$13 0.260 1.534 5.131 10 19.657 3$>6.798>$11 0.074 0.538 5.409 19.675 3$>6.733>$11 0.260 1.540 5.673 15 24.151 3$>5.392>$12 0.074 0.538 7.387 24.145 3$>5.371>$13 0.260 1.532 7.589 20 29.159 4$>6.113>$21 0.074 0.533 9.591 29.147 3$>6.074>$13 0.260 1.529 9.619 25 34.157 3$>5.994>$12 0.074 0.534 11.513 34.152 3$>6.001>$13 0.258 1.537 11.494 30 39.154 3$>6.110>$19 0.075 0.535 13.368 39.149 3$>6.192>$20 0.258 1.537 13.585

Δt: dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min) dim$finestra Num$iteraz Err$%$Fitting Err$%$sul$T1 t$calcolo$(min)

1 17.403 2$>4.693>$12 12.590 22.534 0.733 17.961 2$>4.784>$11 12.629 17.995 0.746 2 17.438 3$>4.999>$14 8.913 18.904 1.225 17.985 2$>5.006>$10 10.369 17.407 1.242 3 17.442 2$>5.337>$10 6.220 15.283 1.770 18.004 2$>5.330>$12 8.445 16.584 1.746 4 17.419 2$>5.697>$10 4.860 12.559 2.340 18.024 2$>5.682>$12 5.807 12.913 2.347 5 17.443 2$>6.047>$12 2.202 7.179 2.889 18.052 2$>6.065>$12 3.856 9.750 2.897 6 17.473 3$>6.363>$11 1.110 3.894 3.546 18.191 2$>6.371>$14 2.665 7.062 3.519 7 17.676 3$>6.567>$12 0.553 2.620 4.230 18.396 3$>6.614>$12 2.048 6.052 4.152 8 18.284 3$>6.648>$12 0.545 2.578 4.537 18.935 3$>6.805>$14 2.062 6.994 4.657 9 18.972 3$>6.705>$11 0.521 2.544 5.331 19.534 3$>6.916>$17 1.619 5.236 5.123 10 19.741 3$>6.723>$12 0.524 2.504 6.081 20.194 3$>6.877>$14 1.533 5.282 5.560 15 24.221 3$>5.412>$12 0.524 2.498 7.389 24.582 3$>5.726>$13 1.392 4.969 7.705 20 29.201 3$>6.027>$12 0.519 2.500 9.275 29.527 3$>6.027>$17 1.386 4.995 9.543 25 34.184 3$>6.027>$16 0.521 2.512 11.280 34.511 3$>6.314>$22 1.388 4.981 11.645 30 39.200 3$>6.245>$19 0.517 2.505 13.280 39.503 3$>6.660>$20 1.387 5.017 13.968 −/POST/CONTRAST/−/////OTTIMIZZAZIONE/5:///ELIMINAZIONE/FONDO///+///FITTING/CON/VALORI/MEDI/DI/OGNI/MAPPA///+///FINESTRA/ σ=1 σ=3 σ=5 σ=10

61  

Fig. 3.17: In questi grafici è possibile seguire l’andamento decrescente dell’errore % sul T1 in corrispondenza

dell’aumento graduale dell’ampiezza dell’intervallo Δt. Ad ogni valore σ corrisponde un preciso Δt in cui l’andamento si assesta sul plateau. Questo avviene sia in pre- che in post-contrasto

Dalla figura 3.17 è possibile riscontrare il valore del range Δt in corrispondenza del quale l’errore percentuale sul T1 si assesta più rapidamente sul plateau. In confronto ai valori di

riferimento del fantoccio base, è possibile individuare qual è il valore di Δt che permette di 0   2   4   6   8   10   12   14   16   18   20   22   24   26   28   30   0   5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   Er ro re    %    T 1   Δt    

Pre-contrasto

Post-contrasto

ottenere un errore % sul T1 abbastanza simile a quello iniziale, ma in una dinamica

temporale più veloce: Δt=15 per σ=1, Δt=15 per σ=3, Δt=14 per σ=5, Δt=12 per σ=10, in pre-contrasto. I relativi risparmi di tempo di calcolo sono pari, rispettivamente, a: 367.3 minuti, 363.9 minuti, 364.9 e 361.5 minuti. La stessa valutazione, ma nel caso post-contrasto, individua i seguenti guadagni temporali: 156.1 minuti per σ=1 e Δt=6; 149.7 minuti per σ=3 e Δt=6; 152.9 minuti per σ=5 e Δt=6; 150.7 minuti per σ=10 e Δt=6.

Dunque, rispetto alle tempistiche richieste dalle analisi effettuate sul fantoccio iniziale, qui si lavora molto più velocemente: 8.2±0.9 minuti, in media, in pre-contrasto di contro ai 372.6±2.8 minuti iniziali; circa 3.5±0.03 minuti in post-contrasto invece dei 155.9±0.5 minuti del fantoccio base. L’effettivo valore T1 è simile ma non del tutto identico a quello

del fantoccio di partenza, in particolare esso si riduce, in media, dello 0.046±0.09% in pre-contrasto e dello 0.435±0.4% in post-pre-contrasto.

Fig. 3.18: Nei due grafici è possibile osservare, in alto, l’incremento dell’errore % sul T1 in relazione al rumore σ, ma il suo decremento in confronto ai risultati del fantoccio di partenza; in basso si può visualizzare come l’ottimizzazione 5 riesce nell’intento di diminuire il tempo impiegato per il calcolo dell’errore percentuale, sia in pre- che in post-contrasto.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 σ=1 σ=3 σ=5 σ=10 %  

Errore % T

Tempo di calcolo

63  

3.3.6 OTTIMIZZAZIONE 6: FITTING A DUE SOLI PARAMETRI

In questo particolare programma non è stato considerato il parametro di recupero f nella procedura di fitting, in quanto il suo valore è stato mantenuto fisso a 1. Questo ha permesso di velocizzare ulteriormente il conseguimento dei risultati, per cui è stata registrata una ulteriore riduzione del tempo di calcolo necessario all’ottenimento dell’output finale per via di una procedura di fitting ridotta a due soli parametri, S0 e T1 .

Oltre al fitting con due soli parametri, tale prova ha incluso anche: il filtraggio del fondo, il calcolo del tempo T0 come punto di minimo del segnale di decadimento compreso

all’interno della finestra Δt, l’ottenimento del T1 col metodo di Flett, l’uso del valore di S0

ricavato dal massimo della curva di rilassamento e la realizzazione delle tre mappe relative ai valori di S0, T0 e T1, così da ricavarne i corrispettivi valori medi usati poi come parametri

di fitting.

Anche qui è possibile riscontrare come il numero minimo, medio e massimo di iterazioni non varia in maniera notevole tra la situazione di pre- e quella di post-contrasto. Relativamente all’errore percentuale di fitting è possibile apprezzarne, dalle tabelle 3.11 e 3.12, il decremento ottenuto in rapporto all’aumento delle dimensioni della finestra di campioni, a parità di rumore σ.

Più precisamente, le riduzioni di tale errore registrate tra il Δtmin ed il Δtmax valgono: 99.5%

e 99.4% per σ=1 rispettivamente in pre- e in post-contrasto; 98.0% e 97.9% per σ=3 e 95.6% e 96.2% per σ=5 nei due diversi contesti; 86.6% e 89.9% per σ=10, rispettivamente, in pre- e post-contrasto.

Se invece tale errore di fitting viene stimato in relazione ad un valore σ sempre maggiore, ma a parità di intervallo Δt, si nota un suo graduale incremento.