a) quanti sono i punti appartenenti a qualche spigolo del cubo che abbiano distanza 15 cm dal vertice A?

Esercizi per le vacanze estive

1. E’ dato un cubo di 10 cm di spigolo. Sia A uno dei suoi vertici.

a) quanti sono i punti appartenenti a qualche spigolo del cubo che abbiano distanza 15 cm dal vertice A?

b) a che distanza si trovano tali punti dal vertice G?

2. Considera le rette:

r :

( x = 2z

y = 1 s :

( y = 2 x = z a) verifica che r e s sono sghembe;

b) trova le equazioni del piano α parallelo a s contenente r e del piano β parallelo a r contenente s;

c) trova la distanza fra r e s;

d) trova la misura degli angoli formati da r e s.

3. Sono dati nello spazio R ³ i due piani α e β di equazioni:

α : 2x + 3y − z = 2 β : x + 2y + z = 1 a) verifica che i due piani sono secanti;

b) trova l’ampiezza degli angoli diedri formati dai due piani;

c) trova l’equazione parametrica della retta r intersezione dei due piani;

d) trovare l’equazione di un piano γ diverso da α e da β e passante per la retta r;

e) il sistema ottenuto dalle equazioni dei tre piani α,β e γ è determinato, indeterminato o impossibile?

f) il sistema delle equazioni dei piani α e β con l’equazione del piano γ passante per i punti A = (1, 2, 0), B = (−1, 0, −2) e C = (3, 0, 0) è determinato, indeterminato o impossibile? Cercare una risposta geometrica prima ancora che algebrica.

4. Dato il punto P = (2, 1, 0) in un riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, a) verifica che P non appartiene al piano π di equazione 3x − 2y − z = 1;

b) trova la proiezione di P su π.

5. Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche:

a) 2 sin ² x − 1 > 0 b) √

3 sin x − cos x > 0 c) 2 sin ² x − sin x < 0 d)

√ 3 tan x−1 2 cos x−1 ≤ 0

e) 2 sin ² x − sin x cos x + cos ² x ≤ 1 f) (1 − 2 sin x) cos x > 0

g) _{1+sin x} ^{cos 2x} ≥ 0

6. In un triangolo ABC si ha ACB ˆ = ^π ₃ e AB = a. Determina la misura dell’angolo ABC ˆ = x in modo che l’area del triangolo ABC sia ^a

√ 3 6 .

7. In un triangolo acutangolo ABC risulta AB = a, BAC ˆ = x e ABC ˆ = ^π ₆ . Indicata con H la proiezione di B su AC, determina x in modo che si abbia CH +CB +CH = 2 √

2CA

8. Quale fra le seguenti successioni definite per ricorrenza ha un andamento periodico?

 a ₀ = 1

a _n+1 = n − ^a ₂

 a ₀ = −2

a _n+1 = 2 − a _n

 a ₀ = 2

a n+1 = 1 − _a ¹

n

9. Dimostrare per induzione che, per ogni n ≥ 1, il numero 3 ²

− 1 è un multiplo di 2 ⁿ⁺² .

10. (esame di Stato 2012) Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23, 25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

11. (esame di Stato 2012) L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.

12. (esame di Stato 2012) E’ dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l’ampiezza dell’angolo α formato da l e da h.

13. (esame di Stato 2012) Siano dati nello spazio n punti P ₁ , P ₂ , P ₃ , . . . . P _n . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)?

14. (esame di Stato 2012) Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7%

sono difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

15. (esame di Stato 2012) Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

16. Se n > 3 e _n−1 ⁿ
, _n−2 ⁿ
, _n−3 ⁿ
sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

17. Risolvi in R la seguente equazione:

2 · 5 ^x + 3 · 5 ^−x

2 · 5 ^x − 3 · 5 ^−x − 3 · 5 ^−2x + 2 2 − 3 · 5 ^−2x > 0 18. Risolvi in R la seguente equazione:

log ₂ p

x ² − 5x + 8 = 1

19. E’ dato un triangolo equilatero di lato l. Si congiungono i punti medi dei tre lati. Si formano quattro triangoli congruenti, sia A ₁ l’area del triangolo centrale. Dei tre triangoli rimanenti si congiungono i punti medi e si chiama A ₂ l’area di ciascuno dei triangoli centrali. Si continua a procedere così per n volte. Calcolare la somma di tutti i triangoli centrali al passo n. Qual è il limite di tale somma per n → ∞?

20. Tracciare sulla carta quadrettata il grafico della funzione f (x) = 2 ^x e rispondere alle seguenti domande:

a) è vero che se a < b allora 2 ^a < 2 ^b ? b) è vero che se a < b allora 2

< 2

? c) se 2 ^2a−1 < ¹ ₂
a+2

cosa si può dire di a?

d) se (0, 1) ^x−3 > (0, 01) ^x+2 cosa si può dire di x?

21. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali:

a) 3 ^2x = 3 ^4x−2

b) 4 ^2x − 16 = 4 ^x+3 − 4 ^x−2 c) 6 · 3 ^x − 3 ^2−x = 15 d) ⁵

^·5

5

= ¹ ₅ e) 3 ^2x + 5 · 3 ⁵ + 6 = 0

22. Risolvere le seguenti disequazioni esponenziali:

a) 2 ^x+2 > 5 ^x b) 2 ^x+2 − 5 ^x ≥ 3 ^x c) 2

√

6x−x

< 2 ^3−2x

23. Rivedere le proprietà dei logaritmi e risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:

a) log ₂ (x + 1) = log ₂ (4x − 3)

b) 2 log(x + 3) = log(x − 1) + 4 log 2

c) log ₃ (x + 1) > log ₉ (2x + 3) d) log ₂ (x − 1) − log ₄ 5 + log

2

(x + 6) ≤ 0

24. A partire dalla conoscenza del grafico di f (x) = log x, disegna il grafico delle seguenti funzioni a) g(x) = log(x + 1)

b) h(x) = log(x) + 1 c) k(x) = 2 − log(x) d) j(x) = _log(x) ¹

25. Una colonia composta inizialmente da 1000 batteri cresce esponenzialmente e raddoppia la sua grandezza ogni ora.

Quando conterrà 7000 batteri ?

26. In una classe ci sono 22 studenti e l’insegnante decide di interrogarne 4 (tutti assieme). Quanti diversi gruppi di 4 ragazzi può interrogare l’insegnante?

27. Quanti sono i diversi anagrammi della parola “LICEO”? e della parola “DINI”? e della parola “MATEMATICA”?

28. Un insieme A ha cinque elementi. Quanti sono tutti i possibili sottoinsiemi di A?

29. In quanti modi si possono collocare 20 biglie, fra loro uguali, in 5 scatole numerate?

30. Perché l’equazione esponenziale 2 ^x+3 = −4 non ammette soluzioni?