Cap. 4 Le Cap. 4 Le
combinazioni degli combinazioni degli
enti geometrici enti geometrici
fondamentali e fondamentali e
degli assiomi
degli assiomi
Definizione di Definizione di
combinazione combinazione
Operazione che mette insieme Operazione che mette insieme
due o più cose affini, secondo un due o più cose affini, secondo un
determinato criterio e per determinato criterio e per
ottenere un certo risultato ottenere un certo risultato
Nel nostro caso mettiamo insieme gli Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti geometrici fondamentali e gli
enti geometrici fondamentali e gli assiomi per ottenere altre entità assiomi per ottenere altre entità
geometriche geometriche
Punti
Punti coincidenti coincidenti
Due punti si dicono
coincidenti se occupano la stessa posizione
Per indicare che due punti
coincidono usa il simbolo ≡
Punto A coincid e con B A ≡ B
A
B
≡
Definizione di linea Definizione di linea
geometrica geometrica
Ente geometrico che si caratterizza Ente geometrico che si caratterizza per presentare una sola dimensione:
per presentare una sola dimensione:
la lunghezza la lunghezza
Come tutte le definizioni è una Come tutte le definizioni è una proposizione pertanto risulta proposizione pertanto risulta
sufficientemente definito sufficientemente definito
indipendentemente dalla sua indipendentemente dalla sua
rappresentazione materiale rappresentazione materiale
Per indicarla si usa una lettere Per indicarla si usa una lettere dell’alfabeto miniscolo
dell’alfabeto miniscoloa
A
B I punti A e B si dicono estremi
della linea
Tipi di linea Tipi di linea
Le linee possono essere semplici o Le linee possono essere semplici o intrecciate; aperte o chiuse
intrecciate; aperte o chiuse
A B
a
Linea aperta semplice
Una linea si dice
rintracciata se si
attraversa in uno o più punti
C
D H
Linea aperta intrecciata
b
Linea chiusa semplice
K
Linea chiusa intrecciata
Una linea si dice chiusa se i suoi estremi
coincidono A≡B
La linea retta La linea retta
Si definisce retta Si definisce retta un’insieme infinito e un’insieme infinito e illimitato di punti posti illimitato di punti posti uno dietro l’altro, senza uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, soluzione di continuità,
che mantengono che mantengono sempre la stessa sempre la stessa
direzione direzione
Modello di retta Modello di retta
Per modello si retta possiamo Per modello si retta possiamo
prendere in considerazione un filo prendere in considerazione un filo
teso fra due punti teso fra due punti
Un modello migliore può essere Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che
preso un raggio luminoso che
rispetto al precedente ha il pregio di rispetto al precedente ha il pregio di
avere dimensioni decisamente più avere dimensioni decisamente più
ridotte ridotte
Retta e punto Retta e punto
Consideriamo una retta r e un Consideriamo una retta r e un punto P su di essa
punto P su di essa
Se la retta è formata da un Se la retta è formata da un
numero infinito ed illimitato di numero infinito ed illimitato di
punti allora se inserisco un punti allora se inserisco un
punto di fatto la divido in due punto di fatto la divido in due
parti parti
Si viene a formare un nuovo Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e ente che necessita di nome e
definizione (che dipenderà definizione (che dipenderà
strettamente dall’operazione strettamente dall’operazione
svolta) svolta)
Semiretta Semiretta
Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una
retta è divisa da un suo punto
Caratteristiche della Caratteristiche della
semiretta semiretta
In pratica una semiretta ha un punto In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte di origine che la limita da una parte
mentre dell’altra essa risulta formata mentre dell’altra essa risulta formata
da un numero infinito e illimitato di da un numero infinito e illimitato di
punti che si susseguono uno dietro punti che si susseguono uno dietro
l’altro, senza soluzione di continuità, l’altro, senza soluzione di continuità,
mantenendo la stessa direzione mantenendo la stessa direzione
Il modello di semiretta è Il modello di semiretta è rappresentato da un laser rappresentato da un laser
La semiretta perciò ha un punto di inizio La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che ne rappresenta l’origine e un verso
che rappresenta la direzione verso la che rappresenta la direzione verso la
quale si estende la semiretta quale si estende la semiretta
Due o più semirette che hanno un’origine Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine in comune condividono la stessa origine
P r vers
o
r
s t
H k
semiretta
Semirette con origine in comune
Piano Piano
Si definisce piano una Si definisce piano una
superficie infinita che mantiene superficie infinita che mantiene
sempre la stessa pendenza sempre la stessa pendenza
Se ciò non si verificasse si avrebbe Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curva
una superficie curva
Un caso particolare di piano è Un caso particolare di piano è
quello orizzontale che ha pendenza quello orizzontale che ha pendenza
nulla nulla
Ha due dimensioni: lunghezza e Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza
larghezza
Modello e rappresentazione Modello e rappresentazione
del piano del piano
Come modello di piano possiamo Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta
prendere un foglio di carta
Per rappresentarlo possiamo utilizzare Per rappresentarlo possiamo utilizzare
un parallelogramma e per convenzione si un parallelogramma e per convenzione si
utilizza, per indicarlo, una lettera utilizza, per indicarlo, una lettera
dell’alfabeto greco minuscola dell’alfabeto greco minuscola
lunghezza la
rghezza
Piano e retta Piano e retta
Piano e retta Piano e retta
possono essere:
possono essere:
ComplanariComplanari
IncidenteIncidente
ParalleloParallelo
r complanari
r
r incidente
parallelo
Osservazioni Osservazioni
Una retta r complanare ad un piano Una retta r complanare ad un piano
ha tutti i suoi punti in comune col ha tutti i suoi punti in comune col piano
piano
In questo caso si dice che la retta r In questo caso si dice che la retta r giace sul piano
giace sul piano
Essendo la sua lunghezza infinita noi Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul abbiamo che una retta che giace sul
piano
piano lo divide in due parti uguali lo divide in due parti uguali dette semipiani
dette semipiani
Semipiano Semipiano
Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un pano risulta suddiviso
da una retta complanare
Riguardia mo le seguenti
figure
r complanari
r
incidente
r
parallelo
Cosa
succede de una retta ha
2 punti di contatto col
piano?
A quale caso può corrispondere?
Se una retta ha
due punti di contatto col piano è ad
esso complanare
Retta e punto Retta e punto
Per un punto
passano infinite rette
Le infinite rette che passano per un punto costituiscono
un fascio proprio di rette Il punto per cui passano
le rette è detto centro del fascio
Retta e due punti Retta e due punti
Per due punti passa una ed una sola retta
Rette per tre punti
I tre punti non sono allineati
Passano 3 rette
I tre punti sono allineati
Passa una retta
Per tre punti non allineati passano 3 rette
Per tre punti allineati passa
una ed una sola retta
Tre punti si dicono allineati se giacciono
su una stessa retta
Una volta costatato che per tre punti allineati passa una sola retta quando 3
punti si dicono allineati?
Intersezione di piani Intersezione di piani
Consideriamo i
seguenti due piani La loro
intersezione sarà data da una retta r Posso
tracciare un altro piano
che
contiene r?Quanti piani conterranno
la retta r? Infiniti
Due piani che si
intersecano danno origine ad una retta
Per una retta passano infiniti piani
Un fascio di piani
è un insieme formato da infiniti piani,
aventi una retta in comune
Piani per due punti Piani per due punti
Quanti piani passano per 2 punti?Quanti piani passano per 2 punti?
Questa domanda rimanda direttamente a Questa domanda rimanda direttamente a quella di quante rette passano per due
quella di quante rette passano per due punti?
punti?
Secondo voi perché?Secondo voi perché?
Per due punti passa una sola retta perciò Per due punti passa una sola retta perciò
….….
Per due punti passano
infiniti piani
Piani per tre punti Piani per tre punti
allineati allineati
Vi ricordate la definizione di punti Vi ricordate la definizione di punti allineati?
allineati?
Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta
Allora quanti piani passano per tre punti allineati?
Per tre p unti allin eati
pass ano infin iti p iani
Piani per tre punti non Piani per tre punti non
allineati allineati
Consideriamo 3 punti non Consideriamo 3 punti non allineati
allineati
Per due punti passa una retta e Per due punti passa una retta e perciò infiniti piani
perciò infiniti piani
Ma il terzo può appartenere Ma il terzo può appartenere
contemporaneamente agli infiniti contemporaneamente agli infiniti
piani?
piani?
Se no può appartiene solo ad un Se no può appartiene solo ad un piano particolare
piano particolare
ma allora …..ma allora …..
A
B
C
r
La retta r appartiene Al piano
Al piano
Agli infiniti piani a cui r è complanare
Il punto C appartiene ad un solo dei piani del fascio di piani passanti per r
Perciò per tre punti passa ….
Per tre punti non allineati passa uno
ed un solo piano
Gli elementi di Euclide Gli elementi di Euclide
Gli Gli ElementiElementi di Euclide sono la più di Euclide sono la più
importante opera matematica giuntaci importante opera matematica giuntaci
dall’antica grecia.
dall’antica grecia.
Composti tra il IV e III secolo a.c. Composti tra il IV e III secolo a.c.
rappresentano un quadro completo e rappresentano un quadro completo e
definito dei principi della geometria noti al definito dei principi della geometria noti al
tempo.
tempo.
L'opera consiste in 13 libri: i primi sei L'opera consiste in 13 libri: i primi sei
riguardanti la geometria piana, i successivi riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi
tre la geometria solida.
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Da wikipedia
Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, definizioni, che trattano i concetti di punto,
linea e superficie, su 5 postulati e su 5
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comuni, quelle che ora sono dette assiomi. , quelle che ora sono dette assiomi.
Il postulato più famoso è il V che riguarda le Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso postulato rette parallele e i triangoli, il famoso postulato
da cui si deduce che la somma degli angoli da cui si deduce che la somma degli angoli
interni di un triangolo è di 180°
interni di un triangolo è di 180°
«« In un piano, una retta che intersechi In un piano, una retta che intersechi
due rette parallele forma con esse angoli due rette parallele forma con esse angoli
alterni uguali fra loro, angoli esterni alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e uguali agli angoli interni e opposti, e
dalla stessa parte angoli interni la cui dalla stessa parte angoli interni la cui
somma è uguale a due retti.
somma è uguale a due retti. »»
Le geometria non Le geometria non
euclidee euclidee
La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee
In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette
che non si intersecano perciò) i segmenti divergono che non si intersecano perciò) i segmenti divergono
anch’essi anch’essi
Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono non esistono rette parallele e i segmenti convergono
anch’essi anch’essi
I triangoli e le tre I triangoli e le tre
geometrie geometrie
Triangolo iperbolico: la
somma degli angoli è minore di 180°
Triangolo Euclideo: la somma degli angoli è di 180°
Triangolo ellittico: la somma degli angoli è maggiore di 180°
Immagine che riassume le tre diverse geometrie
