2. Si determini la curvatura Gaussiana di S in ogni punto.

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 6 settembre 2016 Esercizio 1 Sia S = {(x, y, z) ∈ R ³ |z = p1 + x ² + y ² }

1. Si determini una parametrizzazione regolare di S e se ne calcoli la prima forma fondamentale.

2. Si determini la curvatura Gaussiana di S in ogni punto.

3. Per h > 1 si determini una parametrizzazione in parametro d’arco della curva γ _h ottenuta intersecando S con il piano {z = h}.

4. Si determini la curvatura geodetica di γ _h . Esercizio 2

Si consideri la curva parametrizzata

γ : (0, +∞) → R ³ , γ(s) = (e ^−s cos s + 2, 0, e ^−s sin s) .

Sia S la superficie ottenuta ruotando il supporto di γ intorno all’asse delle z.

1. Si dimostri che l’area di S ` e finita ed ` e un numero compreso nell’intervallo [2π √

2, 6π √ 2].

2. Si determini le curvature principali di S nel punto γ(s) al variare di s.

3. Sia S 0 la regione di S definita da {R θ γ(s)|θ ∈ [0, 2π], s ∈ (π/4, 5π/4)}, dove R _θ ` e la rotazione di angolo θ intorno all’asse delle z. Determinare

Z

S

KdA

dove K ` e la curvatura Gaussiana e dA ` e l’elemento d’area su S.

Esercizio 3

Si considerino i seguenti sottospazi di R ³ : C la circonferenza di centro l’origine e raggio 2 giacente sul piano di equazione z = 0, T il toro solido costituito dai punti la cui distanza da C non supera 1 (dato dalla disuguaglianza [2−px ² + y ² ] ² +z ² ≤ 1), B la palla piena chiusa di raggio 2 centrata nel punto P = (4, 0, 0), S la sfera di raggio 2 e centro P (bordo di B), e chiamiamo X lo spazio T ∪ B, Y lo spazio T ∪ S.

1. Si scriva una retrazione per deformazione di T su C;

2. si dimostri che X ` e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale;

3. si dimostri che Y ` e connesso per archi e calcolare il suo gruppo fondamentale.

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