Corda che si avvolge intorno ad un palo
Figure 1:
Una corda `e fissata ad un palo di raggio R mentre l’altro estremo `e collegato ad una massa m. La massa `e appoggiata su un piano sul quale scivola senza attrito.
All’istante iniziale la corda `e tesa ed ha una lunghezza l0; alla massa viene impressa una velocit`a iniziale ~v0 perpendicolare alla corda stessa, che quindi inizia ad avvolgersi intorno al palo.
Si determini:
1. l’equazione parametrica, espressa rispetto all’angolo θ, della traiettoria seguita dalla massa;
2. la velocit´a in funzione del tempo della massa m;
3. la legge oraria θ(t) e la variazione in funzione del tempo della lunghezza l del tratto di corda che collega la massa al palo;
4. la tensione della corda.
Risposta 1
1
La corda `e tangente al palo nel punto di contatto C. Sia O il centro del palo, usiamo un sistema di assi coordinate polari con versore radiale ˆeR
lungo ~OC e coordinata tangenziale ˆeθ.
La posizione della massa m, situata nel punto P , `e data da:
~
r(t) = ~OC + ~CP = RˆeR+ l(t)ˆeθ (1) dove la lunghezza l(t) della corda all’istante t `e data da:
l(t) = l0− Rθ(t) (2)
La traiettoria in coordinate cartesiane `e:
x = R cos θ − (l0− Rθ) sin θ
y = R sin θ + (l0− Rθ) cos θ (3) che rappresenta l’equazione parametrica della traiettoria.
Risposta 2
La velocit`a della massa m pu`o essere ottenuta derivando la relazione (3).
Tuttavia possiamo trovare immediatamente il modulo di v notando che l’unica quantit`a che si conserva `e l’energia cinetica. Infatti la quantit`a di moto non si conserva, in quanto esiste una forza esterna data dalla reazione vincolare del palo. Il momento della quantit`a di moto rispetto al polo O non si conserva, a causa della forza tangente dovuta alla corda.
Ne segue che:
1
2mv2= 1
2mv20 = cost
Di conseguenza anche la velocit`a della massa m `e costante:
v = v0 (4)
Per trovare le componenti possiamo notare che il moto istantaneo e’ un moto di rotazione intorno al punto di contatto della corda con il palo. Ne segue che la velocit`a `e diretta lungo il versore tangente alla traiettoria che, per come sono stati scelti i versori, vale −ˆeR:
~v = −l ˙θˆeR (5)
Derivando adesso l’equazione (3) si ottiene
x = −l ˙˙ θ cos θ
˙
y = −l ˙θ sin θ (6)
che rappresenta il vettore velocit`a (5) proiettato lungo gli assi cartesiani.
2
Risposta 3
Per trovare la legge oraria confrontiamo le equazioni (4) e (5):
v0= l ˙θ = (l0− Rθ)dθ dt
Questa equazione differenziale a variabili separabili si risolve integrando entrambi i membri in dt e operando un cambio di variabile al secondo mem- bro:
Z t 0
v0dt = Z θ
0
(l0− Rθ)dθ → v0t = l0θ − Rθ2/2 (7) Si ricava, quindi, l’equazione di secondo grado:
θ2−2l0
R θ + 2v0t R = 0
la cui soluzione accettabile, data la scelta di θ (aumenta all’aumentare di t),
`e:
θ(t) = l0 R 1 −
s
1 −2v0Rt l20
!
(8) Si pu`o ricavare la variazione della lunghezza l in funzione del tempo:
l(t) = l0− Rθ(t) = l0 s
1 −2v0Rt
l20 (9)
Controlliamo adesso il termine sotto radice. Dall’equazione (7) possi- amo ricavare il tempo τ al quale il filo `e avvolto completamente. Questo corrisponde ad un intervallo angolare θτ = l0/R:
v0τ = l0θτ− l0θτ2 2 = l20
2R
Il moto avviene per t < τ , per cui il termine sotto radice non diventa mai negativo.
Risposta 4
Essendo il moto istantaneo circolare a velocit`a uniforme, la accelerazione
`e di tipo centripeto:
~a = −v02 l ˆeθ
L’unica forza che agisce sulla massa m `e la tensione della corda, per cui:
T = m~a = −~ mv02 l0
q
1 −2vl02Rt 0
ˆ
eθ (10)
3
