Simulazione prova di esame n. 5
Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2007 Pag. 1
M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA
Il Candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
In un piano sono assegnate una circonferenza k di diametro AB, lungo 2, e una parabola p passante per A e avente per asse di simmetria il diametro perpendicolare ad AB. Si sa che la parabola divide il cerchio delimitato da k in due parti, la maggiore delle quali è 5 volte la minore.
Dopo aver riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani:
1) determinare l'equazione di k;
2) determinare l'equazione di p;
3) trovare le coordinate dei punti M ed N comuni alle curve k e p;
4) trovare le equazioni delle rette tangenti a p nei punti M ed N;
5) stabilire com'è situato rispetto alla circonferenza il punto in cui si secano le due rette tangenti trovate sopra.
PROBLEMA 2
Considerata una sfera di diametro AB, lungo 2, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso e si ponga uguale ad x la lunghezza di AP.
1) Si calcoli in funzione di x la differenza d (x ) fra il volume del cono avente altezza AP e base il cerchio sezione di α con la sfera e il volume del segmento sferico avente la medesima base e altezza PB.
2) Controllato che risulta: ( 2 )( 2 2 ) ) 3
( x = − x x
2− x −
d π
, si studi la funzione d (x ) e se ne disegni il grafico.
3) Si utilizzi questo grafico per calcolare i valori di x per i quali d ( x ) = k , dove k è un parametro reale assegnato.
4) Si trovi, in particolare, la posizione di P per cui d (x ) è massima.
QUESTIONARIO
1. Considerata la successione di termine generale
nf
nn
a 3
)
= ( , dove:
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
n n 2
n 1 ) n
( n L
f ,
calcolare
nn
a
∞
lim
→e, ricorrendo alla definizione, verificare il limite così trovato.
2. Sia ) f (x una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
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∫ =
1
0
dx 2
f(x) e ∫
2= −
0
dx 5
f(x) .
Di ciascuno dei seguenti integrali:
∫ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞
1
0
2 x dx
f , x dx
∫ f ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞
2
0
2 , ∫
4⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞
2
2 x dx f , ∫
10
2 x) dx
f( ,
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta affermativa qual è questo.
3. Si dimostri la formula della derivata del prodotto di due funzioni:
[ f ( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
D = ′ + ′
4. Si dimostri che il volume V di un segmento sferico ad una base, di raggio di base r ed altezza h è dato dalla seguente formula:
) r (h h π
V
23
26
1 +
= .
5. Si dimostri la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione f ( x ) = x
n, dove n è un intero qualsiasi non nullo.
6. Un trapezio rettangolo è circoscritto ad un semicerchio di raggio r in modo che la base maggiore contenga il diametro. Si determinino i lati del trapezio sapendo che il solido generato da esso quando ruota di un giro completo intorno alla base maggiore ha il minimo volume.
7. Si conducano le rette tangenti ad una parabola in due suoi punti distinti A e B. Si dimostri quindi la relazione che sussiste fra l’area del triangolo mistilineo delimitato dall’arco AB di parabola e dalle due tangenti suddette e l’area del segmento parabolico individuato dalla corda AB, nel caso particolare in cui la retta AB è perpendicolare all’asse di simmetria della parabola.
8. Si calcoli il valore del seguente integrale:
∫
3 0cos
2sin
π
