9/02/2012 1)

Prova scritta di Analisi Matematica II (3 ore) VO 26/01/2012

1) Data la funzione f(x,y) = x⁴-6x²y² + y⁴ in D:=

{

^{(x,y)∈R2 : x ≤1, y ≤1}

}

a) dimostrare che è armonica (f_xx+ f_yy = 0) b) trovare i massimi e i minimi.

2) Definizione di superficie regolare e orientabile. Enunciare il teorema di Stokes specificando quali sono le superfici e i domini ammissibili.

3) Calcolare l’integrale

(1 + y

²

z)dxdydz

∫∫∫

V

con

V : = x,y,z { ( ) ^{∈ R}

³

^{: 0} ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy }

^.

4) Definizione di curva semplice, chiusa e regolare e di integrale curvilineo. Calcolare la lunghezza della curva

γ : = x = 3cos t

y = 3sent 0 ≤ t ≤ π

⎧ ⎨

⎩

5) Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del 3° ordine:

y’’’ – 2y’’ + 2y’ = cosx

Prova scritta di Matematica 2 26/01/2012

1) Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione

f (x, y) = 2x

x

²

+ y

² nel dominio del primo quadrante limitato dalle circonferenze di centro (0,0) e raggi 1 e 2 e dagli assi.

2) Calcolare l’integrale generale della seguente equazione differenziale

y''' −y = 2x

. 3) Enunciare il Teorema di Stokes. Utilizzandolo calcolare

+BΣ

∫ ^{z dx} + xy dy + xzdz

, esteso al bordo della porzione di piano z=1-x-y/2, che si proietta sul triangolo di vertici A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,2).

4) Calcolare il volume della porzione di spazio compresa tra la semisfera (positiva) di centro l’origine e raggio 1, e il paraboloide rotondo

z = 2(x

²

+ y

²

)

.

5) Introdurre un metodo di integrazione per risolvere l’ , illustrarlo e calcolare l’integrale.

x arctang x

0

∫

1

^dx

Prova scritta di Analisi Matematica II (3 ore) VO 9/02/2012

1) Condizioni sufficienti per l’esistenza dei massimi e minimi relativi per una funzione di R², con dimostrazione. Trovare i massimi e minimi relativi della funzione

f (x, y) = x

²

+ 3y

²

− xy

³.

2) Equazioni differenziali lineari omogenee e proprietà delle soluzioni. Integrale generale.

Teorema sull’integrale generale delle equazioni non omogenee. Trovare l’integrale generale dell’equazione y’’+4y’-5y = x² .

3) Enunciare il Teorema di Stokes in forma scalare e vettoriale, utilizzandolo calcolare , dove F(x,y,z)= (1+z , 3-x² , zy) ,

( )

B

F t ds

+ Σ

∫

⋅

^+BΣ

è il bordo della porzione di

paraboloide z=9-x²-y² compresa tra il piano z=0 e il suo massimo.

4) Calcolare

sin y

³

dxdydz, V = 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 3 { }

V

∫∫∫

^.

5) Forme differenziali chiuse ed esatte e loro proprietà. Si verifichi che

1 2

3 3

x y xdx y x x y dy

ω= − − − ^⎛⎜⎝ + ^⎞_⎟⎠ è chiusa ed esatta e si calcoli γ

∫

ω ^dove γ è la curva di equazioni parametriche 4 cos , 4 sin , ,

x= t y= t t∈ ⎢^⎡⎣π π2 ^⎤⎥⎦. Prova scritta di Analisi Matematica 2 (3 ore)

N.O.

9/02/2012

1) Enunciare il Teorema di Cauchy (esistenza e unicità locale). Trovare un punto (x0, y0) dove e’ verificato il teorema per l’equazione y’=2y tgx + y^1/2. Integrare l’equazione.

2) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra le curve di equazione 1 ( )

1 f x

= x

− e con

g(x) = x

²

+ 2 x ∈ 0, 1 2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ .

^.

3) Definizione di dominio normale regolare. Enunciare le formule di Green-Gauss e dimostrarne una. Utilizzandole calcolare dove D è il dominio definito da

.

D

ydxdy

∫∫

2

2 2

: 0

2 0

y x

D x y x

⎧ ≤ ≤ ⎫

⎨ + − ≤ ⎬

⎩ ⎭

4) Data la funzione f ( , )x y =cos² x+cos² y calcolare il massimo e minimo assoluto nel

triangolo T definito dalle disequazioni: 4 2

0 4

x y x

π π

π

⎧− ≤ ≤ ⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨ ⎬

⎪ ≤ ≤ + ⎪

⎪ ⎪

⎩ ⎭

.

5) Definizione di funzione differenziabile in un punto e significato geometrico. Equazione del piano tangente. Fare un esempio.

Prova scritta di Analisi Matematica 2 (V.O.) 3 ore 24/02/2012

1) Formule di Green-Gauss, enunciare le ipotesi di validità e dimostrarne una a piacere.

Utilizzandola calcolare l’integrale

∫∫

+

D

dxdy y

x y

2

2 dove D è il dominio definito dalle

disequazioni: 1 ^{2 2 2 2}

3 , 1, 2, 0, 0

3x y x x y x y x y

⎧ ≤ ≤ + ≥ + ≤ ≥ ≥ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭.

2) Data la funzione

f (x, y) = x

²

+ y

²

4

definita nel cerchio C di centro l’origine e raggio 4, dire se soddisfa il Teorema di Weierstass in C e calcolare gli eventuali massimo e minimo assoluti.

3) Data la forma differenziale

2

( 1) 2

2( 2 2)

xarctg y dx x dy

y y

ω= − +

− + , si verifichi che è chiusa nel piano e si calcoli

γω

∫

^dove γ è data parametricamente da

{

^x= arcsin(t −1), y = 3^t−1, 0≤ t≤1

}

orientata positivamente.

4) Equazioni differenziali lineari: Definizione di Wronskiano e teoremi relativi affinchè si possa scrivere l’integrale generale di tali equazioni. Trovare due integrali dell’equazione diff y” + K y’+y=0, al variare di K reale.

5) Funzioni differenziabili in un punto. Legami tra differenziabilità, continuità e derivabilità parziale. Trovare il differenziale primo df (0,0), con

f (x, y) = 9 − x

²

− y

².

Prova scritta di Matematica 2 (N.O.) 3 ore 24/02/2012

1) Illustrare il metodo di integrazione per sostituzione. Utilizzandolo calcolare

∫

₀^π2

^{sin x dx}

^.

2) Formule di Green-Gauss, enunciare le ipotesi di validità e dimostrarne una a piacere.

Utilizzandola calcolare l’integrale ^{2 2}

D

x y dx

+∂

∫

+ ^{, dove}

D:= 1 ^{2 2}

3 , 1 2, 0, 0

3 x y x x y x y

⎧ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≥ ≥ ⎫

⎨ ⎬

⎩ ⎭.

3) Calcolare i massimo e minimo relativi e assoluti per la funzione nel dominio

) (

2 ^{2 2}

2 ) ,

(x y y e ^{x y}

f = − + ^{− +}

{ ( )

^{, : 1}

}

:= x y ∈R² x² +y² ≤ D

4) Risolvere l’equazione differenziale

34

2

4 4

1. y y y

x x

′ + =

−

5) Definizione di forma differenziale lineare e suo integrale curvilineo su una curva regolare a tratti. Forma differenziale esatta, suo integrale curvilineo e proprietà particolari.