Lezione 3 Distribuzioni di Probabilità Notevoli

Lezione 3  

Distribuzioni di Probabilità Notevoli  

Distribuzioni di Probabilità 

   Vi sono famiglie parametriche di diverse distribuzioni par=colarmente  importan= nelle applicazioni della sta=s=ca 

   Alcune  di queste distribuzioni (gaussiana, poissoniana, ecc) sono           comunissime nei fenomeni fisici 

  Si hanno distribuzioni sia discrete che con=nue   

2 

Distribuzione Binomiale 

  Consideriamo un esperimento che può avere solo due risuta= (ad  esempio testa, croce nel lancio di una mone=na). Questa variabile  è discreta. 

   Sia p (costante) la probabilità di avere l’evento  A e q = 1‐p la probabilità  che si verifichi l’evento B. Ripe=amo N volte l’esperimento. Qual è la 

probabilità di avere n volte l’evento A? 

    La probabilità che i primi n esperimen= diamo come risultato A è pari a          p

  q

.  Ma non sono interessato solo  al caso che i primi n tenta=vi mi 

diano l’evento A. Quindi devo considerare quan= sono i casi in cui ho n  even= A indipendentemente dall’ordine in cui si realizzano. 

    Il numero di ques= casi è   

Distribuzione Binomiale 

  La probabilità di avere n volte A e N‐n  volte B, dove n = 0,1,2,…,N  è la  variabile casuale  e  N e p   sono parametri della distribuzione, è data da:  

  Valore di aspeWazione di n: 

   Varianza di n :   

Esempi di Distribuzione Binomiale 

Numero  N di esperimen= costante e diversi valori della probabilità p 

n  n 

n  n 

f(n;N,p )  f(n,N,p )  f(n;N,p )  f(n,N,p ) 

Esempi di Distribuzione Binomiale 

Numero  N di esperimen= variabile  e iden=co  valore della probabilità p  f(n;N,p )  f(n;N,p )  f(n;N,p )  f(n;N,p ) 

n  n 

n  n 

Esempi di Distribuzione Binomiale 

     Lancio 5 volte una mone=na e sia n il numero di volte che ho testa. Dare la        distribuzione di probabilità di n e calcolare il valore medio e la varianza. 

     ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

     La distribuzione è binomiale con N = 5 e p = 0.5.  Quindi 

     Per ogni n abbiamo  

        Valore medio Np = 2.5,  varianza  Npq = 1.25 

Esempi di Distribuzione Binomiale 

     Uno strumento musicale  ha un tempo di durata (in ore) che ha  una pdf          data da : 

      Qual è la probabilità che su 100 strumen= simili 8 durino più di 2 ore? 

      ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐     

      La probabilità che uno strumento duri più di 2 ore è: 

     La probabilità che 8 durino più di 2 ore  è:  

Esempio di Distribuzione binomiale 

     Compro 20 bulbi di giacinto di cui 10 aspeWa= di colore rosso e 10 di          colore blu. Quando crescono scopro che 16 sono blu. Qual è la   

       probabilità che possa succedere questo?  

      ====== 

         La distribuzione è binomiale. La probabilità di avere 16 o più giacin=  

         blu  è uguale alla probabilità di avere quaWro o meno giacin= rossi.  

         Questa  probabilità  è 0.0059 

Distribuzione Mul=nomiale 

     Questa è una generalizzazione della distribuzione binomiale  al caso di  n              =pi di risultato. Esempio:  risultato  di una par=ta di calcio (1,0,2). 

     Siano m i possibili risulta= e p

la probabilità che si realizzi l’i‐esimo          risultato.  Vale la condizione di normalizzazione: 

     La probabilià  in N esperimen= di avere n

risulta= di =po 1, n

 risulta= di          =po 2, …  e  n

   risulta= di =po m è : 

    Questa distribuzione è deWa mul=nomiale.  n

, …, n

 sono le variabili             casuali mentre N e p

,… p

 sono i parametri della distribuzione 

   Il valore di aspeWazione  e la varianza per il risultato i‐esimo  

       E[n

] = Np

       V[n

] = Np

q

  = Np

 (1 – p

) 

Distribuzione di Poisson 

     Se  in un distribuzione binomiale il numero di esperimen= N è molto          grande e se la probabilità p di oWenere un par=colare valore della          variabile è molto piccolo (evento raro) ma tale che il  valore di  

       aspeWazione del numero di successi sia un numero finito ν, allora la          distribuzione binomiale diventa:  

        Questa distribuzione è deWa di Poisson.    n è la variabile casuale e ν il           parametro. 

    Vediamo con un esempio come si passa dalla distribuzione binomiale a           quella poissoniana. Prendiamo un intervallo di tempo [0, T]  e dividiamolo          in N  soWointervalli di lunghezza T/N 

        Sia p = λ T/N la probabilità che l’evento si verifichi in uno di ques=  

        intervalli (λ numero reale posi=vo). Sia n il numero di volte che si  realizza  

        l’evento. U=lizzando la distribuzione binomiale si ha: 

Distribuzione di Poisson 

     che possiamo riscrivere cosi: 

     Facendo aumentare N possiamo approssimare : 

   Ponendo poi   ν  = λ  T  (= Np costante), abbiamo: 

Distribuzione di Poisson 

     n  è  la variabile distribuita poissonianamente mentre  ν è il parametro          della  distribuzione. 

    Il valore di aspeWazione di n  è:   

     La varianza di  n  è: 

     Vediamo ora come appaiono distribuzioni  poissoniane  con diversi valori    

       di aspeWazione ν   

Distribuzione di Poisson 

n  n 

n  n 

f(n;N,p )  f(n;N,p )  f(n;N,p )  f(n;N,p ) 

Distribuzioni poissoniane con diversi valori di aspeWazione 

f(n;N,p ) 

n  n 

f(n;N,p ) 

Distribuzione di Poisson 

  In questa distribuzione binomiale (a sinistra)  Np = 2. Confrontare questa          distribuzione  con quella poissoniana  (a destra)  con ν = 2. 

     Con N molto grande e p molto piccolo in modo che Np res= un numero di         even= finito e osservabile , allora la distribuzione binomiale  diventa quella        di Poisson. 

     La distribuzione poissoniana è tra quelle più adoWate  nella descrizione di          fenomeni naturali (come nei decadimen= radioahvi, ecc) 

n  n 

f(n;N,p )  f(n;ν ) 

Distribuzione Gaussiana 

     Per ragioni che vedremo presto, la distribuzione gaussiana  è la più        importante e la più  usata in Fisica e nella Sta=s=ca in generale. 

    p.d.f. di una gaussiana con  x variabile        casuale , μ e σ

due parametri 

     Valore di aspeWazione di x: 

     Varianza di x : 

     La distrib. gaussiana (deWa anche normale) ha una forma a campana simmetr.   

     aWorno  all’asse x = μ con due pun= di flesso in x = μ – σ e in x = μ + σ 

    È indicata  cosi N(μ,σ

).  Quando   μ = 0 e σ = 1  si ha gaussiana standard N(0,1) 

      e si scrive: 

Distribuzione Gaussiana 

     La c.d.f. della gaussiana standard  è definita da: 

        È deWa anche funzione degli errori. Non è 

        calcolabile esplicitamente. È calcolata in modo  

        approssimato (calcolo numerico) ed è tabulata (vedi calcolatori sta=s=ci). 

      Se una variabile Y  ha distribuzione gaussiana N(μ, σ

), allora la variabile          X = (Y – μ)/σ   segua una distribuzione gaussiana standard  N(0,1).  

    Le  corrisponden= c.d.f. sono  uguali F(y) = Φ(x).   I  valori di Φ(x)  ed i         quan=li  x

 = Φ

(x)  sono tabula=. 

     Quindi data una generica funzione gaussiana la sua c.d.f. ed i suoi quan=li si           oWengono da quelli della distribuzione gaussiana standard.  

     Queste quan=tà si oWengono da tavole  (ma oggi è più comodo oWenerli  

      in rete  con  un calcolatore  sta=s=co). 

Gaussiane  

     Gaussiana standard, gaussiana con μ = 3 e           σ = 1.5 e gaussiana con μ = e σ=2 (in rosso) 

     Le due linee ver=cali sono a distanza  di 1 σ         dal valore valore centrale. L’area compresa         tra queste  due linee è il  68.27% dell’area         totale soWesa  dalla curva gaussiana. 

x 

x 

f(x;μ,σ )  f(x;μ,σ ) 

Esempio ‐ 1 

     Una variabile casuale  X  ha una p.d.f. gaussiana con valore medio 5 e varianza 4. 

       Calcolare la probabilità p che la variabile assuma un valore  minore di 2. 

      La variabile  (X – 5)/2 ha una p.d.f. gaussiana standard e quindi: 

    Si verifica facilmente che un intervallo centrale [μ – σ, μ + σ] soWende il 68.27 %         dell’area soWesa dalla gaussiana; entro 2σ l’area soWesa è il 95.45 %, il 99%  

      entro 3 σ. 

    Entro 1.645 σ è soWesa il 90% dell’area totale; entro 1.960 σ è soWeso il 95%  

      mentre entro 2.576 σ è soWeso il 99% dell’area. Qui si stanno considerando         sempre intervalli centrali  (aWorno al valore medio). 

    Una variabile ha distribuzione gaussiana con media uguale a 10 e varianza  

      uguale a 100. Calcolare la probabilità che 8  ≤ x ≤ 16 : 

Gaussiana come Limite della Poissoniana 

      Per valori di aspeWazione ν > 10 la distribuzione   poissoniana è approssimata          bene da una  gaussiana di valore medio μ = ν e varianza σ

= ν 

     In  figura  alla distribuzione di probabilità poissoniana con ν =25   è          sovrapposta una gaussiana  con μ =25 e varianza σ

= 25. 

f(x;25,25)  f(n;25) 

n 

Esercizio 

     In una zona del Canada ci sono in media 2 alci per lago.  

         1) Quale potrebbe essere la distribuzione del numero di alci per lago ?  

         2) Se trovo 5 alci in un lago qual è la probabilità che ciò sia accaduto per caso?    

         3) Se si approssima la distribuzione con una gaussiana, qual è la probabilità di         trovare in un lago 5 o più alci?  

         4) Cosa direste se dichiarassi che ciò è avvenuto dopo aver visitato altri 19 laghi        ======    

     1)  La distribuzione è poissoniana con media 2 

     2)  f(alci =5)  =  e

2

/5!  = 0.0361   Probabilità di trovare 5 o più alci in un lago:     

      f(alci ≥ 5) = 1‐ f(alci ≤ 4 )  = 0.0526 

     3) La distribuzione potrebbe essere approssimata da una gaussiana  N(2,2). In        questo caso la probabilità di osservare 5 o più alci è:        

      Approssimazione non buona.   

      Valore medio   troppo basso !  

Esercizio 

     4)   Dopo 20 laghi la probabilità di  trovare 5 o più alci è data  da: 

       f = 1 ‐ (1‐0.0526)

 = 0.66   

       dove 1 ‐ 0.0526 rappresenta la probabilità di non trovare 5 o più          alci in un lago. Dopo 20 laghi elevo alla potenza di 20. 

       Di conseguenza non mi meraviglio affaWo di aver trovato più di 5 alci  

       dopo ven= laghi . 

Gaussiana come Limite della Binomiale  

     Pe N grande e tenendo p e q costan= , allora la distribuzione binomiale         tende ad una gaussiana di valore medio N p  e varianza N p q  

   La binomiale  in figura con N = 30 e p =0.5 è  ben approssimata da una gaussiana        con valore medio N p = 15  e varianza N p q = 7.5   

n 

f(n;30,0.5) 

Diistribuzone Gaussiana Mul=dimensionale 

     Supponiamo di avere  n variabili  x  = (x

, … , x

), ognuna distribuita  

      gaussianamente e sia   μ  = (μ

, μ

, …, μ

)  il veWore dei valori medi. I due         veWori  x  e μ sono veWori colonna. 

   In generale le n variabili non sono scorrelate  per cui nella p.d.f.  bisogna        tener  conto   delle loro eventuale correlazione : 

    dove i veWori x

  e  μ

 sono i veWori riga dei corrisponden= veWori colonna 

     x e μ  mentre V è la matrice degli errori (matrice di covarianza)   

Distribuzione Binormale 

     La distribuzione gaussiana a due dimensioni è deWa generalmente binormale. 

       La matrice degli errori in questo caso si scrive così:   

     Questa matrice si può inver=re se e solo se ρ ≠ ±1   (ρ = ±1 significa che le          due variabili sono correlate al 100 %). 

     Se la matrice si può inver=re allora : 

  La p.d.f. binormale si scrive così: 

Distribuzione Binormale 

     Si dicono linee di contorno (o di livello)  le linee che si oWengono ponendo          ad un  valore costante il valore  dell’esponente nella p.d.f.  Servono a  

       visualizzare  la p.d.f. 

     Questa è l’equazione di una ellisse. 

     Se il valore costante del parametro è preso uguale a ‐1/2 , allora l’ellisse è 

       centrata sui valore μ

 e μ

Le tangen=  all’ellisse intersecano gli assi cartesiani          nei pun= μ

 ± σ

   e  μ

 ± σ

     Se fissiamo un valore di x, la distribuzione in y  è una gaussiana con media 

       uguale a  μy +  ρσ

(x – μ

)/σ

e deviazione standard uguale a  σ

 √(1 – ρ

) 

Distribuzione Uniforme 

       Serve a descrivere una variabile che ha probabilità di realizzarsi costante          in un certo intervallo e zero all’esterno: 

       Valore di aspeWazione  

     Varianza 

     No=amo che se a = 0 e b = 1 allora  la c.d.f.   G(x) della distribuzione uniforme  

        della variabile casuale x è :    

Distribuzione Esponenziale 

        Questa distribuzione della variabile casuale X   (0≤ x < ∞ ) è  definita da : 

      con ξ parametro della distribuzione. 

    Valore di aspeWazione di x : 

    Varianza di x : 

     Questa distribuzione appare quando per esempio si  misura il tempo di 

       decadimento di una risonanza nel proprio sistema di riferimento. ξ in questo         caso rappresenta il tempo di vita medio della par=cella.  

    Si no= che      non dipende dall’istante iniziale t

      Questa proprietà vale solo per questo =po di  p.d.f.

Distribuzione Esponenziale 

Distribuzione  χ ² 

     La  distribuzione χ

 della variabile casuale Z   (0 ≤ z < ∞ ) è  definita da : 

      con n  parametro della distribuzione deWo numero di gradi di libertà . 

    La funzione Γ è cosi definita       ed ha queste proprietà: 

    Valore di aspeWazione di z : 

     Varianza di z : 

Distribuzione  χ ² 

      La distribuzione χ

  è par=colarmente importante in sta=s=ca e molto          comune in Fisica. 

    Se si hanno N variabili casuali X

 tuWe distribuite gaussianamente con         valore medio ν

  e  varianza σ

 , allora la funzione : 

       è distribuita secondo una distribuzione del χ

 con N gradi di libertà. 

    Questa distribuzione è par=colarmente importante nei test di bontà del fit. 

     Applicazione: nella somma di probabilità  di  Poisson è comodo usare  la  

      relazione:  

    con  f

 e  F

 p.d.f. e c.d.f. del χ

Esempio 

  Supponiamo che in un fascio di par=celle il numero di par=celle per impulso             abbia una distribuzione poissoniana con valore di aspeWazione 16. 

       Qual è la probabilità  che un impulso abbia un numero di par=celle compreso           tra 12 e 20 ? 

       ‐  La distribuzione di Poisson in questo caso è : 

       ‐ La probabilità   richiesta  è quindi: 

      che possiamo calcolare così:  

Distribuzione  χ ² 

Distribuzione  χ ²  

Distribuzione di Cauchy 

      Questa distribuzione, deWa anche Breit‐Wigner  o anche Lorentziana,  della           variabile casuale X  (0 ≤ x < ∞ ) è  definita da : 

      con a > 0. In fisica subnucleare  è usata nella descrizione di  risonanze  che         decadono  in altre par=celle più leggere. 

    Gli integrali che definiscono  il valore di aspeWazione e la varianza di questa         distribuzione  sono divergen=.  

    Dato l’integrale di f(x) esteso da  ‐∞  a + ∞ si dice valore principale di Cauchy  

    U=lizzando i valori di Cauchy, a è legato al tasso di decadimento della par=cella         (a=Γ/2)  e b è interpretabile come valore medio x

(x

 e Γ sono la massa e la  larghezza della risonanza, rispehvamente)

Distribuzione di Cauchy 

Distribuzione t di “Student” 

    Distribuzione di notevole rilevanza in sta=s=ca. 

   Sia Z una variabile casuale che segua una distribuzione gaussiana ed U un’altra        variabile casuale, indipendente da Z, che segua una distribuzione χ

 con  n        gradi di libertà, allora la variabile casuale    

      segue la distribuzione 

      deWa distribuzione t di Student con n gradi di libertà.  È una curva simmetrica 

     (media = 0)  

Distribuzione t di Student 

Distribuzione t di Student 

Legge dei Grandi Numeri 

   Data una serie di n misure (campione di dimensione n) di una variabile        casule X  posso estrarre informazioni su questa variabile  da questo        campione,  per esempio  la media (aritme=ca)  x

 ecc. 

    Per il calcolo della media  μ  della variabile X dovrei conoscere tuh i possibili         valori di X (popolazione), teoricamente infinita.   

     Problema:  A par=re dalla media  x

,  che chiamiamo media campionaria,          posso fare delle inferenze sta=s=che  sulla media (vera) μ ? 

    Si, posso farlo grazie alla legge (debole) dei grandi numeri: 

       Si può determinare un intero posi?vo n tale che prendendo un campione          casuale di dimensione maggiore o uguale ad n di una variabile casuale X,         distribuita con valore di aspeEazione  μ,  la media  campionaria  x

       differisca da μ per una quan?tà piccola a piacere. 

    Questa legge  ha un ruolo fondamentale nell’inferenza sta=s=ca         

‐ 

‐ 

‐ 

Teorema Limite Centrale 

    Questo   teorema  è molto importante 

    Si abbiano n variabili casuali X

 (supposte con=nue ed indipenden= ) con         media μ

 e varianza σ

. Il teorema limite centrale stabilisce che la variabile         casuale       per grandi n  tende ad essere distribuita secondo         una gaussiana con valore  medio      e varianza   

     Notate bene che NON ha alcuna importanza la natura delle distribuzioni delle         variabili X

. L’effeWo cumula=vo di molte variabili (comunque distribuite)  

       porta ad una distribuzione gaussiana.  Pensate all’errore di misura casuale         dovuto a tan=ssimi effeh indipenden= che si sommano incoerentemente.  

    AWenzione nella pra=ca all’uso di questo teorema. Con un campione finito         (e limitato) di misure ci  sono situazioni in cui la distribuzione è tuW’altro che        gaussiana. Ci sono cioè code non gaussiane. 

    TraWazione di effeh non gaussiani  pone spesso problemi delica=.