Dossier tecnico n° 9

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Dossier tecnico n° 9

Determinazione della

sovratemperatura in apparecchi

sottoposti a sovracorrenti cicliche

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Redatto a cura della Attività Bassa Tensione

Dopo aver ricordato l'equazione di equilibrio termico di un conduttore percorso da corrente, e la definizione della costante di tempo termico, l'autore applica questa equazione al caso più generale di un regime ciclico di riscaldamento.

La relazione ottenuta coinvolge i due parametri legati all'apparecchio considerato: corrente nominale e costante termica. Essa relaziona le quattro variabili: durata del riscaldamento e del raffreddamento, sovracorrente applicata durante il riscaldamento e corrente mantenuta durante il raffreddamento.

La rappresentazione di questa relazione in forma di abachi permette di ricavare con una semplice lettura una qualunque delle variabili in funzione delle altre tre; le caratteristiche termiche dell'apparecchio: corrente nominale e costante termica devono essere state determinate con una prova preliminare.

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Questa pubblicazione fa parte della collana "Dossier tecnici" coordinata dai Servizi Tecnici Centrali di Nuova Magrini Galileo.

I Dossier Tecnici rappresentano un agile strumento di lavoro frutto del patrimonio di esperienze e competenze aziendali.

La collezione ha lo scopo di fornire informazioni più approfondite ed essere un valido strumento di riferimento nei campi specifici delle apparecchiature elettromeccaniche, dell'elettronica industriale, del trasporto e della distribuzione dell'energia elettrica.

1. Introduzione 2

2. Equazione di equilibrio termico

di un conduttore 2

Il riscaldamento 2

Il raffreddamento 2

Equazione di equilibrio termico 3 3. Costante di tempo termica 3

4. Sovracorrenti a partire

dallo stato freddo 4

5. Formula generale

per le sovracorrenti cicliche 4 6. Rappresentazione degli abachi 5

7. Utilizzazione degli abachi 5

A regime 5

Riscaldamento adiabatico 5

Sovracorrenti cicliche 6

Sovracorrenti occasionali 6

Correnti variabili 7

8. Cicli di sovracorrenti e di

raffreddamento di breve durata 7

9. Riassunto del metodo 7

Prova di riscaldamento 7

Interpretazione dei risultati 7

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2 MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n° 9

Determinazione della sovratemperatura in apparecchi sottoposti a sovracorrenti cicliche

1. Introduzione

Le apparecchiature destinate al trasporto e alla commutazione dell'energia elettrica vengono utilizzate raramente alla propria corrente nominale, quella cioé massima per cui sono state dimensionate.

Questa corrente è determinata indirettamente dal riscaldamento delle parti conduttrici, che non devono superare i valori massimi ammessi dalle norme. La differenza tra la corrente reale di servizio e la corrente massima di utilizzo dà la possibilità di sovraccaricare temporaneamente un apparecchio.

Analogamente si ammette che un materiale allo stato freddo può accettare un sovraccarico iniziale di breve durata molto superiore alla propria corrente nominale.

Altri problemi più complessi di sovraccarichi intermittenti, intervallati da regimi di corrente ridotta o nulla, si pongono per certi dispositvi, quali contattori o installazioni di saldatrici elettriche. Tuttavia la determinazione quantitativa delle sovraccorrenti ammissibili in grandezza durata e ciclo obbliga l'installatore o il costruttore a prove di riscaldamento lunghe e delicate, se non addirittura irrealizzabili in laboratorio.

Inoltre queste prove sono valide solo per il caso particolare scelto, ed è impossibile estrapolarle, né conoscere esattamente l'influenza sui risultati della variazione di uno dei parametri.

Il metodo descritto permette di risolvere rapidamente e con una precisione

corretta tutti questi problemi di riscaldamento e di conoscere l'insieme delle possibilità termiche di un

apparecchio.

L'applicazione simultanea della teoria e della sperimentazione ha i vantaggi di eliminare da una parte tutti i calcoli, essendo questi riassunti sotto forma di abachi universali, e dall'altra le prove complesse, essendo queste ridotte ad una semplice prova a corrente costante.

Il metodo è applicabile a tutti gli apparecchi in cui le perdite Joule sono predominanti: interruttori, sezionatori, contattori, sbarre e cavi; esso è applicabile anche ad apparecchi nei quali le perdite nel ferro sono elevate:

motori, trasformatori, introducono una correzione nell'equazione d equilibrio termico.

2. Equazione di equilibrio termico di un conduttore

2.1 Il riscaldamento

Il calore (l'energia termica) che si sviluppa in un conduttore percorso da corrente ha diverse origini:

■ l'effetto Joule è evidentemente il principale: il riscaldamento provocato dal passaggio di una corrente I per un tempo dt è: a•I²•dt dove a è un fattore comprendente resistenza, peso, calore specifico. La resistenza è supposta costante, anche se sappiamo che cresce sensibilmente all'aumentare della temperatura.

Tuttavia l'errore resta insignificante, poiché nell'utilizzo dell'equazione termica si fa appello

a dati sperimentali per determinare i parametri: corrente nominale e costante di tempo; c'é anche compensazione parziale dell'errore teorico. Il calore specifico è supposto costante nel dominio ristretto delle temperature considerate;

■ le perdite per correnti di Foucault, nella massa del conduttore, causano un riscaldamento nella forma: b•I²•dt.

Il coefficiente b è funzione della frequenza, della permeabilità, del volume, delle dimensioni geometriche.

Queste perdite supplementari si confondono con l'effetto pelle che, in corrente alternata, causa un

aumento della densità di corrente alla periferia del conduttore a scapito della densità al centro. La conseguenza dal punto di vista termico è il maggior sviluppo di calore sulla periferia, lo smaltimento del calore è facilitato;

■ forti perdite per isteresi appaiono nelle parti magnetiche, siano esse percorse da correnti o vicine ai conduttori, quando la corrente supera i 1500-2000 A. Queste perdite sono proporzionali a B^1,6 secondo la formula di Steinmez. Possiamo perciò dire che il riscaldamento causato da queste perdite è: c•I²•dt commettendo un leggero errore per eccesso;

■ la vicinanza di componenti più caldi provoca nei conduttori un apporto di calore per convezione, conduzione o irraggiamento; queste calorie, dovute a una delle cause sopra citate, sono proporzionali a I²; di conseguenza il riscaldamento supplementare del conduttore è proporzionale a I²•dt, cioé: dI²•dt;

■ il riscaldamento totale di un conduttore percorso da una corrente I per un tempo dt è:

(a+b+c+d)•I²•dt=A•I²•dt dove A è una costante propria del conduttore considerato e ingloba tutte le costanti elencate.

2.2 Il raffreddamento

La trasmissione del calore all'ambiente circostante avviene nei 3 modi classici:

conduzione, convezione,

irraggiamento. Possiamo dire, con una certa approssimazione, che la

dissipazione del calore è proporzionale alla differenza tra la temperatura del conduttore e l'ambiente, quindi alla sovratemperatura θ, cioé: λ^•θ^•dt.

Il coefficiente λ di dissipazione termica è funzione delle caratteristiche fisiche e geometriche del conduttore e del suo ambiente. L'espressione precedente è valida per la dissipazione per conduzione, così come per la

convezione, sebbene talvolta si applichi l'esponente 1,23 a θ (legge di Dulong e Petit); tuttavia l'errore è trascurabile.

Analogamente la dissipazione per irraggiamento può essere considerata proporzionale a θ malgrado la legge di Stéfan. Essa fornisce la quantità di calore Q scambiata tra un conduttore a temperatura (assoluta) T1 e il suo ambiente a temperatura T2:

Q=K•(T₁-T₂) essa può essere scritta:

Q=K•(T1+T2)•(T1+T2)•(T1-T2) o ancora:

Q≈K'•(T₁-T₂) considerando che le temperature sono in valore assoluto e che K' è assimilabile a una costante.

Questa linearizzazione della legge di Stéfan non introduce grossi errori se la differenza T1-T2 resta inferiore a 80°.

4 2 2 4

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MERLIN GERIN - Dossier Tecnico n° 9 3

temperatura dovuta al raffreddamento naturale.

Essa rappresenta un'equazione differenziale lineare del primo ordine, sotto la forma:

d

dtθ λ θ+ ⋅ = ⋅A I² (2) Integrando si ottiene θ=f(t), con le costanti di integrazione a e b:

θ=a•e^-^λ^t+b (3) Determiniamo fisicamente queste costanti. Quando t tende verso l'infinito θ tende verso un limite θm, quindi b=θm. La relazione (2) diventa: λ^•θm=A•I²

θ^m λ

= ⋅A I² (4)

Per t=0 la sovratemperatura iniziale è θ0, da cui: θ0=a+θm, a=θ0-θm

La relazione (3) si scrive allora:

θ=(θ0-θm)•e^-^λ^t+θm (5) Noi la utilizziamo nella forma, identica:

λ 40

θ θ= ⋅ −







− m

t

e T

1 θ

θ₀ 0,63

θ_m

O T t

θ_m

3. Costante di tempo termica

riscaldamento, secondo la definizione precedente (fig. 1).

È possibile verificare il valore T tracciando la curva di raffreddamento del conduttore (fig. 2) a partire dal momento dell'interruzione della corrente, effettuata quando la sovratemperatura ha raggiunto a regime il valore θm.

Infatti la relazione (6) si scrive per una sovratemperatura iniziale θm e una sovratemperatura finale nulla:

(θ0=0) θ-θm=θm•(1-e^-^λ^t) cioé θ=θme^-^λ^t Dopo un tempo t=1=T

λ il valore θ diventa: θ=θm•e^-1=0,37•θm

Otteniamo così una seconda definizione della costante T:

Durante il raffreddamento la costante termica T è il tempo necessario perché la

sovratemperatura iniziale θθθθθm del conduttore diminuisca fino a 0,37 volte θθθθθm.

A causa delle diverse approssimazioni fatte per stabilire l'equazione termica, il valore di T misurato al raffreddamento è talvolta un po' maggiore che al riscaldamento.

Ad esempio, gli interruttori con corrente nominale compresa tra 50 e 2000 A, hanno una costante di tempo termica T che varia da 10' a 80' rispettivamente.

Se l'apparecchio racchiude poche parti magnetiche, i valori determinati in corrente continua sono generalmente poco diversi dai valori in corrente alternata; per contro la

sovratemperatura a regime θm è sempre superiore in alternata, a causa dell'effetto pelle.

Quando, nel corso della stessa prova, sono state determinate le costanti termiche dei principali componenti, interviene una indeterminazione nella scelta della costante media da adottare per l'insieme dell'apparecchio.

La relazione (6) contiene 3 parametri:

θ0, θm e λ. Le sovratemperature θ0 e θm

si possono determinare durante una prova. Noi esamineremo come determinare il coefficiente λ durante la stessa prova.

Per semplificare poniamo nullo θ0, la relazione (6) allora si scrive:

θ=θm(1-e^-^λ^t) (7) dopo un tempo t=T il valore di θ è:

θ=θm(1-e^-1)=0,63•θm

La legge di variazione θ=f(t) può quindi essere scritta ponendo

T=1

λ: _{θ θ}₌ _{⋅ −}^







− m

t

e T

1 (8)

Il parametro T, chiamato costante di tempo termica, è così il tempo necessario perché il riscaldamento del conduttore raggiunga 0,63 volte la sovratemperatura a regime θθθθθm

ottenuta dopo un tempo infinito.

La costante T si esprime in minuti, e viene determinata graficamente sul tracciato della curva di

ø

fig.1: curva di riscaldamento

(5)

A priori bisognerebbe prendere la costante più bassa, corrispondente al componenente che si riscalda più rapidamente.

Tuttavia è evidente che questo componente di costante T per la corrente nominale Im raggiunge una sovratemperatura a regime θ1 inferiore al limite massimo θm ammissibile.

Determiniamo una costante T' apparente che permetterebbe al componente di raggiungere la sovratemperatura θm con la stessa corrente Im.

Abbiamo visto (4) che θ¹ λ

2 2

=A⋅ = ⋅ ⋅ I_m A T I_m

La sovratemperatura a regime θm si otterrà con una corrente KI_m tale che:

θm=A•T•(K•I_m)²=A•T'•I_m² ponendo T'=K²•T

Il rapporto ^θ θ^m1

è:

θ θ

m T m

T quindi T T

1 1

= ^' ^'= ⋅ (10)

Noi attribuiremo a ciascun componente una costante

apparente: la più piccola di queste costanti T', calcolata per ciascuno dei componenti, è la costante termica media dell'apparecchio.

Procedendo in questo modo siamo certi che nessuno dei componenti supererà la sua massima sovratemperatura, durante una sovracorrente, ma che almeno uno raggiungerà questo valore.

θ θ= m⋅ ⁻

t

eT

θ

0,37 θ_m

O T t

θ_m

θ₀ fig.2: curva di raffreddamento

4. Sovracorrenti a partire dallo stato freddo

Nel caso particolare di una sovracorrente applicata a freddo la relazione (8) si scrive:

θ=λ⋅ ⋅ −







A −

I_m e

t

2 1 T (11)

Im è la corrente nominale

dell'apparecchio, corrente per la quale la sovratemperatura si stabilizza al valore:

θ^m λ ^m A I

= ⋅²

Determiniamo il tempo ts durante il quale possiamo applicare una sovracorrente K•Im per arrivare a un riscaldamento θm:

θ^m λ ^m

t A T

K I e

s

= ⋅ ⋅ ⋅ −









 2 2 1 −

Eguagliando le due espressioni di θm si ottiene:

1 1

2 1

2

K e dove t T K2

K

ts T

= − s= ⋅

−









− (12)

Possiamo così calcolare ts conoscendo T e K; tuttavia è più semplice, come vedremo, utilizzare gli abachi tracciati per il caso generale.

5. Formula generale per le sovracorrenti cicliche

Il valore di sovracorrente che un apparecchio può sopportare per un tempo dato è funzione da una parte della sovratemperatura iniziale, dall'altra dai periodi di raffreddamento che trascorrono tra 2 sovracorrenti consecutive.

Consideriamo un apparecchio di corrente nominale Im e di costante termica media T. Esso è attraversato periodicamente da una sovracorrente I_s per un tempo t_s; tra ciascuna

sovracorrente trascorre un tempo di

raffreddamento tr durante il quale la corrente permanente è Ip<Im. La figura 3 rappresenta il diagramma teorico della sovratemperatura in funzione dei tempi.

I valori θm, θp e θs sono le sovratemperature a regime corrispondenti al passaggio delle correnti Im, Ip e Is.

La sovratemperatura istantanea θ=f(t) è rappresentata da porzioni di curve esponenziali ed oscilla tra il valore θm

raggiunto al termine della sovracorrente

e un valore intermedio θi>θp, poiché sarebbe necessario un tempo teoricamente infinito perchè θi=θp. Supponiamo che nell'istante t=0 il regime ciclico si stabilisca dopo un transistorio trascurabile.

La relazione generale (6) applicata all'intervallo di tempi compreso tra 0 e ts fornisce il valore di ts:

θm θi θs θi

ts

e T

− =( − )^{⋅ −}^

 



1 − (13)

ø

(6)

θs, θp e θm sono proporzionali al quadrato delle rispettive correnti, possiamo scrivere ponendo:

K I

I e K I

I

K K e K K e

p p

m s s

m

s s

t

T p p

t T

s r

= =

+ −( )^⋅ ⁼ ^{+ −}( )^⋅ ⁻

2 1 2 2 1 2 (16)

Questa formula generale permette il calcolo di una delle 4 variabili I_s, I_p, t_s, t_r in funzione delle altre tre.

θp

O t_s t_s+t_r 2t_s+t_r 2(t_s+t_r) t

6. Rappresentazione degli abachi

La complessità dei calcoli che questa introduce ci ha portati a risolverla graficamente sotto forma di abachi.

Sottolineiamo la forma simmetrica dei due membri dell'uguaglianza (16);

nel primo interviene il fattore di sovraccarico K_s e i tempi di sovraccarico t_s; nel secondo il fattore di carico K_p e i tempi di raffreddamento tr.

Uguagliamo ciascuno dei 2 membri a una variabile intermedia X:

K_s K_s e X K K e

t

T p p

t T

s r

2+ −( )1 2 ^⋅ ⁼ ⁼ 2^{+ −}( )1 2 ^⋅ ⁻

La relazione (16) sarà verificata quando ogni volta per lo stesso valore di X avremo:

t

T f X e t

T X

r = ( ) s ⁼^ϕ( )

Di conseguenza nel grafico superiore abbiamo tracciato l'insieme delle curve di raffreddamento:

t

T^r =f X( )^,^t_T^r ⁼è sulle ordinate, X è sulle ascisse, ciascuna curva è tracciata per un valore dato del parametro Kp.

Allo stesso modo l'insieme delle curve di sovracorrente tracciate nel grafico inferiore rappresenta:

t

T X con t

T

s =^ϕ( )^, s sulle ordinate, X sulle ascisse, ciascuna curva è tracciata per un valore dato del parametro K_s.

In ascisse non abbiamo indicato il valore della variabile intermedia X, che non ha alcun interesse pratico.

Tuttavia è sembrato utile portare sull'asse delle ascisse delle curve di raffreddamento i valori limite di K_p; questi sono le ascisse dei punti delle curve Kp quando ^t

T

r tende all'infinito.

Gli abachi così tracciati sono validi per tutti i materiali; per adattarli a un dato apparecchio di cui sia stata determinata la corrente nominale e la costante termica, è sufficiente sostituire la scala delle ordinate con i tempi, e i rapporti K_p, K_s con le correnti in ampére.

7. Utilizzazione degli abachi

7.1 A regime

Si constata sulle curve di

raffreddamento che il regime interviene per valori di ^t

T superiori a 5; d'altra parte le curve non sono state tracciate oltre.

Perciò, quando una corrente in un apparecchio non ha subito variazioni per un tempo uguale a 5 volte la costante termica, il fenomeno del riscaldamento può essere considerato a regime.

7.2 Riscaldamento adiabatico

Sulle curve di raffreddamento si constata anche che gli scambi di temperatura con l'esterno sono praticamente nulli quando ^t

T è inferiore a 0,01.

Pertanto, quando la sovracorrente applicata ad un apparecchio non dura più di 0,01 volte la costante termica, possiamo trascurare la dissipazione di calore.

Questo permette, in particolare, di verificare la tenuta termica di un interruttore, sottoposto alla massima corrente che può interrompere, durante l'eliminazione di questo cortocircuito.

Sia dato, ad esempio, un apparecchio di cui si sa, attraverso la lettura degli abachi, che ammette una sovracorrente Is per un tempo di t sec.; se ne deduce che può sopportare (solo dal punto di vista termico) per un tempo di 0,02 sec.

un sovraccarico: I I t

cc= ⋅s

0 02. fig.3: regime ciclico

ø

,

(7)

7.3 Sovracorrenti cicliche

Ricordiamo che un regime di sovracorrenti cicliche è determinato dai tempi della sovracorrente ts, dai tempi di raffreddamento tr, dal valore della sovracorrente Is

e dalla corrente permanente Ip

mantenuta tra le sovracorrenti.

Conoscendo tre di questi fattori si determina il quarto sugli abachi.

Accanto a questi un piccolo schema di lettura indica la procedura da seguire per calcolare ad esempio i tempi di raffreddamento.

Esempio: un apparecchio di corrente nominale Im=200 A, di costante termica T=20 min., è percorso in permanenza da una corrente Ip=100 A e sottoposto periodicamente a dei sovraccarichi Is=400 A per la durata di un minuto.

Al fine di determinare la frequenza massima di questi sovraccarichi calcoliamo i tempi di raffreddamento necessari.

Abbiamo:

t

T K I

I K I

I

s

s s m

p p m

=0 05. = =2 = =0 5. Sulle curve di sovracorrente prendiamo il punto di intersezione tra l'orizzontale di ordinata 0,05 e la curva K_s=2;

la verticale elevata a partire da questo punto taglia la curva K_p=0,5 in un punto di ordinta ^t

T^r =0 23. perciò t_r=4 6. min.

Le sovracorrenti possono essere applicate con la frequenza di ⁶⁰

4 6 1. + cioé circa 10 all'ora.

7.4 Sovracorrenti occasionali

Ci si preoccupa di sapere se un apparecchio portato allo stato caldo determinato da una corrente permanente Ip può sopportare occasionalmente una sovracorrente Is per un tempo ts.

Questo problema è un caso particolare del precedente; il tempo di

raffreddamento è supposto infinito, poiché sono stati indicati sull'asse delle ascisse delle curve di raffreddamento i valori limite di K I

p I

p m

=

, ,

,

T: costante di tempo termica ts: tempi della sovracorrente tr: tempi di raffreddamento Im: corrente nominale

Is: sovracorrente Ip: corrente permanente

K_s: Im

Is Kp:

Im

Ip

fig.4: curve di raffreddamento

fig.5: curve delle sovvraccorrenti Abachi delle sovracorrenti

(8)

Se le durate ts e tr sono inferiori a 1/100 della costante termica T, gli abachi non sono più utilizzabili, ma la formula generale (16) si semplifica per sviluppo in serie,

e si ottiene: K t

t K

s r

s

= ¹+ ⋅ −(¹ p²)

che si riduce a: I_s²⋅ + ⋅ = ⋅t_s I_p² t_r I_m² (t_s+t_r)

Formula che permette di trovare la corrente "media" Im, supposta costante, che provoca lo stesso riscaldamento della sovracorrente I_s applicata durante t_s, seguita da una corrente I_p

(eventualmente nulla) per il tempo tr.

9. Riassunto del metodo

9.1 Prova di riscaldamento

L'apparecchio in prova deve essere messo in condizioni di normale funzionamento per quanto riguarda:

le connessioni, la ventilazione e, se possibile, la temperatura ambiente.

Un certo numero di sonde termiche sono fissate sui componenti principali dell'apparecchio e connessi ad un registratore in grado di tracciare direttamente, dopo tarature, le curve di riscaldamento corrispondenti a ciascuna sonda.

Pur non essendo indispensabile, è preferibile condurre la prova alla corrente nominale dell'apparecchio.

Quando le temperature sono a regime

viene interrotta la corrente per registrare le curve di raffreddamento.

La prova è terminata quando le temperature decrescenti divengono inferiori a 0,37 volte le temperature stabilizzate iniziali.

9.2 Interpretazione dei risultati

Le costanti di tempo termiche dei diversi componenti sono determinate graficamente sulle curve di

riscaldamento e controllate sulle curve di raffreddamento (vedere fig. 1 e 2).

Quindi si calcola la costante T media dell'apparecchio (10).

Per facilitarne la lettura, gli abachi generali della pagina precedente possono essere trasformati in abachi particolari per un apparecchio:

■ sostituire alle scale relative delle ordinate le scale reali dei tempi, moltiplicando i valori relativi per la costante T;

■ sostituire ai valori relativi indicati su ciascuna curva gli ampére, moltiplicando questi valori per la corrente nominale.

Un abaco "personalizzabile" da parte dell'utilizzatore per i suoi apparecchi è allegato in fondo a questo dossier.

t

T^s=0 22. ; da cui t_s=4 4. min Se la sovracorrente è applicata a freddo: I_p=0, K_p=0, prendiamo

l'intersezione tra la verticale limite Kp=0 posta al limite del grafico e la curva Ks=2 diventa:

ad avviamenti frequenti.

Durante il periodo di avviamento, la punta di corrente i_s decresce progressivamente; successivamente il motore in regime normale assorbe la corrente nominale In; infine è fermato fino all'avviamento successivo.

Per essere rigorosi, quando la corrente

, possiamo tuttavia determinare

l'espressione (17) per integrazione grafica.

8. Cicli di sovracorrenti e di raffreddamento di breve durata

,

(9)

Abachi delle sovracorrenti

ts: tempi della sovracorrente - con Is: sovracorrente in ampere tr: tempi di raffreddamento - con Ip: corrente permanente in ampere.

Costante di tempo termica media dell'apparecchio: T= minuti.

tr

ts

t_s tr

Ip

Is

Raffreddamento

Sovracorrente

Curve di raffreddamento per Ip = 0

Curve di sovracorrente per Is =

(10)