Appunti sintetici esponenziali e logaritmi
Prof. Franco Fusier Rev. 05/2012 - Pag. 50
ESERCIZI DI RIEPILOGO (1)
Equazioni
Esempio 48 [equazione logaritmica-esponenziale]
( )
4 2 2
log 2 2 log 4 5
x 2
x − + − = .
Condizioni di esistenza:
2 2
2 2
2 2
2 0 2 1
1 log 3
log 3
2 1 3
x x
x x
x x x
x
− > > >
→ → → > ∧ ≠
− ≠ ≠ ≠
cioè C.E.: x > ∧ ≠1 x log 32 .
Applichiamo adesso le proprietà dei logaritmi:
( )
( )
( ) ( )
4 4
4
2 4
4
log 4 5
log 2 2
log 2 2 2
2 log 2 2 2 5 log 2 2
x
x
x x
− + =
−
− + = −
Posto t = log4(2x −2), otteniamo:
2 1 2
5 3 1
5 2 0 2;
4 2
t − t + = → =t ± → t = t =
da cui:
( )
4 1 2 2
log 2x − 2 = 2 → 2x − =2 16 → x = log 18 = +1 2 log 3
( ) 1
4 2 2
log 2x −2 = → 2x − =2 2 → x = 2.
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Esempio 49 [equazione riconducibile a logaritmica]
ln x 2
x = e . Condizioni di esistenza:
0 x >
Notiamo adesso che:
x = eln x
Applichiamo adesso le proprietà delle potenze e dei logaritmi:
( ) 2
2
1 1 1
ln ln ln
ln 2 ln 2 2 2
1ln 2
2
da cui segue immediatamente
x x x
x x
x
x x e e e
e e
= = = =
= Uguagliando gli esponenti si ottiene:
2 2
1 2 2
1 1
ln 2 ln 2
2 x x x e x
= → = ± → = ∨ = e
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
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Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
( 1 ) ( 2 1 )
ln 4−x + 2 −ln 2 x+ −3 < ln 2.
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
( 2 2 ) ( 2 1 )
ln 2 − x + 2 < ln 2 +ln 2 x+ −3 Condizioni di esistenza:
2 2 2
2
2 1 log 3
2 1
2 2 0 1 log 3
2 0.29
2 2
2 3 0
x x x
x x
− + +
+ > ∀ ∈
→ → > − + ≈
− > >
ℝ
Applichiamo adesso le proprietà dei logaritmi:
( 2 2 ) ( 2 1 )
2 2 2 1 2
2
2 2
ln 2 2 ln 2 2 6
2 2 2 2 6 4 2 4 2 6
2
4 4 2 8
2
x x
x x x
x x x
− +
− +
+ < ⋅ −
+ < ⋅ − → + < ⋅ −
< ⋅ − Posto t = 22x > 0, otteniamo:
2 2
4 8 4 0 2 1 0
1 2 1 2 1 2
t t t t
t t t
− − > → − − >
= ± → < − ∨ > + da cui:
( ) ( )
2 2
2 2 log 1 2
2
2 1 2 0 impossibile
2 1 2 2 2 1log 1 2 0.63
2
x
x x + x
< − < ←
∨
> + → > → > + ≈
Le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Esempio 51 [disequazione logaritmica-goniometrica]
1 1
3 3
log cos 2 log sin 2 1
x − x < −2. Condizioni di esistenza:
cos 2 0
2 2 2
2 4
sin 2 0
x k x k k x k
x
π π
π π π π
>
→ < < + → < < +
>
Applichiamo adesso le proprietà dei logaritmi:
1 1
3 3
log cot 2 log 3 cot 2 3
2 2 2
6 12 2
x x
k x k k x k
π π π π π π π π
< → <
+ < < + → + < < +
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Appunti sintetici esponenziali e logaritmi
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Tenendo conto delle condizioni di esistenza dei logaritmi, si ottiene:
4
12 4
12 2
k x k
k x k
k x k
π π π π π π π
π π π π
< < +
→ + < < +
+ < < +
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza. Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.
Disequazioni
Esempio 50 [disequazione logaritmica-esponenziale]
ln ( 41-x + 2 ) - ln ( 22x+1 - 3 ) < ln 2 .
Prima di tutto, riscriviamo la disequazione in una forma del tutto equivalente (in modo da non avere logaritmi di quozienti nei passaggi successivi):
