1. Risolvere la disequazione

Prova scritta di Matematica del 28/11/2002 A.A. 2002-2003

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione

2 e ^9t −7 ≤ 0 ] − ∞, ¹ ₉ log ⁷ ₂ ]

2. Data la funzione

f (x) = x (1 + 2 √

x) ² 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne gli eventuali limiti all’infinito;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;

5. disegnare un grafico approssimativo di f .

1. [0, +∞[

2. lim

x→+∞ f (x) = 1/4 3. f ⁰ (x) = 1

(1 + 2 √

x) ³ ; f `e crescente in [0, +∞[;

4. f ⁰⁰ (x) = − 3 (1 + 2 √

x) ⁴ √

x ; f `e concava in

[0, +∞[

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ e ^x se x < 0 ax + 1 se x ≥ 0 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

1. a > 0

2. f ⁻¹ :]0, +∞[→ R

f ⁻¹ (y) =

( log y se 0 < y < 1 y − 1

2 se y ≥ 1 3. a ∈ R

4. a = 1

Svolgimento completo

1

La disequazione `e equivalente a

2 e ^9t ≤ 7 ⇐⇒ e ^9t ≤ 7

2 ⇐⇒ 9t ≤ log 7

2 ⇐⇒ t ≤ 1 9 log 7

2 quindi l’insieme delle soluzioni `e l’intervallo S =] − ∞, ¹ ₉ log ⁷ ₂ ].

2

1. Poich`e la radice quadrata `e definita solo sull’insieme dei numeri reali non negativi allora occorre che x ≥ 0. Si osserva inoltre che il denominatore non si annulla mai. Dunque il dominio di f `e l’intervallo [0, +∞[.

2. Osservando che per ogni x ≥ 0 si ha x = ( √

x) ² , si pu`o scrivere

x→+∞ lim x (1 + 2 √

x) ² = lim

x→+∞

( √ x) ² (1 + 2 √

x) ² = lim

x→+∞

³ √

x 1 + 2 √

x

´ ₂ .

Ora si pu`o osservare che

√ x 1 + 2 √

x , che sta dentro le parentesi tonde, tende a 1/2; infatti se, ad esempio, se ne considera il reciproco allora si ha

x→+∞ lim 1 + 2 √

√ x

x = lim

x→+∞

³ 1 √ x + 2

´

= 2.

Ne consegue che

x→+∞ lim x (1 + 2 √

x) ² = lim

x→+∞

³ √

x 1 + 2 √

x

´ ₂

= ¡ 1 2

¢ 2

= 1 4 .

3. Calcoliamo la derivata di f utilizzando la formula di derivazione del quoziente. Si ha

f ⁰ (x) = (1 + 2 √

x) ² − x2(1 + 2 √

x) ² ₂ x ^−1/2 (1 + 2 √

x) ⁴ = 1 + 2 √

x − x2x ^−1/2 (1 + 2 √

x) ³ = 1

(1 + 2 √ x) ³ e quindi

f ⁰ (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0, +∞[, pertanto f `e crescente in tutto il suo dominio.

4. Per calcolare la derivata seconda di f conviene scrivere la derivata prima nella forma f ⁰ (x) = (1 + 2 √

x) ⁻³ .

Si ha quindi

f ⁰⁰ (x) = −3(1 + 2 √ x) ⁻⁴ 2

2 x ^−1/2 = − 3 (1 + 2 √

x) ⁴ √ x che `e sempre negativa, quindi f `e concava in tutto il dominio.

5. Un grafico approssimativo di f `e il seguente.

3

1. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):

Come si vede, la funzione risulta iniettiva, e quindi invertibile, per ogni a > 0.

2. Per a = 2 la funzione `e invertibile. Per determinare la legge della funzione inversa occorre risolvere le equazioni

y = e ^x per x < 0 e

y = 2x + 1 per x ≥ 0.

Avendosi

y = e ^x per x < 0 ⇐⇒ x = log y per log y < 0 ⇐⇒ x = log y per 0 < y < 1 e

y = 2x + 1 per x ≥ 0 ⇐⇒ x = y − 1

2 per y − 1

2 ≥ 0 ⇐⇒ x = y − 1

2 per y ≥ 1 allora f ⁻¹ :]0, +∞[→ R con legge

f ⁻¹ (y) =

½ log y se 0 < y < 1

y−1

2 se y ≥ 1

3. Per come `e definita, la funzione `e continua per ogni x 6= 0 qualunque sia a. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x = 0 occorre calcolare (se esiste) il lim x→0 f (x) e confrontarlo con f (0). Poich´e

x→0 lim

f (x) = lim

x→0

e ^x = 1

mentre

x→0 lim

f (x) = lim

x→0

(ax + 1) = 1 ∀ a ∈ R,

allora il limite per x → 0 esiste ed `e uugale a 1 = f (1) per ogni a ∈ R e pertanto f `e continua in tutti i punti di R qualunque sia a ∈ R.

4. Per come `e definita, la funzione `e derivabile per ogni x 6= 0 con derivata

f ⁰ (x) =

( e ^x se x < 0

a se x > 0 e si ha

x→0 lim

f ⁰ (x) = lim

x→0

a = a mentre

x→0 lim

f ⁰ (x) = lim

x→0

e ^x = 1,

pertanto f `e derivabile anche nel punto 0 e quindi in tutto R se e solo se a = 1.