Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange `e pn(x

ESERCITAZIONE (12/12/2017)

1. Costruire, utilizzando la rappresentazione di Lagrange, il polinomio che interpola la seguente tabella di dati

x_i -1 0 1 2 y_i 9 6 3 6

Calcolare inoltre il valore assunto dal polinomio nel punto di ascissa x = −2.

Soluzione.

Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange `e p_n(x) =

n

X

j=0

y_jL_j(x)

dove gli L_j(x), polinomi caratteristici di Lagrange sono dati da

n

Y

k=0k6=j

x − x_k x_j − x_k.

Nel nostro caso si ha n = 3 e quindi il polinomio interpolante sar`a:

p₃(x) = 9L₀(x) + 6L₁(x) + 3L₂(x) + 6L₃(x) con polinomi caratteristici

L0(x) = −1

6x(x − 1)(x − 2), L₁(x) = 1

2(x²− 1)(x − 2), L₂(x) = −1

2x(x + 1)(x − 2), L₃(x) = 1

6x(x²− 1).

Quindi p₃(x) = −3

2x(x−1)(x−2)+3(x²−1)(x−2)−3

2x(x+1)(x−2)+x(x²−1) p₃(−2) = 6.

1

2. Determinare, usando la base canonica il polinomio che interpola la tabella di dati

x_i -2 0 2 y_i 0 -1 0

e calcolare il suo valore nel punto di ascissa x = 1.

Soluzione.

Il polinomio interpolante nella base canonica `e dato da p₂(x) =

n

X

j=0

a_jx^j

imponendo le condizioni di interpolazione si ottiene il sistema lineare

2

X

j=0

x^j_ia_j = y_i, i = 0, 1, 2

la cui matrice dei coefficienti `e la matrice di Vandermonde

X =





1 x₀ x²₀ 1 x₁ x²₁ 1 x2 x²₂



.

Il sistema risultante, la cui soluzione fornisce appunto i coefficienti della combinazione lineare che fornisce l’espressione canonica del polinomio interpolante, quindi sar`a





1 −2 4

1 0 0

1 2 4







 a₀ a₁ a₂



=



 0

−1 0



.

Risolvendo tale sistema con l’algoritmo di Gauss con pivoting troviamo a0 = −1, , a1 = 0, a2 = 1

4

quindi il polinomio interpolante nella base canonica `e p₂(x) = −1 +¹₄x² e p₂(1) = −³₄.

3. Determinare la forma di Lagrange del polinomio che interpola la fun- zione sin(2x) nei punti di ascissa 0,^π₄,^π₂ e valutarlo nel punto di ascissa x = −^π₄.

2

Soluzione.

x₀ = 0, x₁ = π

4, x₂ = π 2

y₀ = sin(2x₀) = 0, y₁ = sin(2x₁) = 1, y₂ = sin(2x₂) = 0

p₂(x) = y₀L₀(x) + y₁L₁(x) + y₂L₂(x) = L₁(x) dove

L₁(x) = x − x₀

x₁− x₀ · x − x₂

x₁− x₂ = −16

π²x(x − π/2) e

p₂

−π 4



= −3.

4. Costruire il polinomio che interpola la seguente tabella di dati xi 0 1 2

y_i 1 1 2

sia nella base canonica che nella forma di lagrange. utilizzare poi la forma di Lagrange per calcolare il polinomio interpolante nel punto di ascissa x = −1.

Soluzione.

Analogamente a quanto fatto nell’esercizio 2, per determinare il poli- nomio interpolante nella base canonica, occorre determinare i coeffi- cienti lineari di tale combinazione lineare risolvendo tramite Gauss il sistema





1 0 0 1 1 1 1 2 4







 a₀ a₁ a2



=



 1 1 2



 la cui soluzione `e



 a₀ a1

a₂



=



 1

−¹₂

1 2





da cui ricaviamo p₂(x) = 1 − ¹₂x +¹₂x². In forma di Lagrange:

p₂(x) = L₀(x) + L₁(x) + 2L₂(x) dove

L₀(x) = 1

2(x − 1)(x − 2), L₁(x) = −x(x − 2), L₂(x) = 1

2x(x − 1) da cui si ottiene appunto p₂(x) = 1 − ¹₂x +¹₂x².

3