A.A. 2020/2021 Istituzioni di Analisi Matematica

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Istituzioni di Analisi Matematica

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 1)

Massimo Gobbino

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Lezione 01. Legami tra coercivit`a di funzionali e compattezza dei sottolivelli. Esempi di caratterizzazione degli insiemi compatti e delle funzioni semicontinue rispetto a nozioni di convergenza strane. . . 6 Lezione 02. Introduzione ai funzionali integrali. Approssimazione di funzioni continue

mediante funzioni C-infinito (per via elementare). Esempi di funzionali che non ammettono minimo. . . 10 Lezione 03. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni (FLCV), FLCV a media

nulla, lemma di Du Bois Reymond: discussione con diverse classi di funzioni test. 15 Lezione 04. Varianti del FLCV e del lemma DBR con ipotesi di segno o derivate di

ordine superiore. . . 19 Lezione 05. Esempi di applicazione del metodo indiretto: problemi di minimo per

l’integrale di Dirichlet con diverse condizioni al bordo. . . 24 Lezione 06. Esempi di applicazione del metodo indiretto: problemi di minimo per una

Lagrangiana del primo ordine con diverse condizioni al bordo. . . 30 Lezione 07. Esempi di applicazione del metodo indiretto: problemi di minimo per una

Lagrangiana del secondo ordine con diverse condizioni al bordo. . . 35 Lezione 08. Metodo indiretto applicato ad una equazione non lineare, con discussione

della regolarit`a della soluzione. Studio di un problema di minimo con dato assegnato in un punto diverso dagli estremi dell’intervallo. . . 40 Lezione 09. Spazi di Hilbert: disuguaglianze `a la Bessel, esistenza di una base Hilber-

tiana senza ipotesi di separabilit`a, completamento di uno spazio pre-Hilbertiano. . 45 Lezione 10. Esercizi sugli spazi di Hilbert: dimostrazione della non convergenza debole

di alcune successioni, compattezza/chiusura forte/debole di sottoinsiemi, la palla `e la chiusura debole della sfera. . . 51 Lezione 11. Completezza degli spazi Lp rispetto alla misura che conta i punti su ogni

insieme di indici. Esempio di spazio di Hilbert non separabile con base Hilbertiana non numerabile. . . 57 Lezione 12. Esercizio sugli spazi di Hilbert: la somma diretta di sottospazi chiusi `e

necessariamente chiusa? Primi esempi di convergenza debole in spazi L2 concreti. 63 3

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4 Istituzioni di Analisi Matematica – A.A. 2020/2021 Lezione 13. Esempi ed esercizi sulla convergenza debole di successioni di funzioni in

spazi Lp. . . 69 Lezione 14. Esempi ed esercizi sulla convergenza debole di successioni di funzioni in

spazi Lp. . . 74 Lezione 15. Derivate deboli in dimensione uno: scarsa possibilit`a di variare lo spa-

zio delle funzioni test, formula di integrazione per parti, derivata del prodotto, rincollamento di derivate, esempi ed esercizi. . . 79 Lezione 16. Primo esempio di applicazione del metodo diretto: discussione della

possibilit`a di formulare debolmente il problema in vari spazi. . . 84 Lezione 17. Approccio variazionale ai Boundary Value Problems: primi esempi. Unicit`a

via equazione e via unicit`a del punto di minimo del funzionale. . . 89 Lezione 18. Approccio variazionale ai Boundary Value Problems: esempi con dati di

Neumann omogenei e periodici. Come recuperare la compattezza in assenza di condizioni di Dirichlet. . . 95 Lezione 19. Approccio variazionale ai Boundary Value Problems: tre strategie per

ottenere condizioni di Neumann non omogenee (Lagrangiana modificata, cambio di variabili, aggiunta dei valori agli estremi nel funzionale). . . 101 Lezione 20. Discussione generale dei risultati di compattezza: come ottenerli via sti-

me di crescita e condizioni di Dirichlet, oppure via teorema della media integrale.

Esempi basati sul bilancio tra la crescita rispetto alla funzione e rispetto alla derivata.107 Lezione 21. Argomenti di troncamento: interpretazione variazionale ed in termini di

equazione di Eulero (principio del massimo e principio del massimo forte). . . 112 Lezione 22. Esempi di formulazioni variazionali con Lagrangiane che non sono definite

ovunque. Utilizzo di opportuni argomenti di troncamento per ricavare l’equazione di Eulero-Lagrange. . . 117 Lezione 23. Il prodotto di una successione convergente uniformemente e di una conver-

gente debolmente è ancora debolmente convergente. Esempio di utilizzo dell’iden- tità di Beltrami. . . 122 Lezione 24. Esempio di problema variazionale con perdita di ellitticità in un punto. . 127 Lezione 25. Regolarità Holderiana ottimale per il minimo di un problema variazionale

con perdita di ellitticità. Principio del massimo stretto sotto ipotesi di ellitticità. . 132 Lezione 26. Perdita di ellitticità vs perdita di unicità per il problema di Cauchy associa-

to all’equazione di Eulero vs mancanza di principi del massimo stretti. Approccio variazionale all’esistenza di soluzioni periodiche per equazioni differenziali. . . 137 Lezione 27. Una disuguaglianza del parallelogrammo implica l’identit`a. Dimostrazione

alternativa che l’identit`a del parallelogrammo implica che la norma deriva da un prodotto scalare. Norme p-esime che derivano da un prodotto scalare. . . 142

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Lezione 28. Discussione sull’esistenza del punto di minima distanza da un chiuso in uno spazio metrico. Stretta convessità della norma ed unicità della proiezione su un convesso chiuso in uno spazio normato. Esempi di non unicità. Norme p-esime strettamente convesse. . . 147 Lezione 29. Proiezione sulla palla unitaria in spazi normati: minimizzazione della

distanza e costante di Lipschitz. Calcolo della proiezione su un iperpiano affine in uno spazio di Hilbert. . . 151 Lezione 30. Coni convessi in spazi di Hilbert e relative proiezioni. Esempi di convessi

chiusi in spazi L2 e calcolo delle relative proiezioni. . . 155 Lezione 31. Ruolo della convessit`a della Lagrangiana rispetto alla derivata per l’esi-

stenza e non esistenza di punti di minimo. Costruzione di successioni minimizzanti con oscillazioni su una doppia scala. . . 160 Lezione 32. Esistenza e non esistenza di minimi a seconda della crescita della Lagran-

giana rispetto alle sue variabili. Esempio di utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange. 165

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Queste lezioni vanno seguite solo DOPO aver seguito le corrispondenti lezioni di un corso classico, ad esempio quello 2019/20

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