La carica elettrica
I greci avevano osservato che l’ambra (elektron) aveva delle caratteristiche particolari se strofinata con una pelliccia, il
vetro presentava le stesse caratteristiche se strofinato con seta 1820 H.C. Oersted connessione tra elettricità e magnetismo
M. Farday sperimentale puro, non scrive formule 1850 J.C. Maxwell formalizza le idee di Faraday
Vetro + Plastica -
Interazione elettrica ha un duplice aspetto (+ e -) a differenza di quella gravitazionale
Due corpi che possiedono lo stesso tipo di elettrizzazione ( + o -) si respingono, mentre si attraggono se possiedono tipi di
elettrizzazione diversi (uno + e l’altro -)
Interazione gravitazionale molto meno intensa di quella elettrica
vediamo l’interazione gravitazionale solo perché quella elettrica, avendo una duplice natura, di solito dà origine a corpi neutri
I materiali possono esser suddivisi in conduttori (rame)
isolanti (plastica)
Nei conduttori le cariche (elettroni di conduzione) sono libere di muoversi
Carica indotta
semiconduttori (ad es. Si e Ge)
superconduttori (non presentano resistenza)
La carica elettrica è responsabile della forza elettrica, così come la massa lo è della forza gravitazionale
Misuro F esercitata su q1 e -F esercitata su q2
Se un sistema è isolato la sua carica totale rimane costante:
principio di conservazione della carica elettrica (B. Franklin)
Elettrostatica: studio dell’interazione tra due cariche elettriche a riposo (o al più in moto con v molto piccola) in un sistema inerziale
Legge di Coulomb (1785)
L’interazione elettrostatica tra due particelle cariche è proporzionale alle loro cariche ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di esse; la direzione della forza è quella della linea congiungente le cariche stesse
u
rr q k q
F r r
2 2
=
1q1 q2
F -F
La costante k prende il nome di costante elettrostatica e il suo valore dipende dalle unità di misura utilizzate
+ θ
F F
Utilizzando una bilancia di torsione posso misurare F. Non conosco il valore della carica allora fisso k in modo arbitrario
luce della
velocità
=
⋅
≅
⋅
=
= − c c
k 10 7 2 8.9874 109 9 109
In questo modo la carica di 1 C è definita come la carica che, posta ad 1 m da una carica uguale nel vuoto, viene respinta con una forza di 8.9874·109 N
[ ] k = Nm
2C
−2o kgm
3C
−2Per praticità si pone
2 2 1 12
2 7 0
0
10 854 . 4 8
10 4
1
−
−
−
⋅ −
=
=
=
=
C m c N
vuoto del
ità permeattiv
con k
ε π
πε +
u
rr q
F r q r
2 0 2
1
1
4 πε
=
q1 e q2 vanno inserite con il loro segno
F<0 forze attrattive e q di segno opposto F>0 forze repulsive e q dello stesso segno F12=-F21 q1 e q2 esercitano una sull’altra una forza di modulo uguale e verso opposto, F12 e F21 sono una coppia di azione e reazione Unità di misura della carica elettrica deriva da quella della corrente (Ampere): 1C è la quantità di carica che passa in un secondo attraverso una qualsiasi sezione di un filo percorso da una corrente di 1 A
idt dq =
La forza elettrostatica F è additiva (principio di sovrapposizione):
F n
F F
F
Fr r r r ... r + +
+ +
=
Esempio
q1 =1.5·10-3 C AC = 1.2 m = r1 q2 =-0.5·10-3 C BC = 0.5 m = r2 q3 =0.2·10-3 C
F3 = ? A
B
q1 q3C
q2 x
y F32 FF331
N 10
875 . 1
N 10 875 . 2 1
. 1
10 2 . 0 10
5 . 10 1 9
N 10
6 . 3
N 10 6 . 5 3
. 0
10 2 . 0 10
5 . 10 0 9
3 31
3 2
3 3
9 2
1 3 1 31
3 32
3 2
3 3
9 2
2 3 2 32
i F
r q k q F
j F
r q k q F
r r r r r
r
⋅
=
⋅
⋅ =
⋅
⋅ ⋅
=
=
⋅
−
=
⋅
⋅ =
⋅
⋅ ⋅
=
=
−
−
−
−
°
−
=
⇒
−
=
−
=
=
⋅
= +
=
5 . 62 92
. 875 1
. 1
6 . 3
10 06 .
4 3
2 32 2
31 3
θ θ
31 32
F tg F
N F
F F
Il campo elettrico
Ogni regione dello spazio in cui una carica elettrica sia soggetta ad una forza elettrostatica è detta campo elettrico (dovuto alle cariche presenti)
q0 carica di prova q1, q2, ..., qn cariche che generano il campo q0 risente del campo generato dalle n cariche (vale anche per le n cariche, ma non è un fatto rilevante per il discorso che stiamo facendo)
0 0
0 3
0 2
0
1
q , F q , F q ,..., F q F q
F ∝ ∝ ∝
n∝ ⇒
Tot∝
Per valutare se siamo in presenza di un campo elettrico in una certa zona dello spazio, la esploriamo con una carica piccola detta carica di prova o carica esploratrice e misuriamo la forza che agisce su di essa
0 q
se F E E
q F
oppure q
Εr = Fr r = 0 r r r 0 >
0
|E| : intensità del campo elettrico è la forza che agisce sulla carica unitaria posta in quel punto
[ ] E = N ⋅ C
−1oppure kg ⋅ m ⋅ s
−2⋅ C
−1Il campo elettrico è un campo vettoriale
Il campo elettrico non dipende dalla carica di prova
L’effetto del campo elettrico su cariche di segno opposto è di spostarle verso zone diverse ⇒polarizzazione
Il campo elettrico gode della proprietà di sovrapposizione
ri
n
i i
n i i
i
n u
r E q
E E
E E
Er r r r r r r
∑
∑
= ==
= +
+ +
+
=
1 2 1 0
3 2
1 4
... 1
πε
• In ogni punto le linee di forza sono
tangenti alla direzione del campo elettrico in quel punto
• Si determinano usando una carica di prova positiva
• Escono dalle cariche + ed entrano in quelle –
• Sono tracciate in modo che il numero di linee che attraversano una superficie unitaria ⊥ ad esse è ∝ all’intensità del campo elettrico E
linee si addensano ⇒ E è grande linee si diradano ⇒ E è piccolo
Linee di forza
Dipolo elettrico
Vettori campo elettrico nello spazio attorno ad una carica puntiforme positiva
Lamina non conduttrice infinita
Distribuzione uniforme di cariche + da un lato
Forza netta ⊥ al piano uscente dal piano Piano infinito e distribuzione di carica uniforme ⇒vettori campo elettrico hanno tutti la stessa intensità
Campo elettrico uniforme
Sia q0 la carica esploratrice, a distanza r da q (che genera il campo elettrico) si ha
spazio dello
punto
r u E q
E q r u
qq E q F
r u F qq
r r
r
∀
=
=
=
=
r r
r r r r
r r
2 0 2 0
0 0
0
2 0 0
4 1 4
1 4
1
πε πε
πε
Esempio
q1 =1.5·10-3 C AC = 1.2 m = r1 q2 =-0.5·10-3 C BC = 0.5 m = r2 q3 =0.2·10-3 C
E(C) = ? A
B
q1 q3C
q2 x
y E2(C) E1(C) E(C)
1 7
3 3 3
3 3
10 03
. 2 E
N 10 06
. 4
⋅ −
⋅
=
=
⋅
=
C q N
F F
E3 è il campo in cui si trova q3 che qui equivale alla carica di prova oppure
1 - 7
2 2
1 - 6
2 2 0 2 2
1 - 6
2 1 0 1 1
C N 10 03 . 2 ) ( )
( )
(
C N 10 4 18
) (
C N 10 37 . 4 9
) (
E C
E C
E C
E
r C q
E
r C q
E
=
⋅
⋅
= +
=
⋅
⋅
−
=
=
⋅
⋅
=
=
πε
πε E1 ed E2 sono i campi generati
da q1 e q2 in C
Calcoliamo il campo elettrico generato da un filo molto lungo e sottile che porta una carica λ per unità di lunghezza
s ds
O
r R θ P
dE dEcosθ uR
ds dq =
λ
2
4 0
) 1
( r
P ds
dE λ
= πε
L’elemento simmetrico a ds rispetto al punto O crea in P un campo dE uguale in
modulo, ma con componente verticale di verso opposto Le componenti del campo elettrico parallele al filo si elidono, restano quindi solo le componenti dEcosθ ⊥ al filo
πε θ
θ λ ππ
π
π cos
cos 4 2
2 2 0
2
2
∫
∫
− = −= r
dE ds E
θ θ θ
θ
dR
r = sec s = Rtg ⇒ ds = Rsec2
Dopo aver fatto le sostituzioni integriamo tra 0 e π/2 e moltiplichiamo il risultato per 2
R R
R d R d
E R
0 2
0 0
2 0 0
2
0 2 2
2
0
sin 2 2
2 cos sec cos
sec 4
2
πε θ λ
πε λ
θ πε θ
θ λ θ θ
θ πε
λ
π
π π
=
=
=
=
=
∫ ∫
In conclusione
E R R u
E R 1
2 0 ∝
= r r
r
πε λ
Vediamo ora il campo elettrico generato sull’asse di un anello di plastica uniformememte carico con densità di carica λ
ds
dq =
λ
24 0
) 1
( r
P ds
dE λ
= πε
(
2 2)
0 2 2
2
4 1
z R
dE ds
R z
r
= +
+
=
λ πε
Le componenti dE⊥ si elidono,
⇒Efinale ⏐⏐z e restano solo le componenti del campo parallele all’asse dell’anello
( )
(
R z)
integro tra s 0 e s 2 RdE zds
dE z
R dE z
r dE z
dE
λ π πε
θ
=
=
⇒ +
=
+
=
=
=
2 3 2 0 2
2 1 2 2
4 1
cos
( )
( )
2 0(
2 2)
233 2 2
0
2 0 2 3 2 2
0
4 4
2
4 cos
z R
qz z
R R z
ds z
R dE z
dE
E R
+
= +
=
= +
=
=
=
∫ ∫ ∫
πε πε
π λ
πε
θ λ π
Per z >> R si ottiene
q puntiforme carica
della campo
il ottengo 4
1
4 0 3 0z2 q z
Eanello qz
πε
πε =
r =
Per z = 0
= 0
anello
E r
Vediamo il campo elettrico generato sull’asse di un disco uniformememte carico con densità di carica σ
Consideriamo il disco suddiviso in tanti anelli concentrici Come quello di raggio r e spessore dr
Il calcolo del campo elettrico procede in due fasi:
1. calcoliamo il campo dell’anello 2. sommiamo su tutti gli anelli in pratica dobbiamo fare due integrazioni Conosciamo già il campo dell’anello
(
2 2)
3 2 0(
2 2)
3 20 4
2 4
2
z r
z rdr
z r
z dE dq
rdr dA
dq
anello
= +
= +
=
=
πε π σ πε
π σ σ
( ) ( )
∫
∫
−Σ
+
=
= anello R
disco z z r r dr
dE
E 0
2 2 3
2 0
4πε 2 σ
Abbiamo a che fare con un integrale del tipo
rdr dx
m r
z m x
dx x x
m
m , 2
2 , 3
1con
2 2
1 = + = − =
= +
∫
+Otteniamo quindi
( )
( )
( )
per 02 1
1 1
2 2
1 4
2 2 1 2
0
2 2
0 0 2 2 1 2
0
⎟ ≥
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
=
⎟⎟ ⇒
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
− +
− =
= +
−
R z z
E z
z R
z z
r z
E z
disco
R disco
ε σ
ε σ ε
σ
Per R →∞
2ε0
= σ
→ piano∞
disco E
E
Per z →0
2ε0
= σ
→ piano∞
disco E
E
Moto di una carica in campo elettrico
m E a q
E q a m
Fr r r r r
=
⇒
=
=
Il rapporto tra q ed m determina l’accelerazione cui è sottoposta la particella di carica q e massa m; se il campo elettrico E è uniforme, l’accelerazione a risulta costante e quindi la traiettoria seguita dalla particella è una parabola. Supponiamo che la particella entri nella zona in cui c’è campo elettrico con velocità v0 diretta orizzontalmente
da sx verso dx, sia inoltre v0 ┴ E, indichiamo infine con v la velocità della particella in uscita dal campo elettrico, con α l’angolo di
deflessione della stessa rispetto all’asse delle x, con d la distanza
dall’asse delle x del punto P in cui la particella colpisce lo schermo e con a la lunghezza dei piatti deflettenti.
α P x a y
Dalla cinematica sappiamo che
2 2 0 2
0 2
1 2
1 x
v E m
y q m Et
y q t v
x ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎟⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⇒
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
Abbiamo così verificato che la traiettoria è una parabola a) (per x
e deflession di
angolo =
⇒
α
dx dy
v a E m
q dx
tg dy
a x
2 0
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
α
Se la deviazione dall’orizzontale all’uscita dai piatti deflettenti è piccola, ovvero se lo schermo è sufficientemente lontano, possiamo scrivere
L d mv
qEa L
tg = d ⇒ 2 ≅
0
α
I tubi a raggi catodici e gli oscilloscopi sono basati su queste proprietà
L’esperienza di Millikan (1910 – 1913) quantizzazione della carica
• Il campo elettrico può essere applicato e tolto
• Le gocce di olio si caricano per strofinio Analisi teorica
Gocce di massa m e raggio r
In assenza di campo le gocce scendono in caduta libera secondo l’equazione
rv mg
ma = − 6 πη
In cui il secondo termine rappresenta l’attrito viscoso
Quando a = 0, la velocità diviene costante (velocità limite) v1* (verso il basso) (si trascura la spinta di Archimede)
3 3
2
*
1 4
3 9
2
6 r
m V
m 3 r
V 4 g
r r
v mg
ρ π η π
ρ
πη = = = =
=
Applico il campo elettrico E (verso l’alto) e la goccia ha carica q > 0
rv qE
mg
ma = − + − 6 πη
La goccia sale e la sua velocità limite v2* vale
r mg v qE
πη 6
* 2
= −
Combinando i valori delle due velocità limite si ottiene il valore della carica q
( )
E
v v
q r
* 2
*
6
1+
= πη
Misuro v1* ⇒ r Misuro v2* ⇒ q
Analisi sperimentale
Sperimentalmente si trova che v1* è costante per tutte le gocce, mentre v2* dipende dalla carica delle gocce (le particelle possono cambiare carica a causa dell’interazione con le particelle dell’aria ionizzate dai raggi cosmici). Se c’è un cambio di carica Δq, si registrerà un cambio di velocità Δv2*
0 o
essere può
q E v
q = r Δ Δ > <
Δ 6
πη
2*Ripetendo l’esperimento per più gocce si verifica che Δq = ne
elementare carica
C
e = 1 . 6021 ⋅ 10
−19Si ottiene così che la carica è quantizzata e che ogni carica è associata ad un oggetto dotato di massa
Il potenziale elettrico e l’energia potenziale
Forza elettrica è centrale ⇒ conservativa ⇒ energia potenziale
Elettrica Definiamo il potenziale elettrico in un punto come l’energia potenziale posseduta da una carica unitaria posta in quel punto
[ ]
= = −2 −1=
= U qV V volt V m kgs C q
V U 2
Il potenziale è una caratteristica del campo e non della carica
Il potenziale, come U, è definito a meno di una costante arbitraria:
poniamo V = 0 per r = ∞
A
B
VA
VB E
ES ds
q si muove da A verso B lungo la curva e attraversa una regione in cui c’è campo elettrico E
( )
( )
U V
q
V q V
V q W
W U
U U
V V
q U
U
A B
B A
B A B
A
B A
B A
Δ
= Δ
Δ
−
=
−
−
=
= Δ
−
=
−
−
=
−
→
→ lavorofatto sulla carica
Pertanto troviamo
(
A B)
B
A
q V V
W
→= −
differenza di potenziale elettricoB A
B
A
B
A B
A B
A
V V
r d E
r d E q r
d F W
−
=
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
∫
∫
→
r r
r r r r
Lungo un percorso chiuso, dato che il campo è conservativo, abbiamo
= 0
∫
Er ⋅drrIn generale, lungo un percorso qualunque se ES è la componente del campo lungo il percorso, si ha
( ) ∫
∫ = − = − − = −B
A A
B B
A
B A
Sds V V V V dV
E
Se A e B sono molto vicini possiamo scrivere
Possiamo anche definire il potenziale come il lavoro fatto dal campo elettrico per portare la carica di prova dall’infinito al punto in cui si misura V, V = (-W∞/q)
z E V
y E V
x E V
s E V
dV
ds E
z y
x
S S
∂
− ∂
∂ =
−∂
∂ =
−∂
=
∂
− ∂
=
−
=
Quindi
V grad Er = −
In questo modo posso calcolare V noto E e viceversa
Ad esempio consideriamo un campo elettrico uniforme (E = costante) con unica componente lungo l’asse delle x
-Ex V
0 x per 0 V dV Edx
dV Edx
x x
=
=
=
−
=
−
=
∫ ∫
0 0
Notiamo che in questo caso il potenziale cresce nella direzione in cui il campo elettrico decresce, ovvero che la direzione del campo elettrico è quella in cui V decresce
Se mi sposto da x1 ad x2 ho
( ) ( )
[ ]
1 12 1 1
2
1 2 1
2 1
2
2 2
1 1
E
d
−
− =
− =
− =
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
NC d Vm
V V d
V E V
x x
x x
E V
V
Ex V
Ex
V Notiamo che
•se V1-V2 > 0 ⇒ E va da x1 a x2
•se V1-V2 < 0 ⇒ E va da x2 a x1 Consideriamo ora una carica puntiforme q sorgente del campo E
carica della
seconda a
0 o V r
4 V q
r per 0 V r dV
dr q
dr dV r
q r E V
0
V
<
>
=
∞
=
=
−
=
−
=
∂
−∂
=
∫
∞
∫
1 4
4
0
0 2 0
2 0
πε πε πε
q > 0
Il potenziale V è additivo, pertanto se ho più cariche, ottengo
∑
== +
+ +
= n
i i
i n
n
r q r
q r
q r
V q
0 1 0
2 0 2 1
0 1
4 1 ... 4
4
4πε πε πε πε
Le superfici per cui è V = costante sono superfici equipotenziali, E è sempre ⊥ ai punti di una superficie equipotenziale (il lavoro per
muoversi su una superficie equipotenziale è nullo)
Se E è uniforme, allora V = costante ⇒ x = costante ⇒ superfici equipotenziali sono dei piani
Se E è generato da una carica puntiforme ⇒ superfici equipotenziali sono delle sfere
Consideriamo il caso del filo di lunghezza infinita ed uniformemente carico con distribuzione lineare di carica λ
∫
∫
=−
=
−
=
=
=
r dV dr
r dr
E dV
V grad -
E r u
E r
0 0 0
2
1 2
2
πε λ
πε λ πε
λ r r r
0 V(1) 1
r per 0
C se C r
V = − ln + = = ⇒ =
2πε0 λ
Consideriamo ora l’energia totale di una particella di massa m e carica q in una zona in cui è presente un campo elettrico E
qV mv
U E
ETOT = K + = 2 + 2
1
Dato che non ci sono forze dissipative, quando la particella si muove dalla posizione 1 alla 2 abbiamo, per il principio di conservazione dell’energia
( )
( 1 2)
2 1 2
2
2 1 2
1 2 1 2
2 2
1
2 2
2 1
2 1
2 1 2
1
2 1 2
1 2 1 2
1
) 2 ( )
1 (
12
V V q mv
mv
V V q W
mv mv
W E
qV mv
qV mv
E E
K
TOT TOT
−
=
−
−
=
−
=
= Δ
+
= +
=
→
→
Volt = variazione di potenziale elettrico che una carica di 1 C deve effettuare per aumentare la propria energia di 1 J
q > 0 EK aumenta spostandosi verso V inferiori q < 0 EK aumenta spostandosi verso V superiori
Se v1 = 0 e in 2 è V2 = 0
tici elettrosta ri
accelerato gli
basano si
cui su principio qV
mv22 = 1 ⇒ 2
1
1 eV = (1.6 · 10-19 C ) (1 V) = 1.6·10-19 J
Ee = me c2 = 8.1867 ·10-14 J = 0.511 MeV Ep = mp c2 = 1.5032 ·10-10 J = 938.26 MeV En = mn c2 = 1.5053 ·10-10 J = 939.55 MeV
Note sull’energia potenziale
Analizziamo ora l’energia potenziale associata ad un sistema di più cariche. Fino a qui abbiamo parlato di U solo per una carica q che si trova in un campo elettrico E generato da altre cariche, ora ci chiediamo invece qual è l’energia potenziale del sistema di cariche che genera il campo.
Costruiamo il nostro sistema di cariche, prendendo ciascuna carica e portandola dall’infinito alla sua posizione finale, (le cariche sono in quiete sia all’infinito che nella posizione finale f)
( U f U ) W
f
U = − −
∞=
∞→Δ
−
Il sistema più semplice è quello costituito da due cariche q1 e q2. Prendiamo la carica q1 e la portiamo dall’infinito alla sua posizione finale f1 , per fare questo non variamo alcuna energia potenziale in quanto non abbiamo ancora un campo elettrico e quindi non facciamo lavoro
Prendiamo ora la carica q2 che si trova in quiete all’infinito e la portiamo alla posizione finale f2 situata ad una distanza r da q1 . Abbiamo bisogno di applicare una forza F = -q2 E che compia il lavoro L necessario a
costruire il sistema, al termine del processo il sistema ha ricevuto energia (il lavoro fatto) e l’ha immagazzinata sotto forma di energia potenziale
V r q
q
U q1 2 2
4 0
1 =
= πε Esempio
Vogliamo determinare l’energia potenziale
elettrostatica del sistema di cariche rappresentato in figura
d = 12 cm, q1 = +q, q2 = -4q, q3 = +2q, q = 150 nC
Sappiamo già che per posizionare la carica q1 non dobbiamo compiere alcun lavoro, quindi portiamo la carica q2 a distanza d da q1
d q U q
W
1 20 12
12
4
1
= πε
=
Prendiamo ora q3 e la portiamo a distanza d sia da q1 che da q2, per fare ciò dobbiamo compiere due lavori in quanto abbiamo due campi, quello generato da q1 e quello generato da q2 , pertanto
d q q d
q U q
U W
W
W
2 30 3
1
0 23
13 23
13
4
1 4
1
πε
πε +
= +
= +
=
L’energia potenziale elettrostatica del sistema così costruito sarà la
somma delle energie elettrostatiche accumulate nel sistema durante la sua costruzione
d q q d
q q d
q U q
U U
U
2 30 3
1 0 2
1 0 23
13
12
4
1 4
1 4
1
πε πε
πε + +
= +
+
=
∑
<=
j
i ij
j i
r q U q
4 0
1 πε
d mJ
U q 17
4 10
0
2 = −
= πε
L’energia potenziale elettrostatica negativa indica che il sistema si rompe solo se dall’esterno gli si fornisce un’energia pari a 17 mJ, si dice anche che il sistema è legato
L’energia potenziale elettrostatica così calcolata non dipende dall’ordine con cui vengono considerate le cariche, ma solo dalle interazioni fra le coppie di cariche, interazioni che vanno considerate una volta sola per coppia.
L’energia potenziale elettrostatica appartiene al sistema di cariche
Il dipolo elettrico
Vogliamo calcolare il campo in P creato dalle cariche +q e –q uguali in modulo.
Esso sarà la somma di E+ ed E-, entrambi in direzione z
2 0
2 0
2 0 2
0
4 2 4 2
4 1 4
1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
=
−
= +
=
− +
− +
z d q z d
q
r q r
E q E
E
πε πε
πε πε
2 1
1 2 1 2
4
2 2
2 0
<<
⇒
>>
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
−
−
z d d
z
z d z
d z
E q
πε
Facciamo ora uno sviluppo binomiale
( )
( )
1! ...2 1 2 1 2
! ...
1 2 1 2 1 2
2 2
+
−
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
+ +
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
−
−
z d z
d
z d z
d Otteniamo così
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
= ...
2 1 2 2 ...
1 2
4 0 2 z
d z
d z
E q
πε
Notiamo che i termini successivi al primo sono potenze successive di (d/z) << 1 ⇒ possiamo trascurarli
3 0 3
0 2
0 2
1 2
1 2
4 z
p z
qd z
d z
Edipolo q
πε πε
πε = =
=
Definiamo momento di dipolo la seguente quantità d
q
pr = r orientato dalla carica – a quella + In generale il campo elettrico del dipolo varia come 1/r3, dove r è la
distanza dal centro del dipolo. Il campo del dipolo è più debole di quello di una singola carica. Per punti sull’asse del dipolo E e p sono paralleli
Dipolo in un campo elettrico esterno
Molecola di acqua in un campo elettrico
uniforme esterno E. La molecola di acqua è un dipolo perché le sue cariche +q e
-q sono posizionate rigidamente
Quello che avviene è che i vettori E e p
non sono paralleli, ma formano un angolo θ
Dal punto di vista dinamico abbiamo che su q e su –q agisce la forza elettrica dovuta al campo E
q
q
F
F e E q
F r = r r
+= − r
−Globalmente abbiamo
CM al
attorno ruota
dipolo il
fermo
resta
0
0
ris
CM Fris
⇓
⇓
≠
= τr
r
( )
θ θ
τ
θ θ
θ τ
τ τ
τ τ
sin sin
sin 2 sin
2 sin 2
2
2 1
2 1
pE qEd
dF d F
d F d F d F
ris
ris
−
=
−
=
−
=
−
−
=
= +
−
×
=
×
= r r
r r r r
E
ris
p
r r r = × τ
Il dipolo risente di un momento torcente che tende ad allinearlo ad E
Energia potenziale di un dipolo elettrico
L’energia potenziale del dipolo risulta minima quando p║E Arbitrariamente scegliamo U = 0 per θ = 90o
( ) ( )
θ
θ θ θ
τ θ
θ τ
θ θ
cos
sin 90
90 90
pE U
d pE
d W
U U
U
d W
U W
−
= Δ
=
−
=
−
=
°
−
= Δ
= Δ
−
=
∫
∫
∫
°
°
arbitraria costante
della meno
a E
p U = − r ⋅ r
U minima p ║E (θ = 0) U(0) = -pE U massima p ║-E (θ = 180o) U(180o) = pE In generale si ha