Lo L o s sp pa az zi io o p pr ro oi ie et tt ti iv vo o

Il I l p pi ia an no o p pr ro oi ie et tt ti iv vo o

  re r et tt te e: : r ra ap pp pr re es se en nt ta az zi io on ne e p pa ar ra am me et tr ri ic ca a e e ca c ar rt te es si ia an na a

  al a ll li in ne ea am me en nt to o d di i p pu un nt ti i

  i in nt te er rs se ez zi io on ne e di d i r re et tt te e

Lo L o s sp pa az zi io o p pr ro oi ie et tt ti iv vo o

  p pi ia an ni i: :r ra ap pp pr re es se en nt ta az zi io on ne e p pa ar ra am me et tr ri ic ca a e e c ca ar rt te es si ia an na a R

Ri ic ch hi ia am mi i s su ui i s so ot tt to os s pa p az zi i d di i R R

^{n n}

  F Fo or rm ma a c ca ar rt te es si ia an na a e e p pa ar ra am me et tr ri ic ca a d de ei i s so ot tt to os sp pa az zi i d di i R R

ⁿⁿ

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.10

24 maggio 2010

THE GEOMETRY OF VISION

THE CAMERA OBSCURA OR pin-hole MODEL How can we formalize the pin-hole model?

 Is it possible to describe it using Euclidean geometry? no!

 We need a more powerful geometry: the projective geometry.

 In Euclidean plane geometry there are two possible situations for pairs of lines on a plane:

they are parallel, or they meet at a point.

 Metaphorically speaking we may say that in the projective plane P

²

two lines always meet, if they are parallel, they meet at infinity.

 Suppose we have a point (x,y) in the Euclidean plane. To represent this same point in the projective plane we simply add a third coordinate of 1 at the end: (x,y,1).

L'introduzione in inglese 'The Geometry of vision' è 'estratta' dal corso 'Visione computazionale' di F. Oddone

 Overall scaling is unimportant, so the point (x,y,1) is the same as the point (x, y, ), for any non zero .

 In other words,

(X,Y,W) =  (X,Y,W) for any ≠ 0 (thus the point (0,0,0) is disallowed).

 Because scaling is unimportant the coordinates (X,Y,W) are called homogeneous coordinates of the point.

 The projective plane P

²

is a set of equivalence classes of 3-tuples of real numbers (not all 0s) so that

P= ( u , v , w) and Q= ( u

₀

, v

₀

, w

₀

) are equivalent iff ( u , v , w )= ( u

0

, v

0

, w

0

) where  is real and not 0.

 To transform a point (X, Y, W) in the projective plane back to Euclidean coordinates:

(x,y)=(X/W,Y/W) (if W≠0) .We see that the projective plane contains more points,the ones whose third coordinate is 0.

^(*)

They are called ideal points or points at infinity .

 Ideal points lie on the ideal line .

Si può pensare al piano proiettivo P

²

come

 all'insieme i cui elementi, detti pti, sono le rette dello spazio R

³

passanti per l'origine ( i sottospazi lineari di R

³

di dimensione 1)

 come all'insieme delle soluzioni non banali di un sistema lineare omogeneo di 2+1 incognite, prese ognuna a meno di un fattore di proporzionalità

 come al completamento del piano R

²

con l'aggiunta dei pti all'infinito ( lo vedremo meglio)

(*)Questo procedimento può essere fatto almeno per una delle 3 coordinate (purché non nulla)

Punti di P

²

P

1

= [2,0,1] : si intende che la terna rappresentativa è a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, quindi ad es. P

1

= [ 4,0,2] = ...

Rette di P

²

Abbiamo a che fare con sistemi lineari omogenei in 3 incognite.

 ax+by+cz=0 ha 

²

soluzioni in R

³

=>

ax+by+cz=0 rappresenta in P

²

una retta in forma cartesiana: la dimensione in P

²

scende di 1 risp.ad R

³

.

 Quanti parametri occorrono per una forma

parametrica in P

²

di ax+by+cz=0 ? 2 parametri !

 Retta di P

²

per due pti P [p

0

, p

1

, p

2

] , Q=[ q

0

, q

1

, q

2

] distinti



in forma parametrica



















) μ(q ) λ(p x

) μ(q ) λ(p x

) μ(q ) λ(p x

2 2 2

1 1 1

0 0 o

 in forma cartesiana ⁰

q q q

p p p

x x x

2 1 0

2 1 0

2 1 0



con [x

0

,x

1

,x

2

] coordinate omogenee del pto corrente su r.

con ,  reali, non entrambi nulli e definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo

P Q

ESERCIZIO 1.

       

Allineamento di pti – rette in P

²

In P

²

sono dati i punti P

0

=[1,1,1], P

1

=[2,0,1], P

2

=[0,2,1], P

3

=[0,1,1].

a) Verificare che P

0

, P

1

, P

2

sono allineati e determinare un’equazione cartesiana e parametrica della retta che li contiene.

b) Verificare che P

0

, P

1

, P

3

non sono allineati

P

0

= [1,1,1]  P

1

= [2,0,1]

perché (1,1,1) e (2,0,1) sono L.I. ( non multipli ) in R

³

, e analogamente P

0

, P

1

, P

2

, P

3

sono pti distinti di P

²

 In P

²

due pti sono distinti  i vettori che li rappresentano

in R

³

sono L.I.

 P=[p

0

, p

1

, p

2

], Q=[ q

0

, q

1

, q

2

] , R=[ r

0

, r

1

, r

2

] sono allineati 

⁰

q q q

p p p

r r r

2 1 0

2 1 0

2 1 0



(cioè  Rr retta per P, Q)

P

0

=[1,1,1], P

1

=[2,0,1], P

2

=[0,2,1] allineati 

⁰

1 2 0

1 0 2

1 1 1



:

vero perché R

3

= 2R

1

–R

2

.

Eq. Cart. di r (per P

1

,P

2

):

⁰ 1 2 0

1 0 2

x x x_{0 1 2}



 x

₀

(-2)- x

₁

(2)+ x

₂

(4)=0

 2 x

0

+2 x

1

-4 x

2

=0  x

0

+x

1

-2x

2

=0 (meglio!)



















μ(1) λ(1) x

μ(2) λ(0) x

μ(0) λ(2) x

2 1 o





 









 μ λ x

μ 2 x

λ 2 x

2 1 o

b) P

0

, P

1

, P

3

non sono allineati :

^{1 2 1 0}

1 1 0

1 0 2

1 1 1











Riepilogando : Dati 3 pti distinti P

₁

,P

₂

,P

₃

di P

²

:

P

₁

,P

₂

,P

₃

sono L.I.  P

₁

,P

₂

,P

₃

non sono allineati

Dati 2 pti P

1

,P

2

di P

²

:

P

1

,P

2

sono L.I.  P

1

e P

2

sono distinti )

(Pti L.I. significa che i loro rappresentanti sono L.I.)

P1 P2

=1 , =0  P1 =[ 2,0,1]

=2 , =0  [ 4,0,2] = [ 2,0,1] = P1

=1 , =1 [ 2,2,2] = [1,1,1] = P0

=1 , =2 [2,4,3]

=2 , =4 [4,8,6] = [2,4,3] !!

il fattore / è lo stesso

con ,  reali, non entrambi nulli e definiti a meno di un fattore di proporzionalità non nullo

ESERCIZIO 2 .

      

Intersezioni di 3 rette in P

²

Verificare che le seguenti rette di P

²

r

₀

: x

₀

-2x

₁

=0, r

₁

: x

₀

+x

₁

- x

₂

=0, r

₂

: 2x

₀

-x

₂

=0 hanno intersezione vuota.

Sappiamo che r

₀

è il sottospazio proiettivo di P

²

associato al sotto- spazio vettoriale di R

³

delle soluzioni dell’equazione x

₀

-2x

₁

=0.

Analogamente per r

₁

ed r

₂

.

r

₀

 r

₁

 r

₂

è anch’esso sottospazio proiettivo di P

²

, in quanto intersezione di sottospazi proiettivi, ed è associato al sottospazio

vettoriale di R

³

delle soluzioni del sistema



















 0 x 2x

0 x x x

0 2x x

2 0

2 1 0

1 0

.

Se il sistema ha solo la soluzione nulla (0,0,0)R

³

, ossia se lo spazio delle soluzioni si riduce al vettore nullo V=(0,0,0),si ha P(V) =, perché in tal caso V non possiede sottospazi di

dimensione 1.

In termini di dimensione : dim V (sottospazio vettoriale di R

³

) =0 e quindi dim P(V) ( sottospazio proiettivo di P

²

) = dimV-1 = -1.

(  è uno spazio proiettivo di dimensione -1) .

Ci basta quindi studiare la caratteristica della matrice associata al sistema:























 1 0 2

1 1 1

2 0 1

= 3 ( il det è non nullo)

Allora il sistema ha solo la soluzione banale (0,0,0) e r

₀

r

₁

r

₂

= 

ESERCIZIO 3 .

      Intersezione di 2 rette in P²

In P

²

sono date le seguenti rette:

r

₀

: x

₀

-2 x

₁

=0, r

₁

: x

₀

+x

₁

- x

₂

=0, r

₂

: 2x

₀

-x

₂

=0.

Provare che i punti P

₀

= r

₁

r

₂

, P

₁

= r

₀

r

₂

, P

₂

= r

₀

r

₁

sono L.I.

 Intanto ricordiamo che in P

²

due rette hanno sempre intersezione non vuota.

A differenza di quanto accade nel piano affine in cui due rette parallele non si incontrano ! Nel proiettivo il concetto di parallelismo non esiste.

Lo vediamo studiando il sistema omogeneo di 2 eq.

ⁿⁱ

e 3 incognite : ha almeno 

¹

sol. e quindi nel proiettivo indi- vidua almeno un pto.

 r

1

r

2

è il sottospazio proiettivo, intersezione dei due sottospazi proiettivi r

1

ed r

2

ed è rappresentata in forma cartesiana dal sistema

r

1

r

2

:

 













0 x 2x

0 x x x

2 0

2 1

0

Le soluzioni (x

₀

, x

₁

, x

₂

) del sistema lineare omogeneo costituiscono un sottospazio vettoriale V

₀

di R

³

, di cui sappiamo determinare dimensione e base :



_



 







 1 0 2

1 1

1

=2 (le righe sono L.I.)

^n-

=

^3-2

=

¹

sol

ⁿⁱ

in R

³

(dim V

0

=1) del tipo <(a,b,c)> con (a,b,c) sol.

^ne

del sistema:

V0=<(1,1,2)> che in P² è il punto P0 =[1,1,2] .

( In P

²

dim P

0

=dim V

0

-1 = 0).

r

₀

r

₂

:

 











0 x 2x

0 2x x

2 0

1

0

, come sopra…, dim V

₁

=1, V

₁

= <(2,1,4)> , da cui P

₁

=[2,1,4] .

r

₀

r

₁

:

 













0 x x x

0 2x x

2 1 0

2

0

, idem …, dim V

₂

=1, V

2

= <(2, -1,1)> , da cui P

2

=[2,-1,1] .

Ora verifichiamo che i 3 pti P

0

=[1,1,2], P

1

=[2,1,4], P

2

=[2,-1,1] sono L.I. ( ossia non allineati)

Quindi in R

³

consideriamo v

0

=(1,1,2), v

1

=(2,1,4), v

2

=(2,-1,1).

Dicendo che i tre pti P

0

=[1,1,2], P

1

=[2,1,4], P

2

sono L.I

.

intendiamo che v

0

, v

1

, v

2

sono L.I. in R

³

.

v

0

, v

1

, v

2

sono L.I. in R

³

 (v

0

, v

1

, v

2

) =3

1 1 2

4 1 2

2 1 1



=

1 1 2

3 2 0

2 1 1



= 5+2(-1) =30 OK !

R2  R2 –R3

ESERCIZIO 4 .

Piano per 3 pti in P

³

Stabilire che per i punti A[0,0,0,1], B[1,1,-1,0], C[1,-2,2,1] di

P

³

(R) passa un unico piano  e determinarne una rappresen- tazione cartesiana e parametrica.

Nello spazio proiettivo tridimensionale P

³

si prova che se

Chi è L(P,Q,R) ?

E’ detto sottospazio proiettivo generato dai pti P,Q,R ed è l’intersezione di tutti i sottospazi proiettivi contenenti i 3 pti P,Q,R e quindi è il più piccolo sottospazio proiettivo di P

³

contenente i 3 pti P,Q,R ed è associato al sottospazio vettoriale <v

P

, v

Q

,v

R

> di R

⁴

, con [v

P

]=P, [v

Q

]=Q, [v

R

]=R Nel ns. caso i pti A,B,C sono L.I., essendolo i loro rappre- sentanti v

_A

, v

_B

, v

_C

in R

⁴

, dunque in R

⁴

si ha

<v

A

, v

B

,v

C

> =  av

A

+bv

B

+cv

C

| al variare di a,b,c R e

dim <(v

A

, v

B

,v

C

)> =3 e quindi dim L(P,Q,R) =2 in P

³

.

Ne segue che P,Q,R generano un piano, l’unico che li

contiene.

Calcoliamo la caratteristica dei rappresentanti dei 3 pti :



















 1 2 2 1

0 1 1 1

1 0 0 0



= 3 ( C

₃

=- C

₂

, det(C

₁

C

₂

C

₄

)  0 )

Quindi i 3 pti sono L.I. <=> i 3 pti NON sono allineati

0

1 2 2 1

0 1 1 1

1 0 0 0

x x x

x_{0 1 2 3}







 x

₀

(0)- x

₁

(3)+ x

₂

(-3) =0

Ritroviamo in altro modo, dalla teoria dei sistemi in R

⁴

, che tale sottospazio proiettivo ha dimensione 2 ( (n-)-1 = (4-1)-1 : la dimensione nel proiettivo scende di 1).

In P

ⁿ

i sottospazi di dim 2 si chiamano piani , son definiti da 1 eq. cart.

In R

⁴

v

_A

=(0,0,0,1) , v

_B

=(1,1,-1,0) , v

_C

= (1,-2,2,1),quindi il generico vettore v di <v

A

, v

B

,v

C

> è (x

0

, x

1

, x

2

, x

3

) t.c.







































c(1) b(0) a(1)

x

c(2) 1) b(

a(0) x

2) c(

b(1) a(0)

x

c(1) b(1) a(0)

x

3 2 1 0































c a x

2c b x

2c b x

c b x

3 2 1 0

Se interpretiamo ciò in P

³

abbiamo una rappresentazione pa- rametrica del sottospazio proiettivo L(A,B,C) costituito dai pti

P=[ x

0

, x

1

, x

2

, x

3

] t.c.





























c a x

2c b x

2c b x

c b x

3 2 1 0

Eq. param. con 3 parametri ( 3 sono i generatori di L(A,B,C)).

Eliminando i parametri ritroviamo l’eq. cart. x1+x2=0.

Molto più facilmente: un'altra rappr. param. di  è : x0=a,x1=b,x2=-b,x3=c , al variare di a, b,c in R : perchè?

al variare di a,b,c non tutti nulli e definiti a meno di un fattore di proporzionalità

 x

1

+ x

₂

=0 Eq. Cart. di 

al variare di a,b,cR, non tutti nulli

ESERCIZIO 5.

      

Sottospazi di R

ⁿ

- rappresentazione parametrica e cartesiana

a) Siano dati in R

⁴

i sottospazi

U=<(1,1,2,0),(0,1,1,2),(0,0,3,1)> e W=<(2,2,2,0),(0,0,2,1),(-1-1-,1,1)> .

Determinare dimensione ed equazioni cartesiane di U e W ( ricordando che le equazioni omogenee linearmente indi- pendenti in n incognite danno luogo a sottospazi di R

ⁿ

di dimensione n- ).

b) Determinare il sottospazio U  W in forma parametrica e cartesiana

 dim(U) = max n. generatori L.I.

Scriviamo i vettori che generano U in colonna



 









 







1 2 0

3 1 2

0 1 1

0 0 1

 = max n° colonne ( righe) L.I.=> dim(U) = 

 3 , ma il minore evidenziato è ≠0 =>=3=>dim(U) =3.

dim(U)= n-=3 => = n-3=4-3=1 => U è individuato da un'unica equazione in x,y,z,t.

U=<(1,1,2,0),(0,1,1,2),(0,0,3,1)> => per def. di sottospazio generato (span) il generico elemento di U è :

(x,y,z,t) = a(1,1,2,0)+b(0,1,1,2)+c(0,0,3,1) =>

 



 



































 



 



















t y x x y t x y x z

x y t c

x y b

x a

c b t

c b a z

b a y

a x

3 5 7 6 6 3 2

2 2 2

3

2

=> 7x-5y-z+3t=0 è eq.

^ne

cartesiana di U

 W=<(2,2,2,0),(0,0,2,1),(-1,-1,-1,1)>



























1 1 0

1 2 2

1 0 2

1 0 2



=3 => dim W=3

generico elemento di W :

(x,y,z,t)=a(2,2,2,0)+b(0,0,2,1)+c(-1,-1,-1,1)

 



 





















c b t

c b a z

c a y

c a x

2 2 2 2

=>x-y=0 (eliminando i parametri) è eq.

^ne

cart. di W ( si può trovare ad 'occhio' se si nota che i 3 generatori di W hanno la prima e la seconda componente uguali )

b) U  W è sottospazio di rappresentazione cartesiana

 

 y  0 - x

0

= 3t + z - 5y - 7x

Soluzione del sistema: (x,x, 2x+3t,t) al variare di x, t in R, ossia una rappresentazione parametrica di UW è

 



 













b t

b a z

a y

a x

3 2

dim(W)= n-= 3=>

= n-3=4-3=1 => W è individuato da un'unica equazione in x,y,z,t.

Quindi una base di U  W è

(1,1,2,0),(0,0,3,1)

ottenuta risp. per a=1,b=0 e a=0,b=1.

=> dim UW=2