Corso di IDROLOGIA Estratto dalle dispense di STATISTICA APPLICATA ALL’IDROLOGIA

Corso di IDROLOGIA

Estratto dalle dispense di

STATISTICA APPLICATA ALL’IDROLOGIA

Redatte da Prof. Pierluigi Claps

Ing. Chiara Barberis

CONCETTI FONDAMENTALI DELLA TEORIA DELLE PROBABILITA’.

Esperimento aleatorio.

Spazio campionario o popolazione.

Esempi:

Esperimento Popolazione Tipo

Numero di giorni piovosi in un anno { ^{0 , 1 , 2 ,... 365} } Finito, numero Numero di giorni non piovosi consecutivi { ^{0 , 1 , 2 ...} } Infinito, numero Valori osservati della portata { x ; ! x ⁰ } Infinito, non numero

• Evento aleatorio semplice A , , B C : ciascun elemento della popolazione (punto).

• Evento aleatorio composto A , , B C : insieme di due o più punti.

• Complemento dell’elemento A : A : insieme dei punti che non appartengono ad A.

• Evento certo ! : insieme di tutti i punti della popolazione.

• Evento nullo ! : insieme vuoto.

• Unione di eventi A e B : A ! B : insieme dei punti dei due eventi.

• Intersezione di A ! C : insieme dei punti comuni ad A e a B

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLA PROBABILITA’.

Probabilità dell’evento A:

1. ^{0 ! P} [ ] ^{A ! 1}

2. ^P [ ] ^{! = 1}

3. Se B = A

! A

! A

.... ^{e se} A

, A

, A

... sono mutuamente escludentisi:

[ ] B = P [ ] A

+ P [ ] A

+ P [ ] A

+ ^....

P Esempi:

[ ] ^{A P [ ] A}

P = 1 !

[ ] ^{# = 1 " P} [ ] ^{! = 0}

P

PROBABILITA’ DELLE UNIONI DI EVENTI.

Esempio: In un istituto universitario vi sono 10 docenti (3 donne e 7 uomini) e 30 non docenti (10 donne e 20 uomini).

Qual è la probabilità che un membro dell’istituto scelto a caso sia un docente e/o una donna?

[ ^{D F} ] ^P [ ] ^{D P} [ ] [ ^{F P D F} ]

P " = + ! !

Eventi mutuamente escludentisi: ^P [ ^{A ! B} ] ^{= 0}

PROBABILITA’ CONDIZIONATA.

Esempio: Qual è la probabilità che un membro dell’istituto donna sia docente?

[ ^{D F} ] ^{P [} _P ^D _{[ ] F} ^{F ]}

P !

=

Eventi statisticamente indipendenti: ^P [ ^{A ! B} ] ^{= P} [ ] [ ] ^{A ! P B}

Eventi mutuamente escludentisi: ^P [ ] ^{A B = 0}

TEOREMA DELLA PROBABILITA’ TOTALE.

A evento qualsiasi.

! "

#

$

n

=

n

B B B

si escludenti mutuamente

eventi B

B B

B ! ! ... !

.... . ,

2 1 3

2 1

( B

! A ) ^, ( B

! A ) ^, ( B

! A ) ^, ...., ( ^B

! ^A ) Altra serie di eventi mutuamente escludentisi.

( B

" A ) ! ( B

" A ) ! ( B

" A ) ! .... " ( ^B

! ^A ) = ^A

[ ] A ⁼ P [ A B

] P [ ] B

⁺

P P [ A B

] P [ ] B

+ ^... P [ A B

] P [ ] B

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE.

Possono assumere qualsiasi valore numerico reale in un dato intervallo.

Funzione di densità di probabilità.

x x x x X

x P x

f

!

"

#

$

% &

' !

+ (

! ( )

=

2 lim 2

)

(

! f

( ! x ) 0 ! ( ) = 1

+"

"

#

dx x

f

^P [ ^{a X b} ] ^{f x dx}

b

a

!

=

"

" ( )

Funzione di distribuzione cumulata:

[ ^{X x} ] ^{f u du}

P x

F

!

+"

"

#

=

$

= ( )

) (

! ( ) ( )

x dx f

x dF

x

X

= solo per variabili assolutamente continue.

! F

( ! ) = 1 ; F

( !" ) = 0

! F

( x + " ) ! F

( x ) per qualsiasi ! > 0 ; F

( x

) " F

( x

) = P [ x

! X ! x

]

Per ogni tipo di variabile definita nell’intervallo [ ] ^{a, b :}

! 0 ! F

( x ) ! 1 ; F

( = a ) 0 ; F

( = b ) 1

MOMENTI

MEDIA (VALORE SPERATO) di una variabile aleatoria discreta.

[ ] ⁼ ! ⁼

xi

i x i

P x x X

E ^{( )} µ

di una variabile aleatoria continua.

[ ] ⁼ ! ^{= µ}

+"

"

#

dx x xf X

E

( )

di una funzione g (x ) di una v.a. continua o discreta:

[ ] ⁼ !

xi

i x

i

P x

x g x

g

E ( ) ( ) ( )

[ ^{g x} ] ^{g x f x dx}

E !

+"

"

#

= ( ) ( )

) (

r-esimo momento di X :

[ ]

[ ] ^{X x f x dx E [ ] X}

E

x P x X

E

x r r

r

x

i x r i r

r

i

=

=

! !

"

!! #

$

=

=

=

=

%

&

' +

' (

µ µ µ

µ

)

(

)

(

r-esimo momento di centrale di X :

[ ]

[ ]

^{[ ]}

[ ]

[ ]

2 '

' 1 '

'

var

; 0 )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

(

µ µ

! µ

µ µ

µ µ

µ µ

µ

"

=

"

=

=

=

=

# #

$

## %

&

"

=

"

=

"

=

"

=

' (

) +

)

"

X E X E X

dx x f x

X E

x P x

X E

x r r

r

x

i x r i r

r

i

MISURA DI LOCAZIONE.

Moda: x~

max

~ )

( x =

f

Mediana: x

= x ! 50 . 0 ) ( x = F

!

Media: µ

= ^E [ ] ^x

Media geometrica:

k i

g

x k

M ⁼ ! [ ^x ]

E M

log

log =

MISURA DI DISPERSIONE.

Varianza: ^var [ ] ^{x = E} [ ^{( x " µ )}

] ^{= !}

Scarto quadratico medio: ! ^{= var} [ ] ^x

Coefficiente di variazione: ! µ

"

= Cv = MISURA DI ASIMMETRIA.

Coefficiente di asimmetria:

' 3

1

!

" = Ca = µ

MISURA DI APPIATTIMENTO O CURTOSI.

Curtosi:

' 4

!

= µ k

Coefficiente di eccesso o di Curtosi:

= ! 3 =

! 3

"

# ^k µ

DISTRIBUZIONE NORMALE DEL CASO O DI GAUSS.

Funzione densità di probabilità:

) 2

( 2 1

2 ) 1

(

$ #

%

& ' '

=

µ

) (

x

x

x e

f " ! < x < +!

Funzione di distribuzione cumulata:

dx e

x F

x x

x

!

"

#

$%

&

'(

) #

#

=

) 2

( 2 1

2 ) 1

(

µ

+

* può essere calcolata numericamente per ogni µ e ! .

I parametri µ e ! .sono dati da:

[ ] ^{x = µ}

E ^var [ ] ^{x = !}

.

DISTRIBUZIONE NORMALE IN FORMA CANONICA

Variabile normale standardizzata o ridotta

! µ ) ( "

= x

u

[ ] ^{u = 0}

E ^var [ ] ^{u = 1}

2

2

2 ) 1 (

u

e u

f =

" !

"

#

=

u u

du e u

F

2

2 ) 1

( $ F ( ! u ) = 1 ! F ( u )

Valori notevoli di u ( F ) e di F ( u )

F ( u ) u u F ( u )

0.025 -1.96 -2.0 0.0228

0.50 0.00 -1.0 0.1587

0.975 +1.96 0.0 0.5000

1.0 0.8413 2.0 0.9772 Esempio: ^X ! ^N ( µ = 10 , " = 3 )

Valore di X corrispondente a F ( = x ) 0 . 025 ovvero a 40 ) (

1 =

= F x

T

!> X

= µ ! 1.96 # = 10 ! 1.96 ! 3 = 4.12

PROPRIETA' DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE

Probabilità che una variabile casuale normale cada in un intervallo [ ^{µ " k ! , µ + k !} ] ^:

[ ^{k X k} ] ^{P k x k ( k ) ( k ) 1 ( k ) ( k ) 1 2 ( k )}

P # $ = " ! " ! = ! " ! ! " ! = ! " !

%

&

'

( ! )

)

!

= + ) )

! *

* µ µ

* µ

Coefficiente di asimmetria: [ ^{( )} ] ₀

3 3 3

'

3

! =

=

= "

µ

"

µ ^{E x}

Ca

Coefficiente di Curtosi (misura dell’appiattimento di una distribuzione): [ ^{( )} ] ₃

4 4 4

'

4

! =

=

= "

µ

"

µ ^{E x}

k

Somma di variabili normali ( X

; i = 1 , 2 ,... n ) indipendenti e N ( µ

, !

) .

!

=

n i

X

Z

1

è N ( µ

, !

)

!

!

=

=

2 2

i z

i z

"

"

µ

µ

Carta probabilistica normale.

In diagramma cartesiano con ascissa X ed ordinata u e ! (u ) la funzione di probabilità cumulata

) (x

F

sarà rappresentata dalla retta: ^x = µ + ^u ! Rappresentazione in carta normale

1 ) 2

( ! +

= !

= "

"

N x i F

F

2 1 8 3 !

" =

Media di variabili normali:

n X X

n i

!

=

^è !!

"

#

$$ %

&

2 2

, n N

'

µ

Variabili X

indipendenti e identicamente distribuite N ( µ

, !

) ^.

X è

! !

"

#

$ $

%

&

N n

2

, '

µ

[ ] [ ] [ ] X n

n n

X n n X n E

! !

!

! µ

=

=

=

=

2 2

2

var

DISTRIBUZIONI DERIVATE.

Funzione Y = g (x ) strettamente monotona crescente e derivabile di una v.a. continua X Esempio: Y = log(x ) oppure x

oppure x

x ! 0

[ ] [ ^{( ) ( )} ] [ ] ^{( )}

)

( y P Y y P g X g x P X x F x

F

= ! = ! = ! =

dy y y dg

g f y f ovvero

dy x dx f y f

dx x f dy y f x dF y

dF

X Y

X Y

X Y

X Y

) )) (

( ( )

( :

) ( )

(

) ( )

( )

( )

(

1 !1

=

=

=

"

=

Quando si conosce la distribuzione della Y e si ricerca quella della X vale, ovviamente

dx x g x d g dx f

y dy f x

f

( ( ))

)) ( ( )

( )

( ! =

"

$ #

%

&

=

Esempio: variabile normale standard

! µ ) ( "

= x

u " ^x = µ + ^u !

( )

2

2 ) 1

( 2 1

2 1 2

) 1

(

u X

U

f u e e

du u dx

f

% $

&

' + !

!

=

= +

= µ ) ) ) (

(

µ ) µ

Vale anche: ^{F ( x ) P} [ ^{X x} ] ^{P u x F}

^{( u ))}

x

x

! =

"

$ #

%

&

'' ( )

** + . , -

= .

= /

µ

MEDIA DI UNA VARIABILE FUNZIONE DI UN’ ALTRA.

Se c è una costante:

[ ] ! !

+"

"

# +"

"

#

=

=

= cf x dx c f x dx c

c

E

( )

( )

Similmente:

[ ] ^{cX cE} [ ] ^X

E =

[ ^{a bX} ] ^{a bE} [ ] ^X

E + = +

[ g

⁽ x ⁾ g

⁽ x ⁾ ] E [ g

⁽ x ⁾ ] E [ g

⁽ x ⁾ ]

E + = +

In generale:

[ ^{g ( x )} ] ^g ( ^E [ ^{g ( x )} ] )

E !

Esempio:

[ ] ^X

E E X 1 1

" !

#

$

% &

' E [ ] X

= { E [ ] X }

+ !

VARIANZA DI UNA VARIABILE FUNZIONE.

[ ] [ ^{( )}

] [

²

] [ ]

² [ ]

[ ]

var x = E x ! µ = E x ! µ x + µ = E x ! µ E x + µ = E x ! µ

[ ] ⁰

var c =

[ ] ^{cx c var} [ ] ^x

var =

[ ^{a bx} ] ^{b var} [ ] ^x

var + =

VARIABILE STANDARDIZZATA.

! µ

"

= x

u ^E [ ] ^{u = 0 var} [ ] ^{u = 1}