o s sp pa az zi io o v ve et tt to or ri ia al le e R R

Lo

L

o s sp pa az zi io o v ve et tt to or ri ia al le e R R

ⁿⁿ

Di

D

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So

S

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So

S

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E-mail :baratter@dima.unige.it

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ESERCITAZIONE N.1

1 marzo 2010

D

EFINIZIONE

1: R

ⁿ:=

(a

1

,a

₂

,...,a

_n

) | a

_i

R

^.

R : pensiamo ai numeri reali come pti della retta

R

²

: " alle coppie ordinate (a,b) come pti del piano R

³

: " alle coppie ordinate (a,b,c) come pti dello spazio.

Ma possiamo anche utilizzare questa corrispondenza biunivoca ( ad es. in R

²

)

pti del piano { vettori del piano applicati nell'origine

P(a,b)  v

O

PERAZIONI ALGEBRICHE SU

R

ⁿ

S

OMMA

: se v

₁

= (a

₁

,a

₂

,...,a

_n

), v

₂

= (b

₁

,b

₂

,...,b

_n

)  R

ⁿ

, allora v

1

+ v

2

= (a

1

+ b

1

,a

2

+ b

2

,...,a

n

+ b

n

)

M

OLTIPLICAZIONE

P

ER

S

CALARE

: se v

1

=(a

1

,a

2

,...,a

n

) R

ⁿ

, R, allora v

1

= (a

1

, a

2

,..., a

n

)

Usando le due operazioni possiamo dare la seguente Definizione2.

Dati u

1

, ...,u

s

vettori di R

ⁿ

e 

1

,..., 

s

numeri reali, il vettore

u=  u +...+ u

x v P(a,b) O

y

[fissata un'unità di misura sugli assi ]

Da ricordare che per le 2 operazioni definite su R

ⁿ

valgono i seguenti assiomi ( in tal caso si dice che R

ⁿ

ha struttura di R-spazio vettoriale):

Esempi

1. In R

³

(1,0,2) è C.L. di (2,0,2) e (0,0,3) ? sì : (1,0,2) = 1/2 (2,0,2)+1/3(0,0,3) 2. In R

²

(3,2) è C.L. di (2,3) ?

no : (3,2)=a(2,3) => 3=2a e 2=3a : assurdo

3. In R

⁴

se u,v,w,z sono vettori t.c. 2u-3v=w-4z, allora è vero che u è C.L. di v,w,z ?

sì: 2u= w-4z+3v => u= 1/2 w - 2z + 3/2v

B) Il sottoinsieme che consiste di TUTTE le combinazioni lineari dei vettori u

1

, ...,u

s

sarà denotato < u

1

, ...,u

s

> e viene chiamato l'insieme dei vettori GENERATO da u

1

, ...,u

s

ed S= u

1

, ...,u

_s

 è detto insieme dei generatori.

In R

ⁿ

l'insieme < u

₁

, ...,u

_s

> gode della seguente

P

ROPRIETÀ

. Se u

1

, ...,u

s

 R

ⁿ

e W=< u

1

, ...,u

s

> , allora W ha le seguenti proprietà :

i) se w

₁

e w

₂

sono elementi di W allora anche w

₁

+ w

₂

è elemento di W

ii) se w  W e   R allora  w  W

Gli insiemi che soddisfano questa proprietà si chiamano

sottospazi di R

ⁿ

. Quindi < u

₁

, ...,u

_s

> è sottospazio di R

ⁿ

.

ESERCIZIO 1.

Sottospazi generati da un vettore in R

²

Si consideri il sottospazio V={t(a,b)|tR} di R² ( si indica anche L(v) con v=(a,b) oppure <(a,b)>).

Disegnare V e determinare un’equazione che lo rappresenta nei seguenti casi :

1) (a,b) = (1,0) 2) (a,b) =(-1,2)

1) V={t(a,b)|tR} ={t(1,0)|tR}

I pti di V sono del tipo (t,0) al variare di t in R, ossia x= t, y=0 al variare di t in R

2) (a,b)=(-1,2) : V={t(a,b)|tR} ={t(-1,2)|tR}

x= -t, y=2t sono i pti di V , t R

O

P=(1,0)

y - ogni pto (t,0) di V soddisfa

y=0

- ogni pto che soddisfa y=0 è del tipo (a,0),con aR e come tale sta in V . E' la retta di equazione y=0

Un’equazione che soddisfa (-t,2t) è : y=-2x ,cioè 2x+y=0.

E viceversa ogni pto che soddisfa 2x+y=0 è del tipo (a,-2a) o equivalentemente (-a,2a), e quindi sta in V.

-2 è il coeff. ang. della retta

ESERCIZIO 2.

Sottospazi generati da un vettore in R

³

Sia dato V={t(1,1,2)|tR}  R

³

.

a) verificare che V è sottospazio di R

³

b) determinare le equazioni essenziali che descrivono V c) disegnare V

a) I Proprietà: se v

1

, v

2

 V allora v

1

+v

2

 V

v

1

= (t,t,2t), v

2

= (r,r,2r) sono elementi di V

 v

1

+v

2

= (t,t,2t)+ (r,r,2r) ( def. di somma in R

ⁿ

) = (t+r,t+r,2(t+r))  V ok !

II Proprietà: se v V , t R allora tv V

v= (t,t,2t) V

 tv = (tv,tv,2(tv))  V ok!

( def. di prodotto per uno scalare in R

ⁿ

)

b) V={t(1,1,2)|tR}  R

³

=> x=t, y=t,z=2t , tR

Diciamo che :

sono le equazioni essenziali che descrivono V

Perché ?

 Il pto (t,t,2t) di V soddisfa

e

 la soluzione di è del tipo (a,a,2a), e quindi appartiene a V .

N.B. L’equazione z=2y è superflua perché è conseguenza di quelle date.







 z 2x

y x







 z 2x

y x







 z 2x

y x

t=0 => O=(0,0,0) t=1=> A=(1,1,2) E’ la retta per O,A

x

y z

O

A

ESERCIZIO 3.

Sottospazi di R

²

generati da 2 vettori per l’origine

Sia V=<u,v> il sottospazio di R

²

generato dai vettori u, v Stabilire nei seguenti casi se V=R

²

e in caso affermativo darne una prova algebrica.

a) u=(-3,1), v=(

₂^3,₂¹

) b) u=(1,-2), v=(1,1)

V=<u,v> è il sottospazio di R

²

generato ( spanned) da u,v = wR

²

| w =au+bv, a bR 

V=<u> = wR

²

| w =au, a R 

Ricordiamo che i vettori u

₁

, ...,u

_n

si dicono linearmente di- pendenti (L.D.) se almeno uno di essi è C.L. degli altri. In caso contrario si dicono linearmente indipendenti (L.I.)

_v

u

O x

y

a)

<u, v>=<u>=<v>

v=^1₂^u  u,v L.D.

 <u>=<v>

 retta per O, A(-3,1) coincide con

retta per O, B

(

₂^3,₂¹

)

Ma vediamo la prova algebrica.

<u,v> = wR² | w =a(1,-2)+b(1,1), a,bR 

= wR² | w = (a,-2a)+(b,b), a,bR  (prod. est.) = wR² | w = (a+b,-2a+b) a,bR  (somma)  w=(x,y) = (a+b,-2a+b)

 (posto w=(x,y))















b 2a y

b a

x le incognite sono a,b

 (R1-R2) :

  







 b 2a y

a 3 y -

x 









 







3 y 2x 3

y - 2x y b

3 a y - x

v y

u

O x

b)

u, v NON allineati  u,v L.I.

 <u>≠<v>

<u,v>=wR²|w=au+bv,a,bR  = ?

Intuitivamente dal pto di vista geometrico è chiaro che qualunque vettore di R² si consideri, tramite la regola del parallelogramma, si può decomporre in due vettori, ciascuno dei quali è parallelo con u ( risp. v) e quindi del tipo au ( risp. bv).

Quindi ogni vettore del piano si può scrivere come somma di au+bv e si conclude

<u,v> = R² .

ESERCIZIO 4.

Sottospazi

a) A=(x,y,z)R³ x+z=y=x+y-z=0 è sottospazio di R³ ?

b) B=

(3s,1+5s)|sR è sottospazio di R² ?

c)

C= (2t,0,-t)| tR è sottospazio di R³ ?

d)

D= (a-3b,b-a,b,a)| a,bR è sottospazio di R⁴ ?

e) W=(a-b,b-c,c-a,b)a,b,c,d R

è sottospazio di R⁴ ?

Chi sono i sottospazi di Rⁿ ?

 Abbiamo richiamato prima la nozione di sottospazio V di Rⁿ un sottoinsieme di Rⁿ chiuso rispetto all’addizione di vettori e alla moltiplicazione di un vettore per uno scalare

( u,v  V  u+v V ; R, u V   u V )

Come si riconoscono i sottospazi di Rⁿ ?

 sottoinsiemi generati da vettori <v1, v₂,…, v_s> ( tutte le possibili C.L. di v₁, v₂,…, v_s )

 un'altra caratterizzazione la vedremo in seguito ...

a)



















0 0

0 z y x y

z x

In questo caso notiamo che (0,0,0) è l’unica soluzione : il sistema rappresenta l’origine di R³ : il più

3

b) Usiamo la definizione di sottospazio:

se B è sottospazio allora

=0, u=(x,y)B u=0(x,y)=(0,0)B.

Qui (3s,1+5t) =(0,0) 









 0 5 1

0 3

s

s 







 0 1 s 0

assurdo ! B non è sottospazio di R²

c) (2t,0,-t) = t(2,0,-1)  C =<(2,0,-1)> sottospazio generato da (2,0,-1)

d)

(a-3b,b-a,b,a) = a( , , , ) +b( , , , ) = a(1,-1,0,1) +b(-3,1,1,0)

 D = <(1,-1,0,1), (-3,1,1,0) >, che sappiamo essere sottospazio di R⁴.

e) Vediamo di scrivere il generico elemento di W come C.L.

di vettori di R

⁴

.

(a-b,b-c,c-a,b) =a(1,0,-1,0)+b(-1,1,0,1)+c(0,-1,1,0) Sì, allora W è sottospazio di R

⁴

.

ESERCIZIO 5.

Elementi L.I.

Stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono L.I.

a) in R³ (1,6,7), (2,0,9), (1,3,4), (3,1,5)

b) in R³ (1,3,5), (1,1,7), (0,0,0)

c) in R⁴ (-2,4,6,8), (3,-6,-9,10).

d) in R⁴  (1,2,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,1) .

a) Siamo in R³ e abbiamo 4 vettori ( 4>3).

In R³ i 3 vettori e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) generano R³ ossia <e₁,e₂,e₃> = R³. Infatti ogni vettore (x,y,z) di R³ si può scrivere come C.L. di e₁, e_2, e₃ :

(x,y,z) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).

Possiamo usare il Lemma di Steinitz secondo cui, in uno spazio vettoriale V dotato di un insieme di generatori costituito da m elementi, un qualsiasi sottoinsieme di V costituito da un numero di elementi maggiore di m è linearmente dipendente.

Nel ns. caso abbiamo 4>3= n° elementi che generano R³ , quindi l'insieme dato è L.D.

b) (1,3,5), (1,1,7), (0,0,0) è L.D. poichè contiene lo zero di R³ : (0,0,0) = 0(1,3,5)+0(1,1,7)

c) (-2,4,6,8), (3,-6,-9,10) :v2 = -3/2 v1 per le prime 3 compo- nenti, ma non per la quarta => v₂ non è multiplo di v₁=>

l'insieme dato è L.I.

d)  (1,2,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,1) =S

Si può procedere con la tecnica degli scarti successivi:

 (1,2,1,0), (1,0,0,1) sono L.I. ? sì non sono uno multiplo dell'altro.

 (0,1,1,1) è C.L. dei primi due vettori ? Se sì allora S è L.D., se no S è L.I.

Altrimenti usando la definizione espressa così :

In uno spazio vettoriale V, l'insieme S= v1, ..., v_s è linear- mente dipendente se esistono 1, ..., s non tutti nulli, tali che 1 v₁+ ...+ s v_s =0_V

altrimenti S è detto linearmente indipendente.

Nel ns. caso studiamo :

a(1,2,1,0)+b (1,0,0,1)+c(0,1,1,1)=(0,0,0,0)

Applichiamo le nostre 2 operazioni di somma e moltiplicazione esterna (per scalari) e uguagliamo componente per compo- nente:

























0 0 0 2

0

c b

c a

c a

b a

=> ... a=b=c=d=0 => S è L.I.