Cap. 2 Definizioni, Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi postulati e assiomi

Cap. 2 Definizioni,

Cap. 2 Definizioni,

postulati e assiomi

postulati e assiomi

Definizioni Definizioni



Una delle cose che rende la geometria e Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili”

le discipline scientifiche “materie difficili”

sono le definizioni sono le definizioni



Vediamo cosa significa definireVediamo cosa significa definire



Definire : Definire : determinare il contenuto di un determinare il contenuto di un concetto,

concetto, dichiarare con brevi e precise dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa parole le qualità essenziali di una cosa, ,

in modo da distinguerla nettamente da in modo da distinguerla nettamente da

un’altra un’altra



Analizziamo “Analizziamo “dichiarare con brevi e precise dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa

parole le qualità essenziali di una cosa””



Una definizione deve essere:Una definizione deve essere:



breve (non può essere resa tramite esempi e breve (non può essere resa tramite esempi e deve avere il minor numero di termini possibili) deve avere il minor numero di termini possibili)



essenziale (al suo interno non deve contenere essenziale (al suo interno non deve contenere termini superflui o che la abbelliscono)

termini superflui o che la abbelliscono)



precisa: _precisa: non può essere adatta a due o più non può essere adatta a due o più cose ma solo ad una

cose ma solo ad una



In pratica per ottenere il massimo punteggio In pratica per ottenere il massimo punteggio

Es. definizione di quadrato Es. definizione di quadrato

 Analizziamo le seguenti definizioni:Analizziamo le seguenti definizioni:

 Il quadrato è un quadrilateroIl quadrato è un quadrilatero

 Il quadrato è un poligono con tutti i lati ugualiIl quadrato è un poligono con tutti i lati uguali

 Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati ugualiIl quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali

 Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini superflui ma nessuna di esse è pertinente

superflui ma nessuna di esse è pertinente

 Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un

poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due

è precisa

è precisa ((la prima va bene anche per rettangolo, la prima va bene anche per rettangolo, parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni

equilateri

equilateri, , la valutazione va sotto la sufficienzala valutazione va sotto la sufficienza))

 La terza definizione combina le prime due La terza definizione combina le prime due entrambe parzialmente vere pertanto ha un entrambe parzialmente vere pertanto ha un

contenuto informativo maggiore, continua ad contenuto informativo maggiore, continua ad

essere breve e ad utilizzare parole precise ma essere breve e ad utilizzare parole precise ma

continua ad essere adatta a più cose continua ad essere adatta a più cose

 Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il punteggio massimo

punteggio massimo

 Le seguenti due figure sono entrambe ben Le seguenti due figure sono entrambe ben descritte dalla nostra proposizione

descritte dalla nostra proposizione

Definizione scientifica Definizione scientifica



La definizione La definizione scientificascientifica e sicuramente e sicuramente più complessa di una definizione

più complessa di una definizione normale perché utilizza un

normale perché utilizza un linguaggiolinguaggio specifico

specifico



Un linguaggio si dice Un linguaggio si dice specificospecifico se se

appartiene ad una particolare disciplina appartiene ad una particolare disciplina



La prossima diapositiva vi mostrerà La prossima diapositiva vi mostrerà diverse definizioni di quadrato, tutte diverse definizioni di quadrato, tutte

corrette ma la cui valutazione può essere corrette ma la cui valutazione può essere

differente differente

Definizione di quadrato Definizione di quadrato



Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero con tutti gli con tutti gli angoli

angoli e i e i latilati uguali (punteggio 8 ½) uguali (punteggio 8 ½)



Quadrilatero angolo Quadrilatero angolo ee lato lato fanno parte del fanno parte del linguaggio specifico della disciplina

linguaggio specifico della disciplina



Omettere le parole è un Omettere le parole è un quadrilateroquadrilatero e e inserire “

inserire “poligonopoligono che ha quattro che ha quattro latilati uguali uguali e quattro angoli

e quattro angoli rettiretti” porta ad una ” porta ad una

definizione che manca del carattere di definizione che manca del carattere di

brevità (punteggio 8) brevità (punteggio 8)



Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero con tutti gli con tutti gli angoli

angoli e i e i latilati congruenticongruenti (punteggio 9) (punteggio 9)



La parola La parola congruentecongruente appartiene al appartiene al linguaggio specifico della geometria

linguaggio specifico della geometria perciò perciò la definizione ha un utilizzo migliore del

la definizione ha un utilizzo migliore del linguaggio specifico

linguaggio specifico



Il quadrato è un Il quadrato è un quadrilateroquadrilatero equilateroequilatero ed ed equiangolo

equiangolo (punteggio 10)(punteggio 10)



C’è un uso preciso del linguaggio specifico C’è un uso preciso del linguaggio specifico e una definizione più breve

e una definizione più breve



equilatero equiangoloequilatero equiangolo



Se l’insegnante ha spiegato i poligoni Se l’insegnante ha spiegato i poligoni regolari

regolari ( (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed equiangoli)

equiangoli) allora la definizione giusta per allora la definizione giusta per ottenere il massimo punteggio è:

ottenere il massimo punteggio è:

Il quadrato è un

quadrilatero regolare

Definizione di postulato Definizione di postulato



Dal dizionario della TreccaniDal dizionario della Treccani



postulato_postulato dal lat. postulatum «ciò che è dal lat. postulatum «ciò che è richiesto; richiesta»

richiesto; richiesta»



Proposizione che, senza essere evidente Proposizione che, senza essere evidente né dimostrata, si assume come

né dimostrata, si assume come

fondamento di una dimostrazione o di una fondamento di una dimostrazione o di una

teoria teoria



i postulati fanno riferimento ad i postulati fanno riferimento ad una materia una materia particolare

particolare

Definizione di assioma Definizione di assioma



L’assioma è un principio certo ed evidente L’assioma è un principio certo ed evidente senza ulteriori indagini che costituisce la senza ulteriori indagini che costituisce la

base per ulteriori ricerche base per ulteriori ricerche



Gli assiomi hanno una validità più Gli assiomi hanno una validità più

generale dei postulati e sono alla base di generale dei postulati e sono alla base di

più discipline più discipline

I postulati di Euclide I postulati di Euclide

 Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la

sua struttura.

sua struttura.

 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare unauna ed ed una sola

una sola retta. retta.

 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.

indefinitamente.

 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è possibile descrivere un cerchio.

possibile descrivere un cerchio.

 4 Tutti gli angoli retti sono uguali. 4 Tutti gli angoli retti sono uguali.

 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni

stesso lato angoli interni la cui sommala cui somma è minore di è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, quella di due angoli retti, prolungando le due rette,

esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei

Primo postulato Primo postulato

Punto A Punto B Retta r

È evidente che qualsiasi altra retta non passerà per i due punti

Terzo postulato Terzo postulato

Punto A (centro) Lunghezza

Circonferenza Per definire un

circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio

Gli assiomi Gli assiomi

1.1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro. A = B B = C

loro. A = B B = C  A = C A = C [proprietà transitiva][proprietà transitiva]

2.2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali.

somme ottenute sono uguali.

3.3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali.

rimanenti sono uguali.

4.4. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali.

somme ottenute sono disuguali.

5.5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.

6.6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.

7.7. Cose che coincidono tra loro sono uguali.Cose che coincidono tra loro sono uguali.

Metodo assiomatico deduttivo Metodo assiomatico deduttivo

 … … roba da panico!!!!!!roba da panico!!!!!!

 Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa domanda …. “ma che roba è …”

domanda …. “ma che roba è …”

 L’unica speranza risiede nel vocabolarioL’unica speranza risiede nel vocabolario

 MetodoMetodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano

perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano prestabiliti in vista del fine che s’intende

prestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungereraggiungere

 AssiomaticoAssiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri che fa uso di assiomi, principi assunti come veri senza dimostrazione perché evidenti

senza dimostrazione perché evidenti

 DeduttivoDeduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul il metodo da usare è basato soltanto sul

ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del

suo sviluppo suo sviluppo

La geometria

euclidea fa uso del metodo

assiomatico-deduttivo perché partendo dagli enti geometri fondamentali (3)

e dai postulati (5), riesce a dimostrare, col puro ragionamento,