Determinazione della costante di accelerazionegravitazionale locale mediante il pendolo reversibile

(1)

Laboratorio di fisica

Determinazione della costante di accelerazione gravitazionale locale mediante il pendolo reversibile

di Decolle E. e Orlandi E.

TEMA DELL’ESPERIMENTO

Determinazione della costante di accelerazione gravitazionale locale mediante pendolo reversibile.

(2)

SCOPO DELL’ESPERIMENTO

Il fine dell’esperimento è determinare l’accelerazione gravitazionale locale effettuando degli spostamenti della massa mobile del pendolo, fino al raggiungimento della condizione di eguaglianza dei due periodi ottenuti sospendendo il pendolo prima per un coltello e poi per l’altro.

STRUMENTI ED APPARECCHIATURE UTILIZZATE

1. Pendolo di Kater 2. Cronometro digitale 3. Metro a nastro millimetrato.

RICHIAMI TEORICI

-IL PENDOLO SEMPLICE

Il pendolo semplice è un sistema costituito da una massa puntiforme m appesa ad un filo inestensibile di lunghezza l e massa trascurabile di cui l’altra estremità O sia tenuta fissa.

(3)

Nella posizione di equilibrio, cioè quando il pendolo si trova in posizione verticale, si ha che: la direzione della forza peso passa per il punto fisso O e ha come unico effetto quello di tendere il filo inestensibile, senza provocare alcun moto.

Se si sposta il pendolo dalla posizione di equilibrio, la forza peso è scomponibile in 2 forze:

F1 avente la direzione del filo,

F2 perpendicolare alla direzione del filo stesso.

F2 tende a riportare il pendolo nella posizione di equilibrio C; giunto in C il pendolo continua il suo moto e la velocità decresce fino ad annullarsi in B, posizione simmetrica di A (posizione di partenza) rispetto a C.

Da B il pendolo riprende il suo moto in senso contrario, ripassando per la posizione di equilibrio C e proseguendo fino ad annullare in A la sua velocità.

Il pendolo procederà in questo suo moto finché non interverrà una forza esterna a fermarlo.

Oltre alla forza peso P^  mg^, sulla pallina agisce anche la tensione T del filo.

La risultante di queste due forze è la forza responsabile del moto.

Quindi, per la seconda legge della dinamica:

  

P T

 

ma^.

Uguagliando le componenti dei vettori di ambo i membri della precedente secondo la tangente alla traiettoria si ha F



ma_t (*)

dove

F

è la componente della forza peso e a_t è l’accelerazione tangenziale;

la tensione



T, essendo diretta secondo la direzione del filo, non ha alcuna componente secondo la tangenziale.

Dalla similitudine dei triangoli OPC ed MLP si ha : PL : PC = PM : OP

(4)

PL =

F

PM =

mg

OP=

l

e posto PC =

d

, si ha che:

F dmg

 l .

E allora (sostituendo in (*))

a

_t = g

l d (**)

Per piccole oscillazioni l’arco CP può essere considerato coincidente con la corda AB . Segue che, posto

AP s 

^,^D ^ ^s ^.

Quindi, per piccole oscillazioni la (**) diventa

a g

l s

t 

che, osservando che la componente

a

_t dell’accelerazione è negativa quando

s

è positivo e viceversa è positiva quando

s

è negativo, può essere riscritta come:

a g

l s

t   .

Dunque l’accelerazione è direttamente proporzionale e di segno contrario allo spostamento dal centro di oscillazione, e pertanto IL MOTO DEL PENDOLO, nel caso di piccole oscillazioni, E’ ARMONICO .

Confrontando (**) con l’equazione del periodo del moto armonico di un punto materiale, si ottiene:

(1) T l

 2 g

che è la RELAZIONE FONDAMENTALE PER LO STUDIO DEL MOTO DEL PENDOLO SEMPLICE.

Riscrivendo (1) rispetto a

g

_{, si ha:}

(2) g

T l



 



2 ²

ne consegue che, per determinare

g

occorre conoscere

T

^e

l

^.

Voglio applicare la formula ad un corpo esteso, di massa

m

e baricentro G, libero di oscillare attorno al punto di sospensione A, (con piccoli angoli



), ed essendo



_A la distanza di A da G.

Ricavo la formula ad una generica distanza

r

 

P



ma mgsin mld



dt





2 2

d dt

2 2

 

^g_l ^sin



(5)

 g

l sin 



 

m dL

 dt

r 

^x P

^

⁼_dt^d



^IA







rPsin I d

dt I d dt

A

 

A



  

²

2

d dt

rMg

I sin rMg

A IA

2 2

   

 

 

d dt

2 2



2



 

  



 

  Asin T

rMg I_A ( )

2  T g

I M

A r

 2

Che nel nostro caso diventa:

(3) T

g I

A M

A A

 2



Ricordo il risultato del teorema di Steiner:

I



I_CM



Md²

cioè: il momento di inerzia

I

rispetto a un asse parallelo ad un asse passante per il centro di massa è uguale al momento di inerzia I_CM di quell’asse passante per il centro di massa sommato al prodotto

Md

²^dove

M

^{è la}

massa totale del corpo e

d

è la distanza fra i 2 assi.

Segue che la (3) diventa:

(4) T g

I M

A M

G A

A

 2   

²



(I_A e I_G indicano rispettivamente il momento di inerzia rispetto al punto A e rispetto al baricentro) e cioè:

(5) g T

I M

A M

G A

A



 

  2



²



²



Trovato un punto di sospensione B tale che

T

_A

 T

_B, posso confrontare i 2 valori di

g 2 

²



²



T

I M M

G A



  

  

 2 

²



²



T

I M M

G B



  

  

(6)

e quindi ottenere:

(6) I M M

G A

A

  



2 I M

M

G B

B

 



2

Ma come trovo un tale

B

^?

Un’ ovvia soluzione è

B

tale che la distanza tra

B

^e

G

(= baricentro) sia uguale alla distanza tra

A

^e

G

^{, cioè}



_A 



_B

Altre soluzioni derivano dalla (6):

(7)

I M

M

G B

G A

A

   

B

  

  

 

2

0

e cioè

di nuovo:



_A 



_B e :



B G

A

I



M (7BIS)



_A 



_B  ?

se



_A 



_B allora



_A



_B  2



_A se



A G

A

I



M allora

  



A B A

G A

A G

A

I M

M I

   

M²



(8 BIS)

Quindi dalla (4) e dalla (8 BIS) si ottiene:

T_A  2g _A  _B  2g l

  

con l



_A 



_B (9) Questa equazione ci permette dunque di determinare

g

senza conoscere

M

^,

^

A e

I

_G.

TEORIA DEL PENDOLO DI KATER

Il pendolo di Kater è un’asta rigida a cui sono fissate due grandi masse scorrevoli M₁e M₂ e due coltelli fissi C₁ e C₂, la cui distanza

l

^{è nota.}

Si sospende prima il pendolo per un coltello poi per l’altro, regolando la posizione delle masse

M

₁e

M

₂ fino a raggiungere l’eguaglianza dei due periodi.

Conoscendo

l

e misurando

T

si può ricavare il valore dell’accelerazione di gravità

g l

 4

T²

2



PREMESSA ALL’ ESPERIMENTO

(7)

Dalla formula che esprime il periodo

T

del pendolo in funzione dell’accelerazione di gravità

g

e della distanza

l

tra i punti di sospensione, è possibile ricavare la seguente relazione:

g l

 4

T²

2



Per poter analizzare i risultati ottenuti mediante l’esperienza sperimentale, è necessario valutare gli errori.

Innanzitutto si osserva che il metro a disposizione ha una precisione dell’ordine di 10^-3 m.

Analizziamo ora il calcolo del periodo:

eseguendo dieci misurazioni di un periodo abbiamo ricavato questi dati: 2.05, 2.10, 2.00, 1.97, 2.01, 2.05, 2.07, 2.09, 2.16, 1.99, la cui media è 2.05+-0.1.

Si può osservare che preso

t nT 

^{, si ha}

 ^{ }

t 

 ^{ }

T , ma dato che è del tutto analogo considerare l’errore relativo, è vero anche che

     



t

 

t

T nT n

T

  1 T

Si nota, quindi, che al crescere del numero dei periodi considerati si riduce l’errore relativo.

Un’altra osservazione che è necessario fare è relativa all’ampiezza dell’oscillazione.

Infatti d

dt



 2 cos



cos



integrando

d dt

T



 



cos  cos 

 

0 0

4

2

2 2

0

4



dt



T

 ^

d d

k sin



 







cos cos 

 



0 2 2

0 2

1

con k sin



2

d

 

k sin d k k

n o k

n



n



 



1 2 2 1

4

2 2

0 2

2

4

     

 



 





e ritornando all’equazione di partenza si ha:

2T4



 2

₀

d k

_n 2 n

n





 segue che ^{T k}^{( )}^ ²_^^^_¹^ ^k₄² ^^{o k}

 

⁴ ^_^

T

risulta dipendente da

k

e quindi dal valore assunto da



come angolo massimo di oscillazione.

  T 0 2

 



Si può ricavare l’errore relativo dato dall’espressione

T T

T k T T

k o k k

 

 

( ) ( )

( ) 0 ( )

0 4 4

2

4 2



(8)

Quindi approssimando



T



T

k sin



2

4 1

4 2

 valido per

   5

Per quanto riguarda la propagazione dell’errore si ricava dalla formula

  ^{ } ^{ }

 

  

 

g g

T T g

l l

 

 

 

 



2 2

2

2 ^

 

^g ^ _^_T^g ^^{ }^T ^ ^_^g_l

Ora applicando questa formula al nostro caso concreto dove g

 

l

 2 

² T₂ ottengo che

^

²

  ^{ } ^

⁴ 4

^ ^{ } ^ ^{ }

2

4 6

2 1 4 2

g T l l

T T

  

 

 Ecco la formula dell’errore relativo 

 

g    

g

l l

K T



 

 





 







2 2 2

2

da cui si ricava : ( )g ( ) ( ) g

l l

T T



 

  

 

 

 



2 2

2

Da questa espressione si vede come l’errore di lunghezza e l’errore di periodo debbono essere paragonabili affinché si riscontri un errore non significativo della accelerazione di gravità. Ora poiché riusciamo a raggiungere l’errore dell’ordine di 10^-3 per la lunghezza sarebbe opportuno aumentare il numero dei periodi per dare un errore di questo ordine.

Ora poichè

  

T  01. s allora 01 10

10 100

3

. 2

nT  T^  n 

Quindi dovremo considerare le misurazioni riferite a 100 periodi affinché l’errore sia dell’ordine di 10^-3.

DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO

Inizia ora la vera “esperienza” di laboratorio:

calcoliamo, tramite misurazioni dirette dei periodi, la posizione della massa mobile rispetto al coltello A fino a raggiungere l’eguaglianza dei due periodi.

Vogliamo innanzitutto trovare una grossolana approssimazione della distanza di A dalla massa, quindi iniziamo con calcoli del periodo, (effettuati facendo la media su 10 periodi), spostando la massa mobile di volta in volta di 10cm.

Ottenendo i risultati in tabella:

d TA TB

0 2.06 2.07

10 2.02 2.03

20 1.99 2.00

30 1.99 1.96

dove d indica la distanza della massa mobile dal coltello A e TA e TB indicano rispettivamente il periodo del pendolo centrato in A e il periodo del pendolo centrato in B.

(9)

Osservato che a 0, 10 e 20 cm TA<TB e a 30cm TA>TB, concludiamo che la posizione da noi cercata sarà tra i 20 e i 30cm.

Procediamo quindi con calcoli dei periodi, facendo la media su 50 oscillazioni e spostando la massa mobile di volta in volta di a cm.

Ottenendo i risultati in tabella

d TA TB

25 2.0024 2.0006

24 1.9986 1.9996

23 1.9900 1.9876

Ne deduciamo che la posizione cercata sarà vicino ai 24cm.

Proseguiamo pertanto con calcoli del periodo: facendo la media su 100 oscillazioni e spostando la massa mobile di volta in volta di 0.5cm.

Ottenendo i risultati in tabella

d TA TB

24.5 2.0061 1.9995

24 2.0037 2.0009

23.5 2.003 2.003

Dai risultati ottenuti: possiamo concludere con sufficiente accuratezza che l’eguaglianza dei periodi si ha ponendo la massa mobile a 23.5cm dal coltello A.

Possiamo ora calcolare g g T L

 



2 ²

L

T s



 1 2 003.

 

 

  ^

g 2 ms

2 0 1 9 869

2

 2

. * .

Calcolo dell’errore percentuale:

( )g ( ) ( ) g

l l

T T



 

  

 

 

 



2 2

2

( ) . * .

.

. *

g g

errore



 

  

 

 

 









0 001 1

2 0 001 2 003 1413 10

1 1000

2 2

3

Quindi g 9 869. 0 009. ms^²

(10)

Ad una latitudine tra i 50° e i 40° l’accelerazione di gravità è di 9.81ms^-2; il risultato da noi ottenuto è maggiore di questo valore, ciò significa che sono intervenuti degli errori ben maggiori di quelli da noi presi in considerazione.

E’ possibile infatti che il pendolo non fosse ben in piano e che oscillasse in varie direzioni e non in una soltanto.

E’ anche possibile che si siano commessi degli errori durante il rilevameno delle oscillazioni, anzichè 100 ne possono essere state contate 99 o 101.

Concludendo si può quindi affermare che gli errori hanno influito in modo considerevole sul risultato dell’esperimento.