Difficoltà dell'interazione di Fermi

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 19

1.12.2020

Decadimenti con variazione di stranezza Interazioni di neutrini

Difficoltà dell'interazione di Fermi

Particelle di spin 1 e Propagatore del fotone

Il decadimento β del neutrone

y Con lo stesso procedimento nel caso del decadimento β del neutrone si può verificare la relazione fra

y La parte vettoriale dell’elemento di matrice della corrente carica y La parte isovettoriale della corrente elettromagnetica

y Infatti per l’ipotesi CVC y Utilizzando il commutatore y Otteniamo

y Per le proprietà di T₊ e T₋

y Introduciamo nell’elemento di matrice

y Abbiamo pertanto la relazione fra l’elemento di matrice del decadimento β e quello della corrente isovettoriale elettromagnetica

Decadimenti con variazione di S

y Abbiamo già notato (diapositiva ) che la corrente debole adronica ha una parte che non conserva la stranezza (che ha una parte polare e una assiale) y Bisogna comunque sottolineare che non tutti i decadimenti che coinvolgono

particelle strane sono dovuti alla corrente S^†α

y Ad esempio il seguente decadimento è indotto dalla corrente

y La prima regola di selezione relativa alla corrente ΔS ≠ 0 è |ΔS| = 1 y Questa regola empirica è fortemente supportata dalla non esistenza del

decadimento altrimenti favorito per spazio delle fasi

y Questo decadimento avrebbe una variazione |ΔS| = 2: mai osservato y La seconda regola di selezione è ΔS = ΔQ

y Questa regola impone una correlazione fra i segni delle variazioni della carica elettrica e della stranezza del sistema adronico

y La base empirica è ancora una volta la non osservazione di decadimenti altrimenti permessi e favoriti dallo spazio delle fasi

4621798

Decadimenti con variazione di S

y La regola di selezione ΔS = ΔQ spiega anche perché y Esiste il decadimento

y Non esiste il decadimento

y E analogamente per i decadimenti del mesone K⁰

y La regola di selezione ΔS = ΔQ può essere facilmente compresa nell’ambito del modello a quark

y Un adrone è composto da quark

y Un mesone da una coppia quark-antiquark y Un barione da tre quark

y Ad esempio, il decadimento Λ⁰ → p π⁻

y Il quark s (S = −1, q = −1/3) si trasforma in un quark u (S = 0, q = +2/3) y La trasformazione di un quark s in quark u porta a variazioni correlate di

stranezza e carica elettrica

y L’assenza dei decadimenti proibiti è facilmente compresa considerando la composizione degli adroni in termini di quark

la transizione non porta al neutrone la transizione porta solo al mesone π⁻

Decadimenti con variazione di S

y Il processo più semplice da calcolare è il decadimento del mesone K⁻ y È un decadimento analogo al decadimento del mesone π: π⁻ → μ⁻ ν_μ

y Poichè c’è variazione di stranezza l’elemento di matrice adronico è

y Come nel caso del decadimento del pione l’elemento di matrice è diverso da zero solo per la parte assiale

y Un calcolo analogo a quanto fatto per il π⁻ porta al risultato

y La costante a è stata inserita perchè le misure sperimentali mostrano che per riprodurre il risultato occorrerebbe utilizzare una costante G più piccola (a ≈ 0.22)

y La differenza fra la costante di accoppiamento fra le transizioni senza e con variazione di stranezza portò Cabibbo a ipotizzare che la corrente adronica fosse così composta

y θ è l’angolo di Cabibbo ( θ ≈ 13^o )

L’angolo di Cabibbo

y La presenza di cosθ_c nella corrente ΔS = 0 spiega la differenza fra y La costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del μ

y La costante di accoppiamento ricavata dal decadimento del neutrone y cos 13^o = 0.974

y L’ipotesi di Cabibbo permette di recuperare il concetto di universalità messo in crisi dalla differenza relativamente grande fra l’intensità dei decadimenti con ΔS = 0 e |ΔS| = 1

y Le interazioni deboli di corrente carica possono essere descritte da correnti deboli (cariche) dei quark

y Ad esempio, per il decadimento β del neutrone ( d → u ) y Per il decadimento di una particella strana ( s → u )

y L’ipotesi di Cabibbo si può esprimere dicendo che i quark d e s sono “mescolati”

y I campi d e s sono sostituiti dai campi d' e s'

y Le correnti deboli J^μ e S^μ sono sostituite dalla corrente

y La combinazione ortogonale s' compare in una analoga corrente con il quark c

The Eightfold Way

y La proliferazione di particelle “elementari” stimolò l’elaborazione di teorie per classificare gli stati osservati

y La teoria di maggiore successo fu la “Eightfold Way” di Gell-Mann^† y Le ipotesi di Gell-Mann erano:

y Gli 8 Barioni noti (in quegli anni …) formano un super-multipletto che generalizza i multipletti di isospin

y La simmetria alla base di questa associazione è una generalizzazione della simmetria unitaria dell’isospin

y Tutti i membri di un supermultipletto dovrebbero avere la stessa massa y In natura la simmetria è rotta

y I barioni sono classificati secondo una rappresentazione 8-dimensionale del gruppo SU(3)

y Anche i mesoni pseudoscalari vengono inseriti in un ottetto con la predizione di un ulteriore singoletto di isospin

y Per arrivare a questa classificazione studiamo il gruppo SU(3) y Preliminarmente alcune definizioni sui gruppi unitari

y ^†Murray Gell-Man – “The Eightfold Way: A Theory Of Strong Interaction Simmetry” - Report non pubblicato Caltech CTSL-20, 1961

Gruppi SU(N)

y Per definizione il gruppo U(N) è il gruppo delle matrici unitarie NuN ( = nun) y Una generica matrice nun del gruppo U(N) soddisfa pertanto la relazione

y L’equazione precedente implica nun relazioni fra gli nun elementi di matrice y Inoltre U è una matrice complessa nun e ha pertanto 2unun parametri reali

y Pertanto dei 2unun parametri reali solo 2unun  nun nun sono indipendenti y Il gruppo SU(N) è il sottogruppo di U(N) delle matrici con determinante = 1

y La richiesta che il determinante sia 1 riduce di un’altra unità il numero dei parametri indipendenti

y Pertanto i parametri indipendenti dei due gruppi più importanti per la fisica delle particelle sono

y SU(2) 3 parametri reali y SU(3) 8 parametri reali y Veniamo alle rappresentazioni:

y Una rappresentazione è un omomorfismo di un gruppo con un gruppo di matrici definite su uno spazio vettoriale di dimensione n

y I fisici spesso chiamano rappresentazione i vettori dello spazio vettoriale

Gruppi SU(N)

y Tutti i gruppi hanno una rappresentazione banale di dimensione uno che corrisponde all’elemento 1

y La dimensione della rappresentazione di dimensione più piccola successiva dipende dal gruppo

y Si introduce inoltre la rappresentazione coniugata

y Se la rappresentazione è costituita dalle matrici M allora la rappresentazione coniugata è costituita dalle matrici M*

y Ricordiamo che l’operazione di aggiunto e di coniugazione complessa, in teoria di campi quantistici, fa passare dalle particelle alle antiparticelle y Le rappresentazioni non banali di dimensione più piccola

per i gruppi SU(2) e SU(3) sono

y SU(2): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 2 y La rappresentazione coniugata delle matrici M* coincide la

rappresentazione normale

y Esiste una trasformazione unitaria che trasforma le matrici M in M*

y Una sola rappresentazione: 

y SU(3): è realizzata su uno spazio vettoriale di dimensione 3

y La rappresentazione coniugata delle matrici M* non coincide con la rappresentazione normale

y Due rappresentazioni:  e 

The Eightfold Way

y Ritorniamo al modello a quark di Gell-Mann

y Gell-Mann ipotizzò che i tre quark (u, d, s) fossero una base della rappresentazione 3 del gruppo SU(3)

y Si tratta di un gruppo di operatori unitari

y Utilizzando i generatori λ_n una generica matrice di questo gruppo può essere rappresentata come

y Abbiamo visto che il gruppo dipende da 8 parametri reali: 8 generatori y Le matrici λ_n soddisfano le seguenti regole di commutazione

y Le grandezze f_ijk sono le costanti di struttura del gruppo y f_ijk è totalmente antisimmetrico

y Gli elementi diversi da zero sono

La rappresentazione 3 di SU(3)

y Le 8 matrici della rappresentazione 3 (matrici di Gell-Mann) sono

y Evidentemente gli operatori λ₃ e λ₈ commutano fra di loro (sono diagonali) y Per motivi che saranno evidenti fra poco si definiscono gli operatori

y Gli operatori T₃e Y sono già in forma diagonale

y Analizziamo il loro comportamento sulla base standard

Rappresentiamo sul piano YT i 3 stati

Y

T_

La rappresentazione 3 di SU(3)

y Analogamente studiamo la rappresentazione coniugata in cui generatori sono

y Riportiamo per brevità solo gli operatori λ₃ e λ₈

y Definiamo nuovamente

y Studiamo infine l’effetto dei generatori diagonali sulla base standard

y Rappresentiamo sul piano YT₃ i 3 stati

Y

T_

Interpretazione: Carica elettrica

y Questi stati rappresentano i tre quark o i tre anti-quark

y Analizziamo i numeri quantici dei vettori base delle due rappresentazioni y Innanzitutto la carica elettrica con la

relazione di Gell-Mann e Nishijima

y Per i tre stati della rappresentazione 3

y E analogamente per la rappresentazione 3

y Gli stati hanno pertanto carica frazionaria

Y

T_

Y

T_

Interpretazione: Numero Barionico

y Inoltre ricordiamo la definizione della Ipercarica

y Attribuiamo la stranezza e il numero barionico ai vari stati

y Per la rappresentazione 3

y Per lo stato Y=1/3 o B = 1/3, S = 0 y Per lo stato Y=1/3 o B = 1/3, S = 0 y Per lo stato Y=−2/3 o B = 1/3, S = −1 y Per la rappresentazione 3

y Per lo stato Y=−1/3 o B = −1/3, S = 0 y Per lo stato Y=−1/3 o B = −1/3, S = 0 y Per lo stato Y=2/3 o B = −1/3, S = +1

y I famosi Quark e Anti-Quark con carica frazionaria di Gell-Mann

Y

T_

Y

T_

Le correnti di SU(3)

y Abbiamo già detto che interazioni deboli che abbiamo studiato possono essere interpretate a livello dei quark costituenti

y Queste transizioni possono descritte in modo unitario nell’ambito del modello a quark

y Nel caso di SU(2) abbiamo introdotto correnti di isospin y Possiamo generalizzare quel formalismo a SU(3)

Le correnti di SU(3)

y In modo completamente analogo a quanto visto per SU(2) si può definire l’isospinore

y Si può definire la Lagrangiana libera dei quark come

y Notiamo che questo implica che le masse dei tre quark sono uguali y Richiedere l’invarianza di questa lagrangiana rispetto alle

trasformazioni di SU(3) porta a 8 correnti conservate

y A queste correnti corrispondono 8 cariche conservate

Inoltre è conservata la corrente barionica

Le correnti di SU(3)

y Le cariche soddisfano le regole di commutazione di SU(3)

y Le regole di commutazione dei campi sono

y Come abbiamo visto sono molto importanti le due seguenti cariche y La terza componente dell’isospin

y L’ipercarica

Le correnti di SU(3)

y Una combinazione importante, che porta alla corrente elettromagnetica

y Ricordiamo la definizione fatta per le correnti

y Per capire la definizione di calcoliamo la somma delle due matrici che definiscono le correnti V₃ e V₈

y Utilizzando questo risultato troviamo la corrente elettromagnetica espressa in funzione dei tre quark ( e delle loro cariche elettriche!)

y Per quel che riguarda le correnti deboli si hanno le seguenti identificazioni

Le correnti di SU(3)

y È facile verificare le seguenti regole di commutazione

y La corrente J₊ cambia la carica elettrica di una unità y La corrente S₊ cambia la carica elettrica di una unità y Pertanto la corrente adronica carica h = J₊cosθ_c+ S₊sinθ_c ha la regola di

selezione ΔQ = 1

y La corrente J₊ conserva l’ipercarica (quindi la stranezza) y La corrente S₊ cambia l’ipercarica di una unità |ΔS| = 1

y Inoltre questa regola insieme alla prima implica che ΔQ = ΔS y Per finire le regole dell’isospin

y La corrente J₊ cambia l’isospin (T₃) di una unità y La corrente S₊ cambia l’isospin di 1/2

Le correnti di SU(3)

y Per finire scriviamo le correnti esplicitando il contenuto dei quark y Per la corrente J₊

y Pertanto la corrente J₊ trasforma un quark d in un quark u y Per la corrente S₊ otteniamo

y Pertanto la corrente S₊ trasforma un quark s in un quark u

Le correnti di SU(3)

y Il formalismo sviluppato permette di trovare relazioni fra gli elementi di matrice di moltissimi processi

y Analogo all'ipotesi CVC

y L’invarianza (globale) per SU(3) è una simmetria nello spazio del “sapore”

(flavor) dei quark

y La sua origine è nella quasi uguaglianza delle masse dei quark più leggeri y La simmetria è rotta per i quark più pesanti

y Non ci sono sviluppi sostanziali per gruppi più estesi di SU(3)

y Non ci sono sviluppi interessanti se si richiede una invarianza locale

Interazioni neutrino-fermione

y L’interazione di Fermi può essere utilizzata per calcolare le sezioni d’urto di interazioni neutrino fermione mediate da corrente carica (CC)

y Può essere utilizzata anche per descrivere interazioni di antineutrini y Può essere utilizzata per interazioni di neutrini di tutte le famiglie

y Nel processo di corrente carica il neutrino si trasforma nel leptone carico della famiglia scambiando un bosone W⁺

y Dall'altro lato possiamo trovare un fermione o un antifermione y Per la conservazione della carica deve essere

y Si possono avere le seguenti transizioni

y Per le interazioni di antineutrini tutte le cariche sono invertite y In questo caso la particella scambiata è il bosone W⁻

y Per finire osserviamo che le correnti conservano il relativo numero fermionico k_i ν_l l^ k_f

W⁺

p_i p_f

W⁺

k_i l^ k_f

W⁻

Interazioni neutrino-fermione

y Troveremo la stessa formula per tutte le famiglie y In realtà le famiglie differiscono per la massa

y Spesso approssimeremo le masse a zero

y Le formule per le particelle sono diverse da quelle per le antiparticelle y Sia per i neutrini-antineutrini che per i fermioni-antifermioni

y Per fissare le idee studiamo

y La sezione d’urto neutrino elettronico - elettrone y La sezione d’urto antineutrino elettronico – elettrone

y Questi due processi sono mediati da correnti sia cariche che neutre

y Per il momento trascureremo la corrente neutra y La reazione può essere

mediata solo tramite CC

y Osserviamo che può essere mediata solo da corrente neutra

k_i ν_e e^ k_f

p_i p_f

W⁺

e^ ν_e

k_i

k_f e^ ν_e

p_i

p_f

Z⁰

e^

ν_e k_i e^ k_f

p_i p_f

W⁻

e^ ν_e

ν_e

k_i

k_f e^ ν_e

p_i

p_f

Z⁰

e^

ν_e

k_i ν_μ μ^ k_f

p p

W⁺

k_i ν_μ p_f

Z⁰

ν_μ

Lo scattering ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

y Iniziamo con il calcolo della sezione d'urto per lo scattering di un neutrino da parte di un elettrone

y Il diagramma di Feynman al primo ordine associato a questa reazione e la corrispondente ampiezza di Fermi sono

y Il quadrato dell’elemento di matrice è

y I due tensori M^μν e N^μν sono facilmente derivabili dal digramma utilizzando le regole per i diagrammi (vedi diapositiva )

y Nel primo tensore non è fatta la media sulle polarizzazioni iniziali (manca il fattore ½ ) perché il neutrino ha solo lo stato left-handed

k_i k_f

p_i

e

e

ν

ν

3281410

Lo scattering ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

y Il calcolo delle tracce è lasciato come esercizio y Il risultato per i due tensori è (m_ν = 0)

y Il prodotto dei due tensori si calcola facilmente (un po’ lungo …) y Occorre la proprietà del tensore di Levi – Civita

y Il risultato è

y Calcoliamo i prodotti

y Dalla conservazione del 4-momento

y Trascuriamo m_e

y Inserendo nell’elemento di matrice si ottiene

y La sezione d'urto è

y Ricordiamo (diapositiva ) il fattore di flusso F e lo spazio delle fasi dΦ₂

y Inoltre

y Otteniamo pertanto

y Per l’elemento di matrice il risultato del calcolo era y Introducendo nella formula per la sezione d’urto

y Pertanto, nel centro di massa, la sezione d’urto è isotropa y La sezione d’urto totale è

La sezione d’urto ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

2722289

Lo scattering ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

y Calcoliamo adesso il quadrato dell’ampiezza della reazione

y Il diagramma di Feynman al primo ordine (solo CC) associato a questa reazione e la corrispondente ampiezza di Fermi sono

y Le correnti sono relative a particelle o tutte nello stato iniziale o tutte nello stato finale

y Nella reazione neutrino-elettrone le correnti univano particelle fra gli stati iniziali e finali

y Confrontiamo con la corrispondente ampiezza della reazione ν_e e⁻ → ν_e e⁻ y Gli spinori u_kf e u_pi compaiono allo stesso modo e quindi contribuiranno allo

stesso modo

y Lo spinore u_ki è diventato v_pf - dato che m_ν = 0 basta sostituire k_i con p_f y Lo spinore u_pf è diventato v_ki - dato che m_ν = 0 basta sostituire p_f con k_i y Sostituendo

k_i k_f

p_i

e

e

ν

ν

Lo scattering ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

y Studiamo adesso la cinematica della reazione y Consideriamo la conservazione del 4-momento y Possiamo ricavare una espressione utile per

la variabile di Mandelstam t

y Trascurando ancora una volta le masse delle particelle y Consideriamo adesso il sistema del centro di massa

y Dato che lo scattering è elastico

y Calcoliamo t (sempre trascurando le masse) y Inseriamo i risultati nell’elemento di matrice

k_i k_f

p_i

e

e

ν

ν

k_i T

k_f

p_f

p_i

Lo scattering ν _e e ⁻ → ν _e e ⁻

y Lo spazio delle fasi e il flusso sono identici al caso precedente y Inserendo nella formula per la sezione d’urto otteniamo

y Per la sezione d'urto totale

integriamo su tutto l’angolo solido y Riepiloghiamo i risultati ottenuti

y Si può comprendere la differenza fra i due risultati facendo riferimento alla conservazione del momento angolare e alla violazione della parità

isotropa

J

= 0 J

= 1

∼d ∼(1−cosθ)

e⁻

ν θ

e⁻

ν

e⁻

ν_e θ

e⁻

ν_e

Interazione neutrino quark (CC)

ν_μ θ d

μ^

u

J_z = 0 Isotropa

J_z = 1 o J_z 

M ad_a1+cosθ σ = 0 per θ = π

ν_μ θ u

μ^

d d

ν_μ θ

μ^ u

u

ν_μ θ

μ^

d

J_z = 1 o J_z 

M ad_a1+cos θ σ = 0 per θ = π

J_z = 0 Isotropa

k k'

p p'

W^

k k'

p p'

W^

k k'

p p'

W^

k k'

p p'

W^

La reazione ν _μ e ⁻ → μ ⁻ ν _e

y Includiamo l'effetto della massa del leptone carico y È importante per la reazione

y La struttura dell’elemento di matrice è identica y L’unica differenza è la massa del muone

y Nei casi precedenti, il calcolo del quadrato dell'elemento di matrice era stato fatto senza approssimazioni fino al risultato

y Calcoliamo adesso i due prodotti scalari

y Per il primo, relativo ai momenti nello stato iniziale, non ci sono modifiche (si può trascurare m_e )

y Per il secondo prodotto abbiamo y Inserendo nell’elemento di matrice

k_i ν_μ μ^ k_f

p_i p_f

W⁺

e^ ν_e

La reazione ν _μ e ⁻ → μ ⁻ ν _e

y Per spazio delle fasi e flusso si può usare il calcolo precedente ma con cura y Se trascuriamo le masse le reazioni sono processi di scattering elastico

y Le masse delle particelle nello stato iniziale sono uguali alle masse nello stato finale

y La quantità di moto (3d) nel centro di massa dello stato iniziale è uguale al quantità di moto nel centro di massa dello stato finale y Nel caso della reazione

y Le masse delle particelle nello stato iniziale e finale sono diverse y Di conseguenza anche le quantità di moto q_i e q_f sono differenti y Le quantità di moto nel flusso e nello spazio delle fasi sono differenti y Ricordiamo il risultato per il fattore di flusso

y Questo risultato è ancora valido perché la cinematica dello stato iniziale non è cambiata

y Ricordiamo il risultato per lo spazio delle fasi y Occorre esprimere q_f in termini di invarianti y Occorre tenere conto dell’effetto soglia

La quantità di moto nel centro di massa

y Cominciamo dalla variabile invariante s nel c.m. delle particelle 1−2

y Sviluppando

y Semplificando

y per finire otteniamo

y nello stato iniziale 1 = e, 2 = ν_μ y nello stato finale 1 = μ, 2 = ν_e

Soglia di produzione

y Nel caso della reazione di produzione occorre anche calcolare l'energia minima necessaria perché la

reazione sia possibile

y Il minimo valore di s necessario è quello che porta alla produzione delle due particelle a riposo nello stato finale: |q_f| = 0

y Dalla diapositiva precedente y La reazione è possibile per

y Ponendo m₁ = m_μ, m₂ = 0 e introducendo il valore di s nel laboratorio

La reazione ν _μ e ⁻ → μ ⁻ ν _e

y Per finire specializziamo la formula dello spazio delle fasi al nostro caso

y Otteniamo

y Inseriamo questi risultati nella formula per la sezione d’urto

y Otteniamo

Difficoltà dell’Interazione di Fermi

y Le sezioni d'urto fin qui calcolate divergono al crescere dell'energia

y Osserviamo inoltre che i calcoli fin qui fatti sono approssimati al primo ordine della teoria perturbativa

y È possibile fare calcoli di ordine superiore ? y Ad esempio, è possibile calcolare diagrammi

come il seguente ?

y Diagrammi di questo tipo divergono

y Il tipo di divergenza è grave e non si riesce a reinterpretare come invece avviene per l’elettrodinamica con la rinormalizzazione

y La teoria di Fermi non è rinormalizzabile

y Si è tentato di rendere la teoria più simile all’elettrodinamica introducendo il bosone vettoriale intermedio (IVB)

y Le correnti dell'interazione di Fermi sono vettoriali

y La particella scambiata deve essere un 4-vettore, spin 1 y L'interazione debole è a corto range (di contatto)

y La particella scambiata deve avere una massa non nulla

y Dobbiamo trovare il propagatore di una particella vettoriale di massa non nulla y Approfondiamo lo studio dei propagatori

n p

e

Particelle con massa nulla e con spin 1 ^†

y Una particella di spin 1 è descritta da un campo A^μ y La lagrangiana di un campo vettoriale senza massa

accoppiato a una sorgente j^μ è

y L è invariante per trasformazioni di gauge se la corrente è conservata y Il tensore F^μν è invariante per trasformazioni di gauge A'^μ = A^μ + ∂^μΛ y Esaminiamo come si trasforma il termine di interazione

y La 4-divergenza non contribuisce all'azione e può essere ignorata y Le equazioni di Eulero-Lagrange portano all'equazione per A^μ

y Fissiamo il gauge con la condizione di Lorentz ∂^μA_μ= 0 e assumiamo j^μ = 0 y Si trova la soluzione di onda piana che propaga nel vuoto

y Il 4-vettore ε^μ(k) descrive la polarizzazione della particella

y † Per la trattazione degli stati di polarizzazione di particelle vettoriali vedi

Greiner W., Reinhardt J. - Field Quantization 2nd ed. – Springer 1996 § 6.4.1 e § 6.4.2

se ∂^μj_μ = 0 L′ è invariante se

J^μ è conservata

Particelle con massa non nulla e con spin 1

y Il passaggio a particelle con massa non nulla si fa introducendo un termine quadratico nella lagrangiana

y Osserviamo che L non è più gauge invariante a causa del nuovo termine y Le equazioni di Eulero-Lagrange portano all'equazione di Proca

y Calcoliamo la 4-divergenza dell'equazione

y I primi due termini si elidono e pertanto

y Se la corrente è nulla oppure è conservata deve essere

y Pertanto nel caso di massa non nulla la condizione di Lorentz su Α^μ è conseguenza dell'autoconsistenza della teoria

y Nel caso J^μ = 0 l'equazione di Proca si semplifica in y La soluzione di onde piane

y Il 4-vettore ε^μ(k) descrive la polarizzazione della particella

y Una particella di spin 1 dotata di massa ha, ovviamente, un sistema di riposo y Per rappresentare la polarizzazione della particella si può utilizzare il

formalismo generale introdotto nella diapositiva e seguenti y Nel sistema di riposo K' la particella ha polarizzazione ξ

y Si definisce il 4-vettore

y s' è ortogonale al 4-vettore energia impulso

y Nel sistema K in cui la particella ha 4-momento k = (k⁰, k)

y Consideriamo tre vettori polarizzazione ξ nel sistema K' y Due polarizzazioni ξ₁ e ξ₂ perpendicolari a

k

y Una polarizzazione longitudinale ξ₃ y Ovviamente ξ_i⋅ξ_j = 0 i,j=1,3

y I 4-vettori corrispondenti nel sistema K sono

y Osserviamo che anche i prodotti 4-dimensionali sono nulli: ε

Particelle con massa non nulla e con spin 1

115778

Particelle con massa non nulla e con spin 1

y Si può introdurre un quarto vettore ε₀, di tipo time-like, per avere un sistema di vettori base completo

y È possibile perché k² = m² ≠ 0 y Non si può fare per il fotone

y Si verifica facilmente che ε_λ⋅ε_λ' = g_λλ'

y In seguito avremo bisogno delle "somme di polarizzazione"

y La somma in λ non è in forma covariante y g_λλ serve solo per definire i segni

y Si può verificare la relazione nel sistema di riposo della particella

y Se μ = 0 oppure ν = 0 tutti i contributi sono nulli escluso il caso μ = ν = 0 y Per μ = i e ν = j con i,j = 1,2,3

Si tratta della normale relazione di completezza per una terna ortogonale in R³

Particelle con massa non nulla e con spin 1 ^†

y Abbiamo visto che la condizione di Lorentz implica un vincolo sulle componenti del campo A^μ

y ∂^μA_μ= 0 implica che solo tre componenti di A^μ sono indipendenti y Analogamente, dei quattro vettori di polarizzazione solo tre sono

indipendenti e hanno un senso fisico

y La completezza della somma di polarizzazione ha senso matematicamente

y Fisicamente siamo interessati alla somma estesa solamente ai tre stati fisici y Analizziamo il contributo di ε₀(k) alla somma

y Otteniamo pertanto

y † Per la trattazione degli stati di polarizzazione di particelle vettoriali vedi

Greiner W., Reinhardt J. - Field Quantization 2nd ed. – Springer 1996 § 6.4.1 e § 6.4.2

Particelle con massa nulla e con spin 1

y I vettori di polarizzazione di un campo vettoriale con massa nulla non possono essere ottenuti da quelli introdotti nelle diapositive precedenti ponendo m = 0 y Nel caso di massa nulla gli stati di polarizzazione indipendente sono solo due y Inoltre non possiamo utilizzare il 4-vettore k per definire ε₀ perché k² = 0 y E naturalmente non possiamo utilizzare il sistema di riposo

y Utilizziamo il gauge di Lorentz: ∂^μA_μ= 0 → k_με^μ(k) = 0

y Utilizziamo l'ulteriore invarianza che permette di trasformare i vettori di polarizzazione come ε^μ → ε^μ +β k^μ

y Possiamo pertanto assumere che ε_i(k) = (0,ξ_i) i = 1,2,3

y Infine scegliamo, in questo sistema, il quarto stato come ε₀(k) = n = (1,0) y Utilizzando il 4-vettore n possiamo scrivere ε₃(k) in forma covariante

y È facile verificare che nel sistema in cui n = (1,0) si ha

y Per fotoni reali (k² = 0) i quattro 4-vettori soddisfano le seguenti relazioni

Particelle con massa nulla e con spin 1

y Si può dimostrare che i quattro stati definiti precedentemente soddisfano la stessa relazione di completezza del caso con massa diversa da zero

y Nel caso di un campo vettoriale senza massa siamo interessati alla somma di polarizzazione limitata agli stati fisici ε₁(k) e ε₂(k)

y Si hanno due risultati per particelle reali (on-shell, k² = 0 ) oppure virtuali (off-shell, k² ≠ 0 )

y Per particelle reali ( k² = 0 ) y Ad esempio per fotoni esterni

y Per particelle virtuali ( k² ≠ 0 ) y Ad esempio in un propagatore

y Abbiamo definito il propagatore fotonico (vedi diapositiva )

y Definiamo la funzione θ(τ) y Otteniamo l'espressione

y Consideriamo uno dei due termini e utilizziamo lo sviluppo dei campi A^μ

Il propagatore fotonico

2582196

Il propagatore fotonico

y Per analogia

y Utilizziamo la rappresentazione integrale della funzione θ(τ)

y Otteniamo la seguente espressione per il propagatore

y Consideriamo il primo termine (q₀ = |q| )

y Per il momento omettiamo la somma sulle polarizzazioni

y Poniamo

Il propagatore fotonico

y Otteniamo

y Analogamente il secondo termine

y Abbiamo cambiato k_α → −k_α

y In particolare ω → −ω nel denominatore y Sommiamo i due termini

Il propagatore fotonico

y Inseriamo nell'integrale (reintroduciamo +iε nel denominatore)

y Reintroduciamo le somme di polarizzazione y Ricordiamo che

k = (ω,q)

y Il secondo membro è una trasformata di Fourier

y Il propagatore fotonico nello spazio dei momenti è pertanto

y Utilizziamo l'espressione che abbiamo trovato per le somme di polarizzazione nella diapositiva

y Otteniamo^†

y In elettrodinamica il propagatore è accoppiato a correnti conservate

y I primi tre termini della frazione danno pertanto contributo nullo y Ignoriamo anche i termini in n^μ e n^ν

y Rappresentano il contributo dell'interazione Coulombiana^†

y Si utilizza pertanto la forma covariante del propagatore fotonico

y ^†vedi W. Grenier, J. Reinhardt – Field Quantization – Springer 1996 p.185

Il propagatore fotonico

5362440

p_f p_i

γ

Il propagatore del bosone W ^±

y La stessa derivazione può essere fatta per il propagatore di bosoni vettoriali con massa diversa da zero

y Una prima differenza sta nella relazione fra energia e quantità di moto y Una seconda differenza risiede nel valore delle somme di polarizzazione

y Tenendo conto di queste differenze il propagatore per una particella vettoriale di massa M_W è

y Calcoliamo l'ampiezza di transizione per un processo che abbiamo descritto con l'interazione corrente-corrente utilizzando il propagatore (slide )520¹⁶⁴¹

Il propagatore del bosone W ^±

y Utilizziamo la forma esplicita del propagatore

y Consideriamo prima il pezzo del propagatore che contiene i termini q_μq_ν y Ricordiamo che

q = k

+ p

= k

+ p

y Calcoliamo il contributo della prima corrente

y Un risultato analogo per la seconda corrente

y In definitiva i contributi sono proporzionali a termini (a,b = e,ν) y Sono contributi trascurabili

y Osservazioni

y La corrente debole non è conservata

y Sarebbe conservata per masse nulle (la componente γ^μ per masse uguali) y Dipende dal fatto che la corrente contiene solo la componente chirale LH

Il modello Bosone Vettoriale Intermedio (IVB)

y Consideriamo il termine proporzionale a g_μν

y La costante g introdotta gioca il ruolo della carica e y Consideriamo il limite di momento trasferito trascurabile y In questo limite l'ampiezza diventa

y Si arriva pertanto alla identificazione

y Concludiamo che al primo ordine dello sviluppo perturbativo i risultati trovati con l'interazione corrente-corrente posso essere generalizzati al modello IVB semplicemente sostituendo G con l'espressione contenente il propagatore

y In particolare la sezione d'urto

da confrontare con

• Non è più divergente nel limite di alta energia

• La divergenza per è apparente

• Abbiamo trascurato Γ