3 − 3i) non appartengono a al primo quadrante del piano complesso

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica A/L

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 4 marzo 2017 – A

(1) Le soluzioni complesse dell’equazione z ⁴ = ( √

3i − 1) · ( √

3 − 3i) non appartengono a al primo quadrante del piano complesso

c all’asse reale del piano complesso

b al quarto quadrante del piano complesso d nessuna delle precedenti

(2) La successione a n = n ^αn · sin _n ¹

(3n)! risulta convergente a per ogni α ∈ IR

c solo per α < 3

b solo per α ≥ 2

d nessuna delle precedenti

(3) La funzione g _α (x) = x log(1 + x) − x ^α √

1 − x per x → 0 ⁺ ha ordine di infinitesimo a 1 per ogni α > 0

c 2 per ogni α > 3

b minore di 2 per qualche α > 2 d nessuna delle precedenti (4) La funzione f _α (x) = x| log x − 1| + α(x − 2) per ogni α > 0

a ammette asintoto

c non ammette massimo relativo

b ammette minimo relativo d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale Z 1

−1

|x ² + x|e ^−x dx vale

a ² _e − e + 1 c e − ⁷ _e

b 6 − e − ⁷ _e

d nessuna delle precedenti

(6) L’integrale improprio Z 1

0

√ x arctan x

√ 1 + αx ² − e ^−x

dx converge a per nessun α ∈ IR

c solo se α 6= −2

b per ogni α ∈ IR

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta ` e c . Abbiamo infatti che ( √

3i − 1) · ( √

3 − 3i) = 2 √

3 + 6i = 4 √ 3( ¹ ₂ +

√ 3

2 i) = 4 √

3 cos ^π ₃ + i sin ^π ₃
oppure, in alternativa, osservato che

√

3i − 1 = 2 cos ^2π ₃ + i sin ^2π ₃

e √

3 − 3i = 2 √

3 cos − ^π ₃ + i sin − ^π ₃
otteniamo che

( √

3i − 1) · ( √

3 − 3i) = 4 √

3 cos ^2π ₃ − ^π ₃
+ i sin ^2π ₃ − ^π ₃

= 4 √

3 cos ^π ₃ + i sin ^π ₃
. Le soluzioni dell’equazione z ⁴ = ( √

3i − 1) · ( √

3 − 3i) saranno quindi le quattro radici quarte di w = 4 √

3 cos ^π ₃ + i sin ^π ₃
. Tali soluzioni sono date da z _k = p

4 √

3  cos

π 3

+2kπ

4 + i sin

π 3

+2kπ

4



= p

4 √

3 cos ^π+6kπ ₁₂ + i sin ^π+6kπ ₁₂
, k = 0; 1; 2; 3 e dunque:

z ₀ =

q

4 √

3 cos ₁₂ ^π + i sin ₁₂ ^π
, z ₁ =

q

4 √

3 cos ^7π ₁₂ + i sin ^7π ₁₂
, z ₂ =

q 4 √

3 cos ^13π ₁₂ + i sin ^13π ₁₂
, z ₃ =

q

4 √

3 cos ^19π ₁₂ + i sin ^19π ₁₂
. Ne segue che z ₀ cade nel primo quadrante, z ₁ nel secondo, z ₂ nel terzo e z ₃ nel quarto.

(2) La risposta esatta ` e d . Infatti, posto a _n = ⁿ

αn

·sin

n2

(3n)! , per n → +∞ abbiamo a _n+1

a _n = (n + 1) ^αn+α sin _(n+1) ¹

(3n + 3)! · (3n)!

n ^αn sin _n ¹

∼  n + 1 n

 αn

· n ²

(n + 1) ² · (n + 1) ^α

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) ∼ e ^α n ^α 27n ³ →



 

 

+∞ se α > 3

e

27 se α = 3

0 se α < 3

(3) La risposta corretta ` e la c . Infatti per x → 0 risulta g _α (x) = x log(1 + x) − x ^α √

1 − x = x(x − ^x ₂

+ o(x ² )) − x ^α (1 − ^x ₃ + ^x ₉

+ o(x ² ))

= x ² − ^x ₂

+ o(x ³ ) − x ^α + ^x

₃ − ^x

₉ + o(x ^α+2 ) e quindi che

g _α (x) =



 

 

−x ^α + o(x ^α ) se α < 2

− ^x ₆

+ o(x ³ ) se α = 2 x ² + o(x ² ) se α > 2

La funzione ha pertanto ordine di infinitesimo α se α < 2, 3 se α = 2 e 2 se α > 2.

(4) La risposta corretta ` e la d . Osserviamo innanzitutto che la funzione f α (x) = x| log x−1|+α(x−2) per ogni α > 0 ` e definita e continua in tutto (0, +∞) e che, dalla gerarchia degli infiniti, risulta

x→+∞ lim f _α (x) = lim

x→+∞ x(log x − 1) + α(x − 2) = lim

x→+∞ x(log x − 1 − α) − 2α = +∞

mentre

lim

x→0

f _α (x) = lim

x→0

x(1 − log x) + α(x − 2) = −2α.

Quindi la funzione non ammette asintoti verticali e orizzontali. Poich´ e

x→+∞ lim f _α (x)

x = lim

x→+∞

x(log x − 1) + α(x − 2)

x = lim

x→+∞ log x − 1 + α − 2

x = +∞

la funzione non ammette nemmeno asintoti obliqui e dunque a ` e falsa. La funzione ` e derivabile in tutto il suo dominio eccetto che in x = e con

f _α ⁰ (x) =

( log x + α se x > e

− log x + α se 0 < x < e Non risulta invece derivabile in x = e dato che f _α,± ⁰ (x) = lim

x→e

f _α ⁰ (x) = ±1 + α. Ne segue che f _α ⁰ (x) > 0 per ogni x > e, mentre per 0 < x < e si ha che

• f _α ⁰ (x) ≥ 0 per ogni 0 < x < e se α ≥ 1,

• f _α ⁰ (x) > 0 per ogni 0 < x < e ^α e f _α ⁰ (x) < 0 per ogni e ^α < x < e, se α < 1.

Ne segue che

• se α ≥ 1 allora f _α (x) ` e strettamente crescente in (0, +∞);

• se 0 < α < 1 allora f α (x) ` e strettamente crescente in (0, e ^α ] e in [e, +∞), strettamente decres-

cente in [e ^α , e] e x = e ^α risulta punto di massimo relativo con f _α (e ^α ) = e ^α |α − 1| + α(e ^α − 2) =

e ^α − 2 mentre x = e risulta punto di minimo relativo con f _α (e) = α(e − 2).

Possiamo quindi concludere che sia b che c sono false.

(5) La risposta corretta ` e b . Infatti, osserviamo innazitutto che, essendo

|x ² + x| = |x(x + 1)| =

( x ² + x se x ≤ −1 oppure x ≥ 0

−(x ² + x) se −1 < x < 0 risulta

Z 1

−1

|x ² + x|e ^−x dx = − Z 0

−1

(x ² + x)e ^−x dx + Z 1

0

(x ² + x)e ^−x dx Integrando per parti otteniamo

Z

(x ² + x)e ^−x dx = −e ^−x (x ² + x) + Z

(2x + 1)e ^−x dx

= −e ^−x (x ² + x) − e ^−x (2x + 1) + 2 Z

e ^−x dx

= −e ^−x (x ² + x) − e ^−x (2x + 1) − 2e ^−x + c

= −e ^−x (x ² + 3x + 3) + c

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che Z 1

−1

|x ² + x|e ^−x dx = − Z 0

−1

(x ² + x)e ^−x dx + Z 1

0

(x ² + x)e ^−x dx

= − −e ^−x (x ² + 3x + 3)  0

−1 + −e ^−x (x ² + 3x + 3)  1 0

= 6 − e − ⁷ _e

(6) La risposta corretta ` e c . Osserviamo innanzitutto che la funzione f α (x) =

√ x arctan x

√

1+αx

−e

risulta continua in (0, 1]. Per x → 0 ⁺ abbiamo che

√ √

mentre

√ 1 + αx ² − e ^−x

= 1 + ^α ₂ x ² − ^α ₈

x ⁴ + o(x ⁴ ) − 

1 − x ² + ^x ₂

+ o(x ⁴ ) 

= ^α ₂ + 1
x ² − 

α

8 + ¹ ₂



x ⁴ + o(x ⁴ )

∼ ( _α

2 + 1
x ² se α 6= −2

−x ⁴ se α = −2

Ne segue che

f _α (x) ∼



 



 



x √ x

(

⁺¹ ) ^x

= √ ¹

x (

⁺¹ ) se α 6= −2

x √ x

−x

= − ^{√ 1}

x

se α = −2

e quindi, dal criterio del confronto asintotico, che l’integrale improprio converge solo per α 6= −2

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica A/L

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 4 marzo 2017 – B

(1) Le soluzioni complesse dell’equazione z ³ = ( √

3 − i) · ( √

3i − 3) non appartengono a al secondo quadrante del piano complesso

c all’asse immaginario del piano complesso

b al quarto quadrante del piano complesso d nessuna delle precedenti

(2) La successione a _n = n ³ⁿ · log 1 + _n ¹

(n!) ^α risulta convergente a per nessun α ∈ IR

c solo per α < 2

b solo per α ≥ 3

d nessuna delle precedenti (3) La funzione g _α (x) = x ² √

1 + 3x − x ^α log(1 + x) per x → 0 ⁺ ha ordine di infinitesimo a 2 per ogni α > 0

c minore di 1 per qualche 0 < α < 2

b 3 per ogni α > 1

d nessuna delle precedenti (4) La funzione f _α (x) = α(x + 3) − x|1 − log x| per ogni α > 0

a ammette asintoto

c non ammette minimo relativo

b ammette massimo assoluto d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale Z 1

−1

|x − x ² |e ^−x dx ` e uguale a

a e − ⁴ _e c e + 3 − ² _e

b 6 + ² _e − e

d nessuna delle precedenti

(6) L’integrale improprio Z 1

0

e ^αx − √ 1 + x

x arctan x dx converge a per ogni α ∈ IR

c solo se α = ¹ ₂

b per nessun α ∈ IR

d nessuna delle precedenti

Soluzione

(1) La risposta esatta ` e c . Abbiamo infatti che ( √

3 − i) · ( √

3i − 3) = 3i − 3 √ 3 + √

3 + 3i = −2 √

3 + 6i = 4 √

3(− ¹ ₂ +

√ 3

2 i) = 4 √

3 cos ^2π ₃ + i sin ^2π ₃
o in alternativa, osservato che

√

3 − i = 2 cos − ^π ₆ + i sin − ^π ₆

e √

3i − 3 = 2 √

3 cos ^5π ₆ + i sin ^5π ₆
otteniamo che

( √

3 − i) · ( √

3i − 3) = 4 √

3 cos ^5π ₆ − ^π ₆
+ i sin ^5π ₆ − ^π ₆

= 4 √

3 cos ^2π ₃ + i sin ^2π ₃
. Pertanto le soluzioni dell’equazione z ³ = ( √

3 − i) · ( √

3i − 3) saranno le tre radici terze di w = 4 √

3 cos ^2π ₃ + i sin ^2π ₃
. Tali soluzioni sono quindi date da z _k = p

4 √

3  cos

2π 3

+2kπ

3 + i sin

2π 3

+2kπ

3



= p

4 √

3 cos ^2π+6kπ ₉ + i sin ^2π+6kπ ₉
con k = 0; 1; 2, e dunque sono z ₀ =

q 4 √

3 cos ^2π ₉ + i sin ^2π ₉
, z ₁ =

q

4 √

3 cos ^8π ₉ + i sin ^8π ₉
, z ₂ =

q

4 √

3 cos ^14π ₉ + i sin ^14π ₉
).

Ne segue che z ₀ cade nel primo quadrante, z ₁ nel secondo e z ₂ nel quarto.

(2) La risposta esatta ` e d . Infatti, posto a _n = ⁿ

3n

·log ( ¹⁺

)

(n!)

, per n → +∞ abbiamo a _n+1

a _n =

(n + 1) ³ⁿ⁺³ · log 

1 + _(n+1) ¹



((n + 1)!) ^α · (n!) ^α n ³ⁿ · log 1 + _n ¹

∼  n + 1 n

 3n

· n ²

(n + 1) ² · (n + 1) ³

(n + 1) ^α ∼ e ³ n ³ n ^α →



 

 

0 se α > 3 e ³ se α = 3 +∞ se α < 3

Da criterio del rapporto, essendo e ³ > 1, possiamo concludere che la successione converge a 0 se α > 3

e diverge a +∞ se α ≤ 3.

(3) La risposta corretta ` e la d . Infatti per x → 0 risulta g _α (x) = x ² √

1 + 3x − x ^α log(1 + x) = x ² 1 + ³ ₂ x + o(x)
− x ^α 

x − ^x ₂

+ o(x ² ) 

= x ² + ³ ₂ x ³ + o(x ³ ) − x ^α+1 + ¹ ₂ x ^α+2 + o(x ^α+2 ) e quindi che

g _α (x) =



 

 

x ² + o(x ² ) se α > 1 2x ³ + o(x ³ ) se α = 1

−x ^α+1 + o(x ^α+1 ) se α < 1

La funzione ha pertanto ordine di infinitesimo 2 se α > 1, 3 se α = 1 e α + 1 se α < 1. Dato che α + 1 > 1 per ogni α > 0, possiamo concludere che a , b e c sono false.

(4) La risposta corretta ` e la b . Osserviamo innanzitutto che la funzione

f _α (x) = α(x + 3) − x|1 − log x| =

( α(x + 3) − x(1 − log x) se x ≤ e α(x + 3) − x(log x − 1) se x > e per ogni α > 0 ` e definita e continua in tutto (0, +∞) e che risulta

x→+∞ lim f _α (x) = lim

x→+∞ α(x + 3) − x(log x − 1) = lim

x→+∞ x(α − log x + 1) + 3α = −∞

mentre

lim

x→0

f _α (x) = lim

x→0

α(x + 3) − x(1 − log x) = 3α.

Quindi la funzione non ammette asintoti verticali e orizzontali. Poich´ e

x→+∞ lim f _α (x)

x = lim

x→+∞

α(x + 3) − x(log x − 1)

x = lim

x→+∞ α + 3α

x − log x + 1 = −∞

la funzione non ammette nemmeno asintoti obliqui. La funzione ` e derivabile in tutto il suo dominio eccetto che in x = e con

f _α ⁰ (x) =

( α + log x se 0 < x < e α − log x se x > e Non risulta invece derivabile in x = e dato che f _α,± ⁰ (x) = lim

x→e

f _α ⁰ (x) = α ∓ 1. Ne segue che f _α ⁰ (x) > 0 per ogni e ^−α < x < e e f _α ⁰ (x) < 0 per 0 < x < e ^−α mentre per x > e si ha che

• f _α ⁰ (x) ≤ 0 per ogni x > e se α ≤ 1,

• f _α ⁰ (x) > 0 per ogni e < x < e ^α e f _α ⁰ (x) < 0 per ogni x > e ^α , se α > 1.

Ne segue che

• se 0 < α ≤ 1 allora f _α (x) ` e strettamente crescente in [e ^−α , e], strettamente decrescente in (0, e ^−α ]

−α −α −α −α

• se α > 1 allora f _α (x) ` e strettamente crescente in (e ^−α , e ^α ], strettamente decrescente in (0, e ^−α ] e in (e ^α , +∞), x = e ^−α risulta punto di minimo relativo con f _α (e ^−α ) = α(e ^−α + 3) − e ^−α (1 + α) = 3α − 3 ^−α mentre x = e ^α risulta punto di massimo relativo con f _α (e ^α ) = (2α + 1)e ^α + 3α.

Osservato che sia f α (e) che f α (e ^α ) risultano maggiori di 3α = lim

x→0

f α (x) possiamo concludere che in entrambi i casi la funzione ammette massimo assoluto e quindi che b ` e vera.

(5) La risposta corretta ` e d . Infatti, osserviamo innazitutto che, essendo

|x − x ² | = |x(1 − x)| =

( x − x ² se 0 ≤ x ≤ 1

−(x − x ² ) se x < 0 oppure x > 1 risulta

Z 1

−1

|x − x ² |e ^−x dx = − Z 0

−1

(x − x ² )e ^−x dx + Z 1

0

(x − x ² )e ^−x dx Integrando per parti otteniamo

Z

(x − x ² )e ^−x dx = −e ^−x (x − x ² ) + Z

(1 − 2x)e ^−x dx

= −e ^−x (x − x ² ) − e ^−x (1 − 2x) − 2 Z

e ^−x dx

= −e ^−x (x − x ² ) − e ^−x (1 − 2x) + 2e ^−x + c

= e ^−x (x ² + x + 1) + c

Dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che Z 1

−1

|x − x ² |e ^−x dx = − Z 0

−1

(x − x ² )e ^−x dx + Z 1

0

(x − x ² )e ^−x dx

= − e ^−x (x ² + x + 1)  0

−1 + e ^−x (x ² + x + 1)  1 0

= e + ³ _e − 2

(6) La risposta corretta ` e c . Osserviamo innanzitutto che la funzione f _α (x) = ^e

⁻

√ 1+x

x arctan x risulta continua in (0, 1]. Per x → 0 ⁺ abbiamo che

x arctan x ∼ x ²

mentre

e ^αx − √

1 + x = 1 + αx + ^α

₂ ^x

+ o(x ² ) − 

1 + ^x ₂ − ^x ₈

+ o(x ² ) 

= α − ¹ ₂
x − 

α

2 + ¹ ₈



x ² + o(x ² )

∼

( α − ¹ ₂
x se α 6= ¹ ₂

− ^x ₄

se α = ¹ ₂ Ne segue che

f _α (x) ∼



 



 

 ( ^α−

) ^x

x

= ^α−

1 2

x se α 6= ¹ ₂

−

4

x

= − ¹ ₄ se α = ¹ ₂

e quindi, dal criterio del confronto asintotico, che l’integrale improprio converge solo per α = ¹ ₂ .