MATEMATICA GENERALE VS I (primo semestre) Prof.ssa Elisabetta Michetti

MATEMATICA GENERALE VS I (primo semestre) Prof.ssa Elisabetta Michetti

A. DISEQUAZIONI A.1 Risolvere le seguenti disequazioni:

Soluzioni:

A.2 Risolvere le seguenti disequazioni:

Risultati:

A.3 Risolvere le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo

1. x³+2x²+4x≥0 2. x³+x²− − < x 1 0 3. 2x⁴−3x²≥ 0 4. x⁴− ≤1 0

A.4 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni

1.

2 2

3 2 2

3 3 1 0

( 2)( 3) 0

x x

x x

x x

⎧ − + ≥

⎪ − +

⎨⎪ + − ≤

⎩ 2.

2

3 2

1 0

4 3 0

x

x x x

⎧ − ≥

⎪⎨

− + >

⎪⎩

3.

4 2

2 2 4 0

2 1

1 0

x x

x

x x

⎧ + − ≤

⎪⎨ + − + >

⎪⎩

4.

2 2

2 1

2 10 0

1 1 2

x x

x x x

x

⎧ − + − ≥

⎪⎪ + +

⎨ +

⎪ >

⎪ −⎩

B. DOMINIO B.1 Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

Risultati:

B.2 Determinare il dominio delle seguenti funzioni

1.

2 3 2

ln( 1)

x x

y x

− − −

= −

2.

2 2

1 1

ln(4 8) 2

y x x

x x

= − − + +

+ 3.

2

3 2

ln( 9)

2 3

y x

x x x

= −

+ −

4.

2 2

ln 3 10

6 x x

y x

x x

⎛ + + ⎞

= ⎜⎝ + − ⎟⎠− − +

C. GRAFICI DI FUNZIONI

C1. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni a partire da quelle elementari (dire se sono iniettive o suriettive e individuare l’insieme immagine)

C.2 Determinare per via grafica il dominio delle seguenti funzioni

1. y= | ln |x+2 ||−e^{| | 1x+} 2. y= || | 3 | ln |x − − x+ 1|

3. ^y=ln

(

)

4. ^{y=ln (}

(

)

D. PROPRIETA’ DI FUNZIONI D.1 Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari

1. y= x²+2x⁴− 3 2.

ln(1 x2)

y x

= −

3.

3

2 1

y x

= x

− +

D.2 Tracciare il grafico delle seguenti funzioni e dire se sono monotone, strettamente monotone, invertibili

1. y=| ln(x+1) | 2. y=|e^x+ − 3 | 1

3. ₂ 2 se 0

1 se 0

x x

y x x

− ≥

= ⎨⎧⎩ + <

D.3 Tracciare il grafico delle seguenti funzioni e individuare eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti

1. | ln | se ₂ 0

| -2|-1 se 0

x x

y x x

⎧ >

= ⎨⎩ ≤

2.

| |

3

se -1 1 1- se 1 ( -1) se 1

ex x

y x x

x x

⎧ < <

=⎪⎨ ≥

⎪ ≤ −

⎩

E. LIMITI E ASINTOTI E.1 Calcolare i seguenti limiti

1. lim 3 ² 2

x x x

→+∞ + −

2.

2 4

lim 1 3

x

x

→ x

− + 3. lim 2 ^x

x xe

→+∞

4.

0

lim

x

x

e

+ x

→ −

5.

0

lim 5 ln

x

x

+ x

→

6. lim ln 4

x x x

→+∞ +

7.

1

3 2

lim 1

x

x

+ x

→

+

− 8.

2 2

lim 1 2

x

x

− x

→

− +

− 9.

2 3

lim 9 3

x

x

− x

→

−

− 10.

2 1

lim 2

2 2

x

x x

+ x

→−

− − + 11.

3 2 1

lim 2 5

x

x x

→−∞ x

+ − +

12. ₃ 6

lim 4

x

x

→+∞x +

− 13.

2 2

2 4

lim 3 1

x

x x

→+∞ x

− +

−

14. ( )

3 2

2 2

lim 5 2

x

x x

+ x

→−

− +

−

E.2 Individuare gli eventuali asintoti posseduti dalle seguenti funzioni

1.

3 2

2

3

2 1

x x

y x

= + + 2.

3 1

3 6

y x x

= −

− 3. 1₂

1 y x

x

= −

− 4.

2 2 1

2 3

x x

y x

+ +

= −

5.

2

4 2

y x

= x +

F. CONTINUITA’

F.1 Date le seguenti funzioni, stabilire se sono continue nel loro dominio o classificare gli eventuali punti di discontinuità

F.2 Date le seguenti funzioni, determinare per quale valore del parametro k esse sono continue in x0

1. ² ₀

2 3 se 1

, 1 1 se 1

5

kx x

y kx x

x x

+ ≥

⎧⎪

=⎨⎪ +⎩ + < =

2.

( )

2 0

2 se 2

, 2 4 se 2

2 4

kx x

y x x

x x

⎧ − ≤

=⎪⎨⎪ − > =

−

⎩

3.

2

0

2 6 se 1

, 1 se 1

3 2

kx x

y kx x

x x

⎧ − ≥

=⎪⎨ =

⎪ + <

⎩

G. DERIVABILITA’

G.1 Rispondere ai seguenti quesiti

G.2 Determinare gli eventuali punti di non derivabilità delle seguenti funzioni

G.3 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni

G.4 Date le seguenti funzioni, determinare l’equazione della retta tangente nel punto x0

1. ln ₀

, 1

y x x

= x =

2. y=e x^x( ²+2x−1), x₀= 0 3.

2

0

3 1

, 1 2

y x x

x

= − =

+

4. ^y=

(

)

G.5 Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi delle seguenti funzioni

1. y= −( 2x²−4x+6)(1−x) 2.

2 1

y x x

= +

3. 1

ln

y x

= + x 4. y=(x²−1)(x²+x) 5. y=lnx−2x² 6. y=e x^x( ²− 1)

G.6 Determinare gli eventuali punti di flesso delle seguenti funzioni

H. STUDIO DI FUNZIONE H.1

H.2

H.3

H.4