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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006

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Academic year: 2021

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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006 Prova scritta del 26.9.2006

1. Sia X una superficie orientabile connessa e compatta di genere 1. Mostrare che, se Y → X ` e un rivestimento di grado finito, e Y ` e connessa, anche Y ` e una superficie orientabile di genere 1. Viceversa, mostrare che per ogni intero n ≥ 1 esiste un rivestimento Y → X di grado n con Y connessa.

2. Sia X una superficie di genere 2, suddivisa da due cerchi L

1

e L

2

in regioni A, B e C come in figura; scegliamo p ∈ A come punto base.

Identifichiamo la chiusura della regione B al cilindro S

1

× [0, 1], con il cerchio S

1

× {0}

identificato a L

1

e il cerchio S

1

× {1} identificato a L

2

. Sia f : X → X l’omeomorfismo definito come segue. Pensiamo S

1

come l’insieme dei numeri complessi di modulo 1. Allora se (z, t) ` e un punto di B poniamo

f (z, t) = (e

2πit

z, t)

Si noti che f ` e l’identit` a sia su L

1

che su L

2

. Poniamo f uguale all’identit` a sulle regioni A e C.

(a) Calcolare f

: π

1

(X, p) → π

1

(X, p) e f

: H

1

(X, Z) → H

1

(X, Z).

(b) Mostrare che f non ` e omotopa all’identit` a.

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