Esercizi di Algebra Lineare Superfici rigate
Anna M. Bigatti 29 ottobre 2012
Definizione 1. Una superficie rigata `e una superficie tale che per ogni suo punto passa una retta interamente contenuta nella superficie.
In particolare, una superficie che ha una rappresentazione parametrica del tipo
x = g1(t) · u + f1(t) y = g2(t) · u + f2(t) z = g3(t) · u + f3(t)
`e rigata: infatti, fissato un qualunque punto P sulla superficie ottenuto per t = α e u = β , la retta
rα: (g1(α) · u + f1(α), g2(α) · u + f2(α), g3(α) · u + f3(α)) sta sulla superficie e passa per P .
Cilindri
Definizione 2. Un cilindro `e una superficie luogo di rette (chiamate generatrici) parallele a un vettore fissato. Una curva che giace sul cilindro e interseca tutte le generatrici si dice direttrice del cilindro.
Se C : (f1(t), f2(t), f3(t)) `e una curva, una rappresentazione parametrica del cilindro che ha direttrice C e generatrici parallele a (l, m, n) `e data da
x = l · u + f1(t) y = m · u + f2(t) z = n · u + f2(t)
Fissato t si ottiene una generatrice, fissato u una direttrice (per u = 0 si ottiene C ).
Esempio 3. Un’equazione f (x, y) = 0 (indipendente da z ) `e, nello spazio, una rappre- sentazione cartesiana di un cilindro con generatrici parallele al vettore (0, 0, 1) : infatti se P (α, β, γ) `e un punto che la verifica, allora tutti i punti (α, β, t) (punti sulla retta per P parallela all’asse z ) la verificano.
Definizione 4. Data una curva C , un piano π , e un vettore v non parallelo a π , la proiezione di C su π lungo la direzione v `e la curva intersezione di π con il cilindro che ha direttrice C e generatrici parallele a v . Se v `e perpendicolare a π si ha una proiezione ortogonale.
Figura 1: proiezione orto- grafica
Se C : f (x, y, z) = g(x, y, z) = 0 , una rappresentazione cartesiana del cilindro che proietta C ortogonalmente sul piano xy si pu`o ottenere eliminando la z dalle due equazioni.
Esercizio 5. Sia S la superficie di equazione x2+ y3+ 2xz = 0 . (a) Mostrare che A(1, −1, 0) ∈ S e trovare le rette, se esistono,
passanti per A che giacciono su S .
(b) Mostrare che O(0, 0, 0) ∈ S e trovare le rette, se esistono, passanti per O che giacciono su S .
(c) Trovare la proiezione ortogonale della curva C :
x + y − z = 0 x2+ y3+ 2xz = 0 sul piano π : y + 2z = 0 .
Soluzione
Use QQ[x,y,z, a,b,c, t,s];
S := x^2 + y^3 + 2*x*z;
(a) A := [1,-1,0];
-- verifico A appartiene a S:
subst(S, [[x,A[1]], [y,A[2]], [z,A[3]]]); --> 0 vero -- retta per A parallela a V, vettore generico
V := [a,b,c];
R := t*V + A; R; --> [a*t +1, b*t -1, c*t]
-- impongo che R soddisfi l’equazione di S subst(S, [[x,R[1]], [y,R[2]], [z,R[3]]]);
--> b^3*t^3 +a^2*t^2 -3*b^2*t^2 +2*a*c*t^2 +2*a*t +3*b*t +2*c*t -- e’ identicamente il polinomio nullo quando sono soddifatte:
-- b^3=0 a^2 -3*b^2 +2*a*c=0 2*a +3*b +2*c=0 -- quindi per b=0 a^2 +2*a*c=0 2*a +2*c=0 --> soddisfatte solo per il vettore nullo
-- Allora non ci sono rette per A su S (b) -- verifico O appartiene a S
subst(S, [[x,0], [y,0], [z,0]]); --> 0
-- retta per O parallela a V, vettore generico V := [a,b,c];
R := t*V; R; --> [a*t, b*t, c*t]
-- impongo che soddisfi l’equazione di S subst(S, [[x,R[1]], [y,R[2]], [z,R[3]]]);
--> b^3*t^3 +a^2*t^2 +2*a*c*t^2
-- e’ identicamente il polinomio nullo per
-- b^3=0 e a^2 +2ac=0, quindi per b=0 e a(a +2c)=0
R1 := t*[0,0,1];
R2 := t*[-2,0,1];
-- verifico:
subst(S, [[x,R1[1]], [y,R1[2]], [z,R1[3]]]); --> 0 subst(S, [[x,R2[1]], [y,R2[2]], [z,R2[3]]]); --> 0
(c) Costruisco il cilindro che ha direttrice C e generatrici perpendicolari a π .
P := [a,b,c]; -- punto generico della curva: soddisfa l’equazione di C subst(x+y-z, [[x,P[1]], [y,P[2]], [z,P[3]]]); --> a +b -c = 0
subst(S, [[x,P[1]], [y,P[2]], [z,P[3]]]); --> b^3 +a^2 +2*a*c = 0 -- retta passante per P e perpendicolare al piano pi:
-- forma parametrica
V := [0,1,2]; -- vettore ortogonale a pi Pr := P + t*V; Pr; --> [a, b +t, c +2*t]
-- forma cartesiana
U := [1,0,0]; W := [0,-2,1]; -- vettori paralleli a pi X := [x,y,z];
ScalarProduct(X-P, U); --> x-a
ScalarProduct(X-P, W); --> -2*y +z +2*b -c
Al variare di P su C queste rette descrivono il cilindro cercato. Confrontiamo le costru- zioni ottenute dalla forma cartesiana o parametrica delle generatrici:
Forma cartesiana: (come nelle dispense)
P ∈ C
P ∈ r ⊥ π−→
a2+ b3+ 2ac = 0 a + b − c = 0 x − a = 0
−2y + z + 2b − c = 0
−→
a2+ b3+ 2ac = 0 a + b − c = 0 a = x
c = −2y + z + 2b
−→
a2+ b3+ 2ac = 0 b = x + 2y − z a = x
c = −2y + z + 2b Forma parametrica: un’equazione e un parametro ( t ) in pi`u
P ∈ C
P ∈ r ⊥ π−→
a2+ b3+ 2ac = 0 a + b − c = 0 x = a y = b + t z = c + 2t
−→
a2+ b3+ 2ac = 0 a + b − c = 0 a = x b = y − t c = z − 2t
−→
a2+ b3+ 2ac = 0 t = −x − y + z a = x
b = x + 2y − z c = 2x + 2y − z Per “eliminare” i parametri a, b, c (e t ) li ricavo in funzione di x, y, z dalle equazioni lineari ( (a, b, c) = (x, x + 2y − z, 2x + 2y − z) ) e poi li sostituisco nella prima equazione.
Quella che otteniamo `e l’equazione cartesiana del cilindro.
(Notiamo che in questo esercizio siamo “fortunati” perch`e l’equazione della curva contiene un’equazione lineare che ci permette di ricavare i parametri in funzione di x, y, z . In generale pu`o essere difficile)
Conclusione: La proiezione ortogonale su π `e ottenuta intersecando il cilindro con π
x2+ (x + 2y − z)3+ 2x(2x + 2y − z) = 0 y + 2z = 0
u t
Coni
Definizione 6. Un cono `e una superficie luogo di rette (chiamate generatrici) passanti per un punto V detto vertice del cono.
Una superficie S `e quindi un cono se esiste un punto V su S tale che per ogni altro punto P di S la retta V P `e contenuta in S . Se C : (f1(t), f2(t), f3(t)) `e una curva, una rappresentazione parametrica del cono che ha C come direttrice e vertice V (α, β, γ) `e
x = (f1(t) − α) · u + α y = (f2(t) − β) · u + β z = (f3(t) − γ) · u + γ
Fissato t si ottiene una generatrice, fissato u 6= 0 una direttrice (per u = 1 si ottiene C ).
Esempio 7. Il cono con vertice V (1, 2, −1) e direttrice C : (t3, t2, t) `e
x = (t3− 1)u + 1 y = (t2− 2)u + 2 z = (t + 1)u − 1
−→
x = ut3− u + 1 y = ut2− 2u + 2 z = ut + u − 1
Definizione 8. Una funzione f (x, y, z) `e omogenea di grado d ( 6= 0 ) se per ogni t ∈ R si ha f (tx, ty, tz) = td· f (x, y, z) . In particolare una funzione polinomiale `e omogenea di grado d se tutti i monomi del polinomio hanno grado d .
Un’equazione f (x, y, z) = 0 con f (x, y, z) funzione omogenea `e in generale la rappresentazione cartesiana di un cono con vertice O(0, 0, 0) :
infatti se P (a, b, c) `e un punto della super- ficie, cio`e soddisfa f (a, b, c) = 0 , allora tut- ti i punti della retta per O e P (ta, tb, tc) stanno sulla superficie:
Esempio 9. La superficie
S : x4+ 2xy3+ y4+ x2z2= 0
`e un cono con vertice nell’origine:
f (tx, ty, tz) =
= (tx)4+ 2(tx)(ty)3+ (ty)4+ 2(tx)2(tz)2=
= t4(x4+ 2xy3+ y4+ x2z2) = t4f (x, y, z) (f `e funzione omogenea di grado 4 ) e quindi S `e un cono con vertice O(0, 0, 0) .
Proiezioni prospettiche:
a. centrografica, b. stereografica, c. scenografica, d. ortografica
Osservazione: Se f `e una funzione omogenea in x − α, y − β, z − γ (per esempio f = (x − 1)3− (y − 3)2(z + 2) ) allora l’equazione f = 0 rappresenta un cono con vertice V (α, β, γ) .
Esercizio 10. Trovare la proiezione C0 della curva C : (t, t2, t3) sul piano π : x + y − z − 1 = 0 dall’origine.
Soluzione
tu + t2u − t3u − 1 = 0 , da cui u = 1/(t + t2− t3) ; sostituendo nelle equazioni del cono e semplificando si ha
C0: ( 1
1 + t + t2, t
1 + t + t2, t2 1 + t + t2)
u t
Superfici di rotazione
Definizione 11. Sia r una retta. Una superficie di rotazione di asse r `e una superficie luogo di circonferenze che hanno centro su r e sono contenute in piani ortogonali ad r .
Figura 2: Palasport di Genova Se C : (f1(t), f2(t), f3(t)) `e una curva, le circonferenze
della superficie generata dalla rotazione di C attorno alla retta r si possono determinare intersecando, per ogni t , il piano passante per P (f1(t), f2(t), f3(t)) e or- togonale a r con la sfera di centro C e raggio d(C, P ) , dove C `e un punto qualunque fissato su r . L’equazio- ne cartesiana si ottiene eliminando t tra l’equazione del piano e quella della sfera.
Esercizio 12. Trovare un’equazione cartesiana della superficie ottenuta facendo ruotare la retta
r : (2t, t + 1, −t) attorno all’asse x . Soluzione
X := [x,y,z];
Pr := [2*t,t+1,-t]; -- punto generico della curva (retta) r C := [0,0,0]; -- punto su asse x
V := [1,0,0]; -- vettore direzionale dell’asse x
-- piano passante per P e perpendicolare a asse x: forma cartesiana pi := ScalarProduct((X-Pr), V); pi; --> x -2*t
-- sfera di centro C e raggio CP:
Sf := ScalarProduct((X-C),(X-C)) - ScalarProduct((Pr-C),(Pr-C)); Sf;
--> x^2 +y^2 +z^2 -6*t^2 -2*t -1
-- l’intersezione di Sf=0 e pi=0 e’ la circonferenza data dalla -- rotazione di P intorno all’asse x
Al variare di P su r queste circonferenze descrivono la superficie cercata.
P ∈ r
P ∈ circ −→
x2+ y2+ z2− 6t2− 2t − 1
x − 2t = 0 −→
x2+ y2+ z2− 6t2− 2t − 1 t = x2
S := Subst(Sf, [[t, x/2]]); S;
-- (-x^2 +2*y^2 +2*z^2 -2*x -2)/2
-- La superficie cercata ha equazione S = 0 -- verifico r sta sulla superficie:
subst(S, [[x,P[1]], [y,P[2]], [z,P[3]]]); --> 0 -- verifico S intersecato piano x=0 e’ circonferenza:
subst(S, [[x,0]]); --> y^2 +z^2 -1
u t
