TARATURA DINAMICA CON INGRESSO A GRADINO

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TARATURA DINAMICA CON INGRESSO A GRADINO

Dipartimento di Ingegneria Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Samuele D’Elia Matricola: 10663808

A.A. 2020/21

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1 Sommario

Lo scopo dell’esperienza `e di effettuare una taratura dinamica di un termometro del primo ordine e di determinare sperimentale la sua costante di tempo (τ ). A tale scopo prendiamo in considerazione un generico termometro industriale e un riscaldatore che ci permette di imporre degli ingressi a gradino di temperatura nei seguenti modi:

• da Temperatura Ambiente a Temperatura Riscaldatore

• da Temperatura Riscaldatore a Temperatura Ambiente

Successivamente, una volta acquisiti i dati tramite una catena di misura, uti- lizzeremo quattro diversi metodi per calcolare la prontezza e confronteremo i diversi risultati ottenuti.

Applicheremo questo studio su tre dataset di misure derivanti dall’utilizzo di tre diversi termometri: due termocoppie (dataset: termocoppia 1, termocoppia 2) e una PT100 (dataset: pt100 1).

Osservazione: Il PT100 è in realtà uno strumento del secondo ordine carat- terizzato da due costanti di tempo diverse, in questo caso è approssimabile a una termocoppia rivestita (ossia a strumento del primo ordine) caratterizzata dal valore di prontezza più alti rispetto alle semplici termocoppie.

2 Introduzione

Al fine di chiarire alcuni procedimenti adottati nella seguente relazione, riportiamo brevemente i concetti e metodi fondamentali di teoria di cui abbiamo usufruito per stimare i parametri del sistema termico.

2.1 Modello di uno strumento del primo ordine

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Gli strumenti del primo ordine sono descritti tramite la seguente equazione dif- ferenziale:

a₁dy

dt + a₀y = b₀x (1)

che scritta in forma normale diventa:

τdy

dt + y = Sx (2)

Definiamo:

• S = Sensibilit`a statica

• τ= Costante di tempo, chiamata anche prontezza

Nell’esperienza di laboratorio le funzioni del tempo fanno riferimento ad un termometro con ingresso (x) una Temperatura T_in[^oC] e in uscita (y) un voltaggio V_out[V ]

Vediamo come si comporta lo strumento di primo ordine con un segnale in input a gradino.

2.2 Ingresso a Gradino

L’ingresso a gradino `e un segnale che per t < 0 ha un valore x₁ e per t ≥ 0 assume un valore x2:

x(t) =

(x₁ per t < 0

x₂ per t ≥ 0 (3)

Un ingresso a gradino su un termometro, lo si pu`o produrre mettendo, per esempio, il termometro che si trova a temperatura ambiente a contatto con un oggetto pi`u caldo (es. acqua in ebollizione) o freddo (bagno di acqua e ghiaccio).

Per trovare y(t) `e necessario risolvere l’integrale generale e particolare:

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Integrale Generale: Il polinomio caratteristico associato alla equazione differen- ziale lineare `e:

P (λ) = τ λ + 1 (4)

per cui l’integrale generale `e:

y_gen= Ae⁻^λ¹^t (5)

Integrale Particolare: Seguendo il metodo della somiglianza si evince che l’integrale particolare `e una costante:

(y_part= B

τ ∗ 0 + B = Sx₂ (6)

Per trovare la soluzione complessiva devo sommare l’integrale particolare con il generale e per trovare A devo mettere la funzione appena definita a sistema con le condizioni iniziali:

(y_t= Sx₂+ Ae⁻¹^λ^t

y₀ = Sx₁ (7)

L’Equazione della risposta al gradino sar`a:

y(t) = Sx2+ S(x1− x2)e⁻^λ¹^t (t ≥ 0) (8)

Il grafico y(t) `e raffigurato nella Figure 1.

Figure 1: risposta a gradino al varialre di τ

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2.3 Metodi per il calcolo della costante di tempo (prontezza)

Abbiamo quattro metodi analitici e qualitativi per ricavare la costante di tempo τ .

2.3.1 Metodo 1

Secondo questo metodo analitico τ corrisponde al tempo in cui la funzione della risposta al gradino raggiunge lo 0,63 della funzione a regime (y₂ = S(x₂− x₁)), ossia

y(τ ) = 0, 63(y₂− y₁) (9)

2.3.2 Metodo 2

Si traccia la tangente alla curva nel punto t=0, il tempo dell’intersezione con la risposta a regime ci restituisce la τ cercata.

(_dy

dt t=0 = −_τ¹(y₁ − y₂)e⁻¹^τ

y₂ = S(x₂− x₁) (10)

Figure 2: metodo della tangente

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2.3.3 Metodo 3

z(t) = lny(t) − y₂ y1− y2

= ln e⁻^τ^t = −t

τ (11)

I punti raccolti nella risposta al gradino vengono inseriti nella variabile “z”, una volta tracciata la retta ai minimi quadrati la sua pendenza ci d`a la costante di tempo.

Questo metodo è di gran lunga il migliore per affidabilità, perché se i primi due utilizzano pochi punti per reperire la costante di tempo questo ne può utilizzare anche un migliaio, ne consegue maggiore accuratezza.

Figure 3: retta ai minimi quadrati z(t)

2.3.4 Metodo 4

M SE =

sP

N(V_misurata− V_prevista)²

N − ρ (12)

Dove:

V_prevista = ST_amb+ S∆T (1 − e⁻^τ^t) (13)

Si tratta di un metodo qualitativo dove τ `e da ricercare come il valore che mini- mizza l’errore quadratico medio (MSE) tra temperatura teorica e temperatura sperimentale. Questo metodo, essendo di natura qualitativo, non ha rilevanza empirica.

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2.4 Strumentazione

La Catena di Misura che si utilizza per l’acquisizione della temperatura `e costituita da:

• Scheda di acquisizione MyDAQ

• Amplificatore

• Termocoppia

L’amplificatore e il riscaldatore sono collegati da un alimentatore AL-30R.

2.4.1 MyDAQ

NI myDAQ `e un dispositivo di acquisizione dati (DAQ) portatile e a basso costo che utilizza strumenti basati su software NI LabVIEW, consentendo agli studenti di misurare e analizzare segnali fisici. Il dispositivo myDAQ `e ideale per esplorare elettronica ed effettuare misure con sensori.

Figure 4: Scheda NI myDAQ

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Dispone di due canali analogici differenziali di ingresso e due di uscita (200 ks/s, 16 bit, +/- 10 Volt), otto linee digitali di ingresso e uscita (compatibili TTL a 3,3 Volt), un multimetro digitale (DMM) a 60 Volt per misure di tensione, corrente e resistenza. Alimentato tramite bus USB per la massima mobilit`a, myDAQ fornisce alimentazione sufficiente a circuiti semplici e sensori.

2.4.2 Alimentatore

Gli alimentatori della serie AL-30R sono degli alimentatori regolati DC ad elevate prestazioni di tipo multicanale con 3 canali di uscita in grado di fornire tensioni e correnti regolabili su due canali ed una tensione fissa a 5V/1A, protezione in uscita contro il sovraccarico e modo auto tracking. Le uscite dei canali CH1 e CH2 possono essere collegati in serie o parallelo internamente in maniera da fornire un valore di tensione o corrente in uscita doppia.

2.4.3 Termometro a Termocoppia

E un trasduttore di temperatura il cui funzionamento `´ e basato sull’effetto Seebeck. Le termocoppie sono ampiamente utilizzate perché economiche, facilmente sostituibili, standardizzate e possono misurare un ampio intervallo di temperature. Il loro limite più grande è l’accuratezza, infatti errori sistematici minori di un grado Celsius sono difficili da ottenere. Inoltre le termocoppie sono dei dispositivi non lineari, nonostante il loro vasto utilizzo.

2.4.4 PT100

La termoresistenza, comunemente chiamata termometro a resistenza o RTD `e un sensore di temperatura che sfrutta la variazione della resistivit`a di alcuni materiali al variare della temperatura.

La sonda Pt100 `e una termoresistenza al platino con resistenza nominale definita ai sensi della norma IEC 751 (EN 60751) pari a 100 Ω a una temperatura di 0°C.

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Figure 5: Setup finale di laboratorio

3 Procedura di Laboratorio

La procedura di laboratorio è di per se molto semplice. Una volta impostato il setup di laboratorio (Figure 5) si applica un voltaggio al riscaldatore che assumerà una specifica temperatura, da un software sul computer si inizia ad acquisire dati, si appoggia il termometro sul riscaldatore e dopo una decina di secondi lo si rimuove affinchè ritorni alla temperatura ambiente per poi arrestare l’acquisizione dei dati.

Durante l’acquisizione dei dati a temperatura riscaldatore bisogna stare attenti che il giunto della termocoppia e il tubo del pt100 siano bene a contatto con il riscaldatore tramite l’eventuale uso del nastro isolante.

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4 Risultati

4.1 Termocoppia 1

Come si evince dal grafico l’andamento della curva di risposta rispecchia la funzione che abbiamo dimostrato precedentemente. Con due colori diversi sono eviden- ziati i due ingressi a gradino di temperatura: da temperatura ambiente a temperatura del riscaldatore e da temperatura del riscaldatore a temperatura ambiente.

I risultati dell’analisi per il primo Dataset sono riportati nella Figure 6.

Figure 6: valori di τ con i vari metodi

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Se guardiamo i risultati del metodo 3 per salita e discesa avremo i seguenti grafici

Figure 7: grafico di z(t) per la salita

Figure 8: grafico di z(t) per la discesa

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I grafici ricavati con il metodo qualitativo sono in grado di verificare la sovrap- posizione (non perfetta) tra grafici teorici con quelli reali. La τ utilizzata per questo metodo `e una media delle τ calcolate precedentemente.

Figure 9: confronto tra funzione teorica e dispersione reale del segnale in uscita dallo strumento nel tratto in salita

Figure 10: confronto tra funzione teorica e dispersione reale del segnale in uscita dallo

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4.2 Termocoppia 2

Le τ che ci siamo trovati dal secondo Dataset sono mostrati nella Figure 11.

Figure 11: valori di τ con i vari metodi

Le τ nella salita hanno valori molto coerenti tra di loro, mentre nella discesa la varianza `e un poco pi`u alta.

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I grafici z(t) calcolati con il metodo 3 sono i seguenti.

Figure 13: grafico di z(t) per la discesa

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Per quanto riguarda i grafici ricavati con il metodo qualitativo nella salita la dispersione tra punti reali e quelli della previsione tendono ad essere alti per t che tende a zero. Nella discesa i dati sono sovrapporsi quasi perfettamente.

Figure 15: confronto tra funzione teorica e dispersione reale del segnale in uscita dallo strumento nel tratto in discesa

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4.3 Pt100 1

L’ultimo dataset `e stato ricavato utilizzando un termoresistore in Platino (RTD).

La principale differenza tra questo dataset e quelli appena analizzati è data da valori di prontezza più alti, questo perchè i PT100 sono in grado di garantire robustezza, precisione elevata e stabilità duratura anche nelle condizioni industriali più difficili.

Da una prima osservazione del grafico si nota come nella salita l’ingresso a gradino

`

e lampante, mentre la discesa il segnale risulta molto disturbato da fattori ambientali esterni. Per questo motivo si `e ritenuto opportuno operare una disamina del tratto in salita escudendo la discesa.

Le τ finali sono mostrate nella Figure 16

Figure 16: la τ del pt100 calcolate con vari metodi

L’alta varianza tra i valori ricavati `e da additare al fatto che i metodi sono ap-

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I grafici z(t) calcolati con il metodo 3.

E interessante osservare come dal grafico si manifesta un’intercetta positiva che´ invece nei dataset precedenti era nulla. Il motivo della presenza dell’intercetta è che nel diagramma logaritmico z(t) degli strumenti del secondo ordine la derivata è pari a −_{τ 1}¹ mentre la zona iniziale, dove vi è un misto della presenza dei due esponenziali, l’intercetta è pari a ln_{τ 1−τ 2}^{τ 1} (due costanti di tempo!).

Si può dimostrare che τ₂ è molto minore rispetto a τ₁ per cui la termoresistenza in questo caso è approssimabile a strumento del primo ordine.

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I dati analitici e sperimentali sono coerenti, la τ utilizzata per il grafico teorico.

5 Conclusioni

In conclusione possiamo affermare che il metodo più affidabile è certamente il terzo perché usa più punti e non dipende dalla determinazione di t=0. Il primo e il secondo metodo sono molto approssimativi dal momento che bisogna stabilire l’esatto punto in cui t=0, impossibile da quantificare tramite approccio manuale. L’unico vero vantaggio che offrono questi due metodi rispetto al primo citato è l’immediatezza e la rapidità della misura della costante. Infine il quarto metodo risulta essere un utile strumento verificare la sovrapposizzione del grafico reale con quello teorico.

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