Esercizi di Algebra Lineare Distanze

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Esercizi di Algebra Lineare Distanze

Anna M. Bigatti 18 ottobre 2012

Distanza tra due punti

La distanza di due punti P e Q `e la lunghezza del segmento che li unisce. Basta quindi calcolare il modulo del vettore (P − Q) .

Distanza di un punto da una retta

La distanza di un punto P da una retta r , che indichiamo d(P, r) ,

`e la distanza di P dalla sua proiezione ortogonale ( H ) su r . Proposizione 1. Dato un punto Q ∈ r un vettore u ⊥ r tale che r, u, P siano complanari, si ha d(P, r) =|(P − Q) · u|

|u| .

q q

Q P

H u

3

r

@

Proposizione 2 (in R²).

Dati nel piano la retta r : ax + by + c = 0 e il punto P (x0, y0) si ha d(P, r) = |ax0+ by0+ c|

√a²+ b² . Proposizione 3 (in R³).

Dato un vettore v parallelo a r e un punto Q ∈ r si ha d(P, r) = |(P − Q) ∧ v|

|v| .

Esercizio 4. Sia data nello spazio la retta r : (3t, t − 2, 1 − t) . Determinare la distanza di P (0, 1, 2) da r .

Distanza di un punto da un piano

La distanza di un punto P da un piano π , che indichiamo d(P, π) , `e la distanza di P dalla sua proiezione ortogonale su π .

Proposizione 5. Dato un punto Q ∈ π un vettore u ⊥ π , si ha d(P, π) = |(P − Q) · u|

|u| .

Proposizione 6. Dati nello spazio il piano π : ax + by + cz + d = 0 e il punto P (x₀, y₀, z₀) , la distanza di P da π `e

d(P, π) = |ax0+ by0+ cz0+ d|

√a²+ b²+ c²

1

(2)

Esercizio 7. Dato il punto P (0, 1, 2) nello spazio reale, determinare (a) il piano passante per P e ortogonale alla retta x = y = z − 2 ; (b) un piano passante per P e parallelo alla retta x = y = z − 2 ; (c) il piano passante per P e parallelo al piano x − 3y + z = 0 ; (d) un piano passante per P e ortogonale al piano x − 3y + z = 0 ; (e) la distanza di P dal piano x − 3y + z = 0 ;

(f) la proiezione ortogonale di P sul piano x − 3y + z = 0 . Esercizio 8. Determinare

(a) un punto P che abbia distanza 3 dalla retta r :nx = 2y x = z + 1 (b) un punto Q che abbia distanza 2 dal piano π : 3x − 2y + z = 2 . (c) la distanza tra P e Q .

Distanza di due rette sghembe

La distanza tra due rette sghembe, che indichiamo d(r, s) , `e la distanza tra i due punti di intersezione di r e s con la comune perpendicolare.

Proposizione 9. Date due rette r e s nello spazio siano u , v due rispettivi vettori direzionali.

Presi due punti P ∈ r e Q ∈ s si ha d(r, s) = |(P −Q)·(u∧v)|

|(u∧v)| . Esercizio 10. Date le rette r : (t, 1 − t, 1 + 2t) e s : (t, t − 1, 1 + t)

(a) Calcolare la distanza d(r, s) e verificare su qualche esempio che la distanza tra un punto di r e un punto di s `e maggiore o uguale a d(r, s) .

(b) Trovare l la comune perpendicolare a r e s e mostrare che le intersezioni di l con r e s distano d(r, s) .

Soluzioni di alcuni esercizi

Esercizio 4: Soluzione

Un vettore direzionale di r `e v = (3, 1, −1) . Sia A un punto di r , scelgo quello che ottengo per t = 0 , cio`e A(0, −2, 1) . Allora

d(P, r) = ^{|(P −A)∧v|}_|v| = |(0,3,1)∧(3,1,−1)|

|(3,1,−1)| =|(−4,3,−9)|

√9+1+1 =

√16+9+81√

11 =

√106√ 11

11 =

√1166 11 . In CoCoA:

/**/ wedge([0,3,1], [3,1,-1]);

[-4, 3, -9]

/**/ ScalarProduct([-4, 3, -9], [-4, 3, -9]);

106

Impostazione alternativa: (per verifica)

Sia A un punto di r , scelgo quello che ottengo per t = 0 , cio`e A(0, −2, 1) .

Un vettore direzionale di r `e v = (3, 1, −1) . Un vettore ortogonale a r e complanare a v e

2

(3)

(P − A) `e u = ((P − A) ∧ v) ∧ v = ([6, −31, −13]) . Verifica: u ⊥ v : u · v = 18 − 31 + 13 = 0

Allora d(P, r) =^{|(P −A)·u|}_|u| =|(0,3,1)·(6,−31,−13)|

|(6,−31,−13)| = ^√¹⁰⁶

1166 = ¹⁰⁶

√1166 1166 =

√1166 11 . In CoCoA:

V := [3,1,-1];

PA := [0,3,1];

U := wedge(wedge(PA,V),V); U; --> [6, -31, -13]

ScalarProduct(PA, U); --> -106 ScalarProduct(U, U); --> 1166

u t Esercizio 10: Soluzione

(a) Un vettore direzionale di r è u = (1, −1, 2) , un vettore direzionale di s è v = (1, 1, 1) , un punto di r è P (0, 1, 1) , un punto di s è Q = (0, −1, 1) .

PQ := [0,1,1] - [0,-1,1]; PQ; --> [0, 2, 0]

U := [1,-1,2];

V := [1,1,1];

W := wedge(U,V); W; --> [-3, 1, 2]

ScalarProduct(PQ, W); --> 2 ScalarProduct(W, W); --> 14 Quindi d(r, s) = |(P −Q)·(u∧v)|

|(u∧v)| =^√²

14 =

√14 7 . Verifichiamo che d(P, Q) ≥ d(r, s) : 2 > ⁴₇ >

√14 7 .

Per A(1, 0, 2) ∈ s (per t = 1 ) d(P, A) ≥ d(r, s) : |(−1, 1, −1)| =√

3 > ⁴₇ >

√ 14 7 . (b) Scrivo il vettore tra due punti generici di r e s (cambio parametro a s )

w⁰ = (t, 1 − t, 1 + 2t) − (b, b − 1, 1 + b) = (t − b, 2 − t − b, 2t + b) e impongo che sia perpendicolare a r e s :

nw⁰⊥ u

w⁰⊥ v −→ (t − b, 2 − t − b, 2t + b) · (1, −1, 2) = 0 (t − b, 2 − t − b, 2t + b) · (1, 1, 1) = 0 Questi conti in CoCoA:

Use QQ[t,b, x,y,z];

-- punti generici su r e s Pr := [t, 1 - t, 1 + 2*t];

Ps := [b, b - 1, 1 + b];

W1 := Pr - Ps; W1; --> [t -b, -t -b +2, 2*t -b]

-- impongo la perpendicolarita’ con r e s ScalarProduct(W1, V); --> 2*t -3*b +2 ScalarProduct(W1, U); --> 6*t -2*b -2 -- risolvo il sistema

-- 2*t -3*b = -2 -- 6*t -2*b = 2

3

(4)

-- Per t=5/7 e b=8/7 ottengo i due punti di r e s -- appartenenti alla comune perpendicolare:

Qr := Subst(Pr, [[t, 5/7]]); Qr; --> [5/7, 2/7, 17/7]

Qs := Subst(Ps, [[b, 8/7]]); Qs; --> [8/7, 1/7, 15/7]

W3 := Qr-Qs; W3; --> [-3/7, 1/7, 2/7]

ScalarProduct(W3,W3); --> 2/7 Quindi la loro distanza `e q

2 7 =

√14

7 (come gi`a sapevamo!) e la comune perpendicolare

`

e la retta per Qr parallela a w ( k w3): (−3a + 5/7, a + 2/7, 2a + 17/7) .

u t

4