t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva h   t  sinc  4 f

(1)

Seconda prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni (a) Università di Siena, A.A. 2017-2018, 17 Maggio 2018

Modalità di svolgimento

Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 3 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. Il testo del compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato

1. Usando la variabile aleatoria    k distribuita uniformemente tra 0 e 2, viene costruito il processo stocastico x   k , t  A sen  2  f

₀

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva ^h   ^t  sinc  4 ^f

0

^t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare ^E  ^x   ^k ^, ^t  ^e ^H

_xx

c. Esprimere y ,   k t e calcolare E  y   k , t  , H

_yy

   e S

_yy

  f . [10 punti]

2. Il segnale x   t  A sinc

²

  2 Bt viene campionato idealmente alla minima frequenza di campionamento che permette di evitare il fenomeno dell’aliasing, quindi ogni campione viene quantizzato con 12 bit e successivamente memorizzato. Sono registrati in tutto 15 min di segnale. I campioni digitali così ottenuti sono trasmessi su una linea numerica caratterizzata dalla velocità di trasmissione di 1 Mbps. Si determini il valore di B affinché il tempo necessario a trasmettere tutti i valori registrati sia 1 min. [6 punti]

3. Si dimostri che la deviazione standard di un processo stocastico stazionario è uguale all’autocovarianza calcolata per  = 0. [5 punti]

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  ¹ . Si calcoli la correlazione r

_xy

tra le variabili aleatorie x   k e y   k , nonché la media e la varianza di y   k . Si calcoli la probabilità dell'evento definito da y       k x k  k x  0 . [5 punti]

5. In un sistema di trasmissione analogico, i segnali informativi 2 con = 10 kHz e 4 2 con = 30 kHz vengono inviati all’ingresso di un blocco non lineare con la seguente funzione di trasferimento:

Il segnale risultante viene quindi modulato DSB con portante 2 , dove = 100 MHz e = 2 V.

a. Disegnare lo spettro di ampiezza del segnale modulato DSB;

b. Calcolare l’espressione del segnale modulato;

c. Calcolare il rapporto segnale rumore all’ingresso e all’uscita del demodulatore. Si consideri la densità spettrale di potenza monolatera = 10

⁻⁸

[W/Hz]. [7 punti].

Nome……… Cognome ……… Matricola ………..

(2)

Seconda prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni (b) Università di Siena, A.A. 2017-2018, 17 Maggio 2018

Modalità di svolgimento

Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 3 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. Il testo del compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato

1. Usando la variabile aleatoria    k distribuita uniformemente tra 0 e 2, viene costruito il processo stocastico x   k , t  A cos  2  f

₀

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva ^h   ^t  sinc  4 ^f

0

^t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare ^E  ^x   ^k ^, ^t  ^e ^H

_xx

c. Esprimere y ,   k t e calcolare E  y   k , t  , H

_yy

   e S

_yy

  f . [10 punti]

2. Il segnale x   t  A sinc  4000 t  viene campionato idealmente alla minima frequenza di campionamento che permette di evitare il fenomeno dell’aliasing, quindi ogni campione viene quantizzato con 10 bit e successivamente memorizzato. Sono registrati in tutto 20 min di segnale. I campioni digitali così ottenuti sono trasmessi su una linea numerica caratterizzata dalla velocità di trasmissione di 1 Mbps. Si determini il tempo necessario a trasmettere tutti i valori registrati. [6 punti]

3. Si esprima la trasformata di Fourier della trasformata di Hilbert di un generico segnale . [5 punti]

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  ¹ . Si calcoli la correlazione r

_xy

tra le variabili aleatorie x   k e y   k , nonché la media e la varianza di y   k . Si calcoli la probabilità dell'evento definito da y       k x k  k x  ⁰ . [5 punti]

5. In un sistema di trasmissione analogico, i segnali informativi 2 2 con = 10 kHz e 2 2 con = 30 kHz vengono inviati all’ingresso di un blocco non lineare con la seguente funzione di trasferimento:

Il segnale risultante viene quindi modulato DSB con portante 2 , dove = 60 MHz e = 4 V.

a. Disegnare lo spettro di ampiezza del segnale modulato DSB;

b. Calcolare l’espressione del segnale modulato;

c. Calcolare il rapporto segnale rumore all’ingresso e all’uscita del demodulatore. Si consideri la densità spettrale di potenza monolatera = 10

⁻⁹

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva h   t  sinc  4 f

Seconda prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni (a) Università di Siena, A.A. 2017-2018, 17 Maggio 2018

Modalità di svolgimento

1. Usando la variabile aleatoria    k distribuita uniformemente tra 0 e 2, viene costruito il processo stocastico x   k , t  A sen  2  f

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva h   t  sinc  4 f

t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare E  x   k , t  e H

c. Esprimere y ,   k t e calcolare E  y   k , t  , H

   e S

  f . [10 punti]

2. Il segnale x   t  A sinc

3. Si dimostri che la deviazione standard di un processo stocastico stazionario è uguale all’autocovarianza calcolata per  = 0. [5 punti]

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  1 . Si calcoli la correlazione r

tra le variabili aleatorie x   k e y   k , nonché la media e la varianza di y   k . Si calcoli la probabilità dell'evento definito da y       k x k  k x  0 . [5 punti]

5. In un sistema di trasmissione analogico, i segnali informativi 2 con = 10 kHz e 4 2 con = 30 kHz vengono inviati all’ingresso di un blocco non lineare con la seguente funzione di trasferimento:

Il segnale risultante viene quindi modulato DSB con portante 2 , dove = 100 MHz e = 2 V.

a. Disegnare lo spettro di ampiezza del segnale modulato DSB;

b. Calcolare l’espressione del segnale modulato;

c. Calcolare il rapporto segnale rumore all’ingresso e all’uscita del demodulatore. Si consideri la densità spettrale di potenza monolatera = 10

[W/Hz]. [7 punti].

Nome……… Cognome ……… Matricola ………..

Seconda prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni (b) Università di Siena, A.A. 2017-2018, 17 Maggio 2018

Modalità di svolgimento

1. Usando la variabile aleatoria    k distribuita uniformemente tra 0 e 2, viene costruito il processo stocastico x   k , t  A cos  2  f

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva h   t  sinc  4 f

t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare E  x   k , t  e H

c. Esprimere y ,   k t e calcolare E  y   k , t  , H

   e S

  f . [10 punti]

3. Si esprima la trasformata di Fourier della trasformata di Hilbert di un generico segnale . [5 punti]

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  1 . Si calcoli la correlazione r

tra le variabili aleatorie x   k e y   k , nonché la media e la varianza di y   k . Si calcoli la probabilità dell'evento definito da y       k x k  k x  0 . [5 punti]

5. In un sistema di trasmissione analogico, i segnali informativi 2 2 con = 10 kHz e 2 2 con = 30 kHz vengono inviati all’ingresso di un blocco non lineare con la seguente funzione di trasferimento:

Il segnale risultante viene quindi modulato DSB con portante 2 , dove = 60 MHz e = 4 V.

a. Disegnare lo spettro di ampiezza del segnale modulato DSB;

b. Calcolare l’espressione del segnale modulato;

c. Calcolare il rapporto segnale rumore all’ingresso e all’uscita del demodulatore. Si consideri la densità spettrale di potenza monolatera = 10

[W/Hz]. [7 punti].

Nome……… Cognome ……… Matricola ………..

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva ^h   ^t  sinc  4 ^f

^t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare ^E  ^x   ^k ^, ^t  ^e ^H

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  ¹ . Si calcoli la correlazione r

t     k  . Il processo x ,   k t viene posto all'ingresso di un SLTI avente risposta impulsiva ^h   ^t  sinc  4 ^f

^t  , ottenendo il processo in uscita y ,   k t .

a. Dire se i processi x ,   k t e y ,   k t sono stazionari b. Calcolare ^E  ^x   ^k ^, ^t  ^e ^H

4. Data una V.A. x   k con densità di probabilità gaussiana, media nulla e deviazione standard   2 , si costruisce la V.A. y     k  k x  ¹ . Si calcoli la correlazione r

tra le variabili aleatorie x   k e y   k , nonché la media e la varianza di y   k . Si calcoli la probabilità dell'evento definito da y       k x k  k x  ⁰ . [5 punti]