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L’algoritmo di Euclide e √

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Academic year: 2021

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L’algoritmo di Euclide e √

2 Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

L’algoritmo di Euclide e grandezze incommensurabili (Argomento molto interessante, ma facoltativo)

16 Settembre 2019

1 L’algoritmo di Euclide e le grandezze incommensurabili

Riportiamo la descrizione del procedimento delle divisioni successive.

Teorema 1.1 (Algoritmo di Euclide. Elementi, Libro VII, Prop. 2). Siano a, b numeri interi positivi, a > b. Effettuiamo le divisioni successive:

a = q

1

b + r

1

b = q

2

r

1

+ r

2

r

1

= q

3

r

2

+ r

3

· · · = · · ·

r

n−2

= q

n

r

n−1

+ r

n

r

n−1

= q

n+1

r

n

Allora l’ultimo resto non nullo r

n

` e il massimo comun divisore di a e b.

2 Due problemi

Problema 1. Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinch´ e due grandezze omogenee A, B siano incommensurabili, ` e che il procedimento di Euclide, applicato ad esse, non abbia mai termine.

Pag. 1

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L’algoritmo di Euclide e √

2 Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1

Problema 2. Utilizzando l’esercizio precedente, dimostrare che la diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili tra loro, cio` e che √

2 non ` e razionale.

Suggerimento: Si ragioni sulla figura qui sotto.

A B

D C

B

1

A

1

B

2

Pag. 2

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