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1. Determinare la dimensione ed una base del seguente sistema lineare omogeneo

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Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Esami di profitto di Calcolo 2 - A. A. 2004-05 2 settembre 2005

1. Determinare la dimensione ed una base del seguente sistema lineare omogeneo

x + z + t + u = 0 y − t + 2u = 0 x − z + 2t + u = 0.

2. Determinare le radici quinte del seguente numero complesso

z =  1 2 + i 1

2

 1 + √ 3

4 + i 1 − √ 3 4

!

−1

.

3. Determinare il carattere della seguente serie

X

n=0

cos (n

2

+ 1) (n

2

+ n + 1) · ln(n + 4) .

4. Osservato che per ogni a ∈ R la funzione sin

2

x + y

2

+ 2axy ha un punto stazionario nell’origine O, determinare per quali valori di a il punto O ` e, rispet- tivamente, di massimo, di minimo e di sella.

5. Calcolare l’integrale

Z

E

sin(x + y) dxdy dove E ` e il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 2).

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy

y

0

= (x + y)

2

− x − y − 1

y(0) =

12

.

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