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ESERCITAZIONE N.1
1 marzo 2010D
EFINIZIONE1: R
n:=(a
1,a
2,...,a
n) | a
iR
.R : pensiamo ai numeri reali come pti della retta
R
2: " alle coppie ordinate (a,b) come pti del piano R
3: " alle coppie ordinate (a,b,c) come pti dello spazio.
Ma possiamo anche utilizzare questa corrispondenza biunivoca ( ad es. in R
2)
pti del piano { vettori del piano applicati nell'origine
P(a,b) v
O
PERAZIONI ALGEBRICHE SUR
nS
OMMA: se v
1= (a
1,a
2,...,a
n), v
2= (b
1,b
2,...,b
n) R
n, allora v
1+ v
2= (a
1+ b
1,a
2+ b
2,...,a
n+ b
n)
M
OLTIPLICAZIONEP
ERS
CALARE: se v
1=(a
1,a
2,...,a
n) R
n, R, allora v
1= (a
1, a
2,..., a
n)
Usando le due operazioni possiamo dare la seguente Definizione2.
Dati u
1, ...,u
svettori di R
ne
1,...,
snumeri reali, il vettore
u= u +...+ u
x v P(a,b) O
y
[fissata un'unità di misura sugli assi ]
Da ricordare che per le 2 operazioni definite su R
nvalgono i seguenti assiomi ( in tal caso si dice che R
nha struttura di R-spazio vettoriale):
Esempi
1. In R
3(1,0,2) è C.L. di (2,0,2) e (0,0,3) ? sì : (1,0,2) = 1/2 (2,0,2)+1/3(0,0,3) 2. In R
2(3,2) è C.L. di (2,3) ?
no : (3,2)=a(2,3) => 3=2a e 2=3a : assurdo
3. In R
4se u,v,w,z sono vettori t.c. 2u-3v=w-4z, allora è vero che u è C.L. di v,w,z ?
sì: 2u= w-4z+3v => u= 1/2 w - 2z + 3/2v
B) Il sottoinsieme che consiste di TUTTE le combinazioni lineari dei vettori u
1, ...,u
ssarà denotato < u
1, ...,u
s> e viene chiamato l'insieme dei vettori GENERATO da u
1, ...,u
sed S= u
1, ...,u
s è detto insieme dei generatori.
In R
nl'insieme < u
1, ...,u
s> gode della seguente
P
ROPRIETÀ. Se u
1, ...,u
s R
ne W=< u
1, ...,u
s> , allora W ha le seguenti proprietà :
i) se w
1e w
2sono elementi di W allora anche w
1+ w
2è elemento di W
ii) se w W e R allora w W
Gli insiemi che soddisfano questa proprietà si chiamano
sottospazi di R
n. Quindi < u
1, ...,u
s> è sottospazio di R
n.
ESERCIZIO 1.
Sottospazi generati da un vettore in R
2Si consideri il sottospazio V={t(a,b)|tR} di R2 ( si indica anche L(v) con v=(a,b) oppure <(a,b)>).
Disegnare V e determinare un’equazione che lo rappresenta nei seguenti casi :
1) (a,b) = (1,0) 2) (a,b) =(-1,2)
1) V={t(a,b)|tR} ={t(1,0)|tR}
I pti di V sono del tipo (t,0) al variare di t in R, ossia x= t, y=0 al variare di t in R
2) (a,b)=(-1,2) : V={t(a,b)|tR} ={t(-1,2)|tR}
x= -t, y=2t sono i pti di V , t R
O
P=(1,0)
y - ogni pto (t,0) di V soddisfa
y=0
- ogni pto che soddisfa y=0 è del tipo (a,0),con aR e come tale sta in V . E' la retta di equazione y=0
Un’equazione che soddisfa (-t,2t) è : y=-2x ,cioè 2x+y=0.
E viceversa ogni pto che soddisfa 2x+y=0 è del tipo (a,-2a) o equivalentemente (-a,2a), e quindi sta in V.
-2 è il coeff. ang. della retta
ESERCIZIO 2.
Sottospazi generati da un vettore in R
3Sia dato V={t(1,1,2)|tR} R
3.
a) verificare che V è sottospazio di R
3b) determinare le equazioni essenziali che descrivono V c) disegnare V
a) I Proprietà: se v
1, v
2 V allora v
1+v
2 V
v
1= (t,t,2t), v
2= (r,r,2r) sono elementi di V
v
1+v
2= (t,t,2t)+ (r,r,2r) ( def. di somma in R
n) = (t+r,t+r,2(t+r)) V ok !
II Proprietà: se v V , t R allora tv V
v= (t,t,2t) V
tv = (tv,tv,2(tv)) V ok!
( def. di prodotto per uno scalare in R
n)
b) V={t(1,1,2)|tR} R
3=> x=t, y=t,z=2t , tR
Diciamo che :
sono le equazioni essenziali che descrivono V
Perché ?
Il pto (t,t,2t) di V soddisfa
e
la soluzione di è del tipo (a,a,2a), e quindi appartiene a V .
N.B. L’equazione z=2y è superflua perché è conseguenza di quelle date.
z 2x
y x
z 2x
y x
z 2x
y x
t=0 => O=(0,0,0) t=1=> A=(1,1,2) E’ la retta per O,A
x
y z
O
A
ESERCIZIO 3.
Sottospazi di R
2generati da 2 vettori per l’origine
Sia V=<u,v> il sottospazio di R
2generato dai vettori u, v Stabilire nei seguenti casi se V=R
2e in caso affermativo darne una prova algebrica.
a) u=(-3,1), v=(
23,21) b) u=(1,-2), v=(1,1)
V=<u,v> è il sottospazio di R
2generato ( spanned) da u,v = wR
2| w =au+bv, a bR
V=<u> = wR
2| w =au, a R
Ricordiamo che i vettori u
1, ...,u
nsi dicono linearmente di- pendenti (L.D.) se almeno uno di essi è C.L. degli altri. In caso contrario si dicono linearmente indipendenti (L.I.)
v
u
O x
y
a)
<u, v>=<u>=<v>
v=12u u,v L.D.
<u>=<v>
retta per O, A(-3,1) coincide con
retta per O, B
(
23,21)
Ma vediamo la prova algebrica.
<u,v> = wR2 | w =a(1,-2)+b(1,1), a,bR
= wR2 | w = (a,-2a)+(b,b), a,bR (prod. est.) = wR2 | w = (a+b,-2a+b) a,bR (somma) w=(x,y) = (a+b,-2a+b)
(posto w=(x,y))
b 2a y
b a
x le incognite sono a,b
(R1-R2) :
b 2a y
a 3 y -
x
3 y 2x 3
y - 2x y b
3 a y - x
v y
u
O x
b)
u, v NON allineati u,v L.I.
<u>≠<v>
<u,v>=wR2|w=au+bv,a,bR = ?
Intuitivamente dal pto di vista geometrico è chiaro che qualunque vettore di R2 si consideri, tramite la regola del parallelogramma, si può decomporre in due vettori, ciascuno dei quali è parallelo con u ( risp. v) e quindi del tipo au ( risp. bv).
Quindi ogni vettore del piano si può scrivere come somma di au+bv e si conclude
<u,v> = R2 .
ESERCIZIO 4.
Sottospazi
a) A=(x,y,z)R3 x+z=y=x+y-z=0 è sottospazio di R3 ?
b) B=
(3s,1+5s)|sR è sottospazio di R2 ?c)
C= (2t,0,-t)| tR è sottospazio di R3 ?d)
D= (a-3b,b-a,b,a)| a,bR è sottospazio di R4 ?e) W=(a-b,b-c,c-a,b)a,b,c,d R
è sottospazio di R4 ?Chi sono i sottospazi di Rn ?
Abbiamo richiamato prima la nozione di sottospazio V di Rn un sottoinsieme di Rn chiuso rispetto all’addizione di vettori e alla moltiplicazione di un vettore per uno scalare
( u,v V u+v V ; R, u V u V )
Come si riconoscono i sottospazi di Rn ?
sottoinsiemi generati da vettori <v1, v2,…, vs> ( tutte le possibili C.L. di v1, v2,…, vs )
un'altra caratterizzazione la vedremo in seguito ...
a)
0 0
0 z y x y
z x
In questo caso notiamo che (0,0,0) è l’unica soluzione : il sistema rappresenta l’origine di R3 : il più
3
b) Usiamo la definizione di sottospazio:
se B è sottospazio allora
=0, u=(x,y)B u=0(x,y)=(0,0)B.
Qui (3s,1+5t) =(0,0)
0 5 1
0 3
s
s
0 1 s 0
assurdo ! B non è sottospazio di R2
c) (2t,0,-t) = t(2,0,-1) C =<(2,0,-1)> sottospazio generato da (2,0,-1)
d)
(a-3b,b-a,b,a) = a( , , , ) +b( , , , ) = a(1,-1,0,1) +b(-3,1,1,0) D = <(1,-1,0,1), (-3,1,1,0) >, che sappiamo essere sottospazio di R4.
e) Vediamo di scrivere il generico elemento di W come C.L.
di vettori di R
4.
(a-b,b-c,c-a,b) =a(1,0,-1,0)+b(-1,1,0,1)+c(0,-1,1,0) Sì, allora W è sottospazio di R
4.
ESERCIZIO 5.
Elementi L.I.
Stabilire se i seguenti insiemi di vettori sono L.I.
a) in R3 (1,6,7), (2,0,9), (1,3,4), (3,1,5)
b) in R3 (1,3,5), (1,1,7), (0,0,0)
c) in R4 (-2,4,6,8), (3,-6,-9,10).
d) in R4 (1,2,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,1) .
a) Siamo in R3 e abbiamo 4 vettori ( 4>3).
In R3 i 3 vettori e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) generano R3 ossia <e1,e2,e3> = R3. Infatti ogni vettore (x,y,z) di R3 si può scrivere come C.L. di e1, e2, e3 :
(x,y,z) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1).
Possiamo usare il Lemma di Steinitz secondo cui, in uno spazio vettoriale V dotato di un insieme di generatori costituito da m elementi, un qualsiasi sottoinsieme di V costituito da un numero di elementi maggiore di m è linearmente dipendente.
Nel ns. caso abbiamo 4>3= n° elementi che generano R3 , quindi l'insieme dato è L.D.
b) (1,3,5), (1,1,7), (0,0,0) è L.D. poichè contiene lo zero di R3 : (0,0,0) = 0(1,3,5)+0(1,1,7)
c) (-2,4,6,8), (3,-6,-9,10) :v2 = -3/2 v1 per le prime 3 compo- nenti, ma non per la quarta => v2 non è multiplo di v1=>
l'insieme dato è L.I.
d) (1,2,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,1) =S
Si può procedere con la tecnica degli scarti successivi:
(1,2,1,0), (1,0,0,1) sono L.I. ? sì non sono uno multiplo dell'altro.
(0,1,1,1) è C.L. dei primi due vettori ? Se sì allora S è L.D., se no S è L.I.
Altrimenti usando la definizione espressa così :
In uno spazio vettoriale V, l'insieme S= v1, ..., vs è linear- mente dipendente se esistono 1, ..., s non tutti nulli, tali che 1 v1+ ...+ s vs =0V
altrimenti S è detto linearmente indipendente.
Nel ns. caso studiamo :
a(1,2,1,0)+b (1,0,0,1)+c(0,1,1,1)=(0,0,0,0)
Applichiamo le nostre 2 operazioni di somma e moltiplicazione esterna (per scalari) e uguagliamo componente per compo- nente:
0 0 0 2
0
c b
c a
c a
b a
=> ... a=b=c=d=0 => S è L.I.