COGNOME... NOME... MATRICOLA...
FACOLT `A DI INGEGNERIA Universit`a degli Studi di Padova Corso di Matematica 2 per Aerospaziali o Edili
Padova 10 Settembre 2008 TEMA n.1
Parte A:gli esercizi vanno svolti e giustificati sul foglio di bella copia; gli esercizi 1A,2A,3A valgono 7 punti, 4A 4 punti.
Parte A:gli esercizi vanno svolti e giustificati sul foglio di bella copia.
1ASi discuta, al variare di a, il seguente sistema nelle indeterminate x, y, z:
x −2y = a
3ax − y + az = −1 3x − 7y + az = −1
.
Si determinino le soluzioni del sistema quando esistono.
2ASono date le matrici A =
a 1 0
1 + a 0 0
0 0 1
al variare di a ∈ R.
1. Per ogni valore di a, determinare gli autovalori di A.
2. Esistono vettori di R3 che sono autovettori di A per ogni a?
3. Per quali valori di a la matrice A `e diagonalizzabile?
4. Esistono valori di a per i quali la matrice A `e ortogonalmente diagonalizzabile? Per tali valori, scrivere una matrice ortogonale H tale che H−1AH sia diagonale.
3ANello spazio siano date le rette ra:
x+ y − z = 1 x+ 2y = 2a e s :
x= 1 + t y= 1 − 2t z= t
Fra le rette ra si determini r in modo che r e s siano incidenti. Sia P = r ∩ s.
Si scriva una rappresentazione parametrica e cartesiana della retta tale che:
• passa per P ;
• `e complanare con r e s;
• `e ortogonale a s.
4ADato il polinomio f (x) = x6+ 26 di variabile complessa x, si calcolino tutte le radici complesse di f (x).
Si scrivano poi tutti i fattori irriducibili a coefficienti reali di f (x).
Per la Commissione
1A 2A 3A 4A PARTE B TOTALE
Parte B: Le risposte vanno segnate nella tabellina in basso (non pi`u di una croce per ogni colonna); ogni risposta giusta vale 2 punti, ogni risposta sbagliata −1.
1BSia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e U, W sottospazi di V , con U 6= W . Quale affermazione `e falsa?
A. se dimU = dimW = 2 e U + W = V allora la somma U + W `e diretta;
B. esiste sempre una base di V che contiene una base di U e una base di W ; C. se dimU = dimW = 2 allora U + W = V .
2B.Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimV = 3; allora:
A. la somma del nucleo e dell’immagine `e V ; B. il nucleo di L non pu`o coincidere con Im(L);
C. se v1, v2, v3 `e una base di V , allora L(v1), L(v2), L(v3) `e una base di Im(L).
3BSia A ∈ M4(R) una matrice diagonalizzabile di ordine 4; quale frase `e vera:
A.se Vλ e Vµsono autospazi di A, λ 6= µ, allora Vλ∩ Vµ`e un autospazio di A e il suo autovalore
`e λ − µ.
B.gli autospazi di A sono almeno due;
C.ogni vettore di R4 `e somma di autovettori di A.
4B.Siano A, B matrici 4 × 4 tali che A = 3B. Quale delle seguenti affermazione `e vera?
A. [AB, A2− B2] `e una famiglia linearmente indipendente;
B. se λ `e un autovalore di B allora 3λ `e un autovalore di A;
C. risulta det(A) = 3det(B).
1B 2B 3B 4B
A B C
SIS- SEMINARIO MATEMATICO- Universit`a di Padova
IV App10−09−08.tex
COGNOME... NOME... MATRICOLA...
FACOLT `A DI INGEGNERIA Universit`a degli Studi di Padova Corso di Matematica 2 per Aerospaziali o Edili
Padova 10 Settembre 2008 TEMA n.2
Parte A:gli esercizi vanno svolti e giustificati sul foglio di bella copia; gli esercizi 1A,2A,3A valgono 7 punti, 4A 4 punti.
Parte A:gli esercizi vanno svolti e giustificati sul foglio di bella copia.
1ASi discuta, al variare di a, il seguente sistema nelle indeterminate x, y, z:
x+ 2y = −a
3ax + y + az = 1 3x + 7y + az = 1
.
Si determinino le soluzioni del sistema quando esistono.
2ASono date le matrici A =
a 1 + a 0
1 0 0
0 0 −1
al variare di a ∈ R.
1. Per ogni valore di a, determinare gli autovalori di A.
2. Esistono vettori di R3 che sono autovettori di A per ogni a?
3. Per quali valori di a la matrice A `e diagonalizzabile?
4. Esistono valori di a per i quali la matrice A `e ortogonalmente diagonalizzabile? Per tali valori, scrivere una matrice ortogonale H tale che H−1AH sia diagonale.
3ANello spazio siano date le rette ra:
x+ y − z = 1 x+ 2y = 2a e s :
x= 1 − t y= 1 + 2t z= −t
Fra le rette ra si determini r in modo che r e s siano incidenti. Sia P = r ∩ s.
Si scriva una rappresentazione parametrica e cartesiana della retta tale che:
• passa per P ;
• `e complanare con r e s;
• `e ortogonale a r.
4ADato il polinomio f (x) = x6+ 43 di variabile complessa x, si calcolino tutte le radici complesse di f (x).
Si scrivano poi tutti i fattori irriducibili a coefficienti reali di f (x).
Per la Commissione
1A 2A 3A 4A PARTE B TOTALE
Parte B: Le risposte vanno segnate nella tabellina in basso (non pi`u di una croce per ogni colonna); ogni risposta giusta vale 2 punti, ogni risposta sbagliata −1.
1B.Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimV = 3; allora:
A. la somma del nucleo e dell’immagine `e V ; B. il nucleo di L non pu`o coincidere con Im(L);
C. se v1, v2, v3 `e una base di V , allora L(v1), L(v2), L(v3) `e una base di Im(L).
2BSia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e U, W sottospazi di V , con U 6= W . Quale affermazione `e falsa?
A. se dimU = dimW = 2 e U + W = V allora la somma U + W `e diretta;
B. se dimU = dimW = 2 allora U + W = V ;
C. esiste sempre una base di V che contiene una base di U e una base di W.
3BSia A ∈ M4(R) una matrice diagonalizzabile di ordine 4; quale frase `e vera:
A.se Vλ e Vµsono autospazi di A, λ 6= µ, allora Vλ∩ Vµ`e un autospazio di A e il suo autovalore
`e λ − µ.
B.gli autospazi di A sono almeno due;
C.ogni vettore di R4 `e somma di autovettori di A.
4B.Siano A, B matrici 4 × 4 tali che A = −B. Quale delle seguenti affermazione `e vera?
A. [AB, A2−4B2] `e una famiglia linearmente indipendente;
B. se λ `e un autovalore di B allora −λ `e un autovalore di A;
C. risulta det(A) = −det(B).
1B 2B 3B 4B
A B C
SIS- SEMINARIO MATEMATICO- Universit`a di Padova
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