Il polinomio interpolante utilizzando la rappresentazione di Lagrange è dato da p3(x

Esercitazione 9 di Calcolo Scientico e Metodi Numerici 3 Dicembre 2019

1. (Esercizio 3, compito del 15/02/2018)

Costruire, utilizzando la rappresentazione di Lagrange, il polinomio che interpola la seguente tabella di dati

x_i -1 0 1 2

y_i −⁷₂ −1 ³₂ 7

Calcolare il valore assunto dal polinomio nel punto di ascissa x = −2.

Soluzione.

Il polinomio interpolante utilizzando la rappresentazione di Lagrange è dato da p₃(x) = −7

2`<sub>0</sub>(x) − `₁(x) + 3

2`<sub>2</sub>(x) + 7`₃(x),

dove `i(x), per i = 0, . . . , 3 sono i polinomi caratteristici di Lagrange. Svolgendo i calcoli si trova

p₃(x) = 1

2x³+ 2x − 1, p₃(−2) = −9.

2. Costruire, tramite la base canonica, il polinomio che interpola la funzione f (x) = 2^x− 3x + 2

nei punti di ascissa x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 3. Si valuti quindi il polinomio nel punto di ascissa x = ¹₂.

Soluzione.

Il polinomio interpolante, trovato utilizzando la base canonica, è dato da p₃(x) = 1

6x³− 13

6 x + 3, p₃ 1/2
= 31 16. 3. (Esercizio 5, compito del 22/02/2019)

Costruire, nella forma di Lagrange, il polinomio interpolante la funzione f (x) = sin(πx) + a cos(πx), a ∈ R

nei punti di ascissa x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1. Calcolare quindi l'errore relativo nel punto x = 1/2 e determinare il valore di a anchè questo sia nullo.

Soluzione.

Il polinomio che si ottiene utilizzando la base data dai polinomi caratteristici di Lagrange è

p₂(x) = a(= 2x²+ 1).

Essendo l'errore relativo nel punto di ascissa x = 1/2 pari a err = |1 − a/2|, si evince che esso è nullo per a = 2.

4. Costruire la funzione che interpola le coppie di punti (−^π₂, −6), (0, 3), (π, 5) nella base ϕ0(x) = cos(2x), ϕ1(x) = sin(3x), ϕ2(x) = x.

Soluzione.

Il polinomio che interpola i punti dati è

Φ(x) = 3 cos(2x) − 2 sin(3x) + 2 πx.