 Programma del Corso di Matematica 2 Corso di laurea in Ingegneria Informatica (AG) FACOLTA’ DI INGEGNERIA

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di laurea in Ingegneria Informatica (AG)

Programma del Corso di Matematica 2

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI Generalità. Campo di esistenza e grafico.

Intorni di un punto nell'insieme

 R n {  } ^. Proprietà verificate localmente.

Punti di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Frontiera e parte interna. Insiemi limitati, compatti, connessi. Limiti, continuità e componenti scalari di funzioni da R ⁿ in R m. Estensione per continuità.

Limiti e continuità di funzioni composte. Ordinamento e operazioni tra funzioni da R ⁿ in R . Funzioni continue con dominio compatto o connesso.

Curve in R n. Sostegno di una curva. Curve di classe C k. Vettore tangente, retta tangente.

CALCOLO DIFFERENZIALE E OTTIMIZZAZIONE Derivate parziali.

Inversione dell'ordine di derivazione. Funzioni di classe C ^k a valori scalari o vettoriali. Matrice Jacobiana, gradiente e differenziale. Funzioni affini.

Linearizzazione e differenziabilità. Piano tangente e vettore normale.

Approssimazione lineare. Relazione tra differenziabilità, derivate parziali e classe C ¹ . Ortogonalità tra gradiente e curve (superfici). Il gradiente come direzione di massimo accrescimento. Matrici Jacobiane di f  g , kf e f

g.

Derivate direzionali. Massimi e minimi relativi per funzioni da R ⁿ in R. Test della derivata seconda nel caso n=1. Punti stazionari e teorema di Fermat.

Funzioni con gradiente identicamente nullo. Punti di sella. Matrice

Hessiana e condizioni necessarie o sufficienti per l'esistenza di un punto di

massimo o di minimo relativo interno. Punti di massimo o minimo relativo

singolari o di frontiera. Tecniche per lo studio dei massimi e minimi di una

funzione ristretta ad una curva del piano: riduzione del numero delle

variabili; parametrizzazione della curva con un parametro t; metodo dei

moltiplicatori di Lagrange.

INTEGRALI MULTIPLI Sottinsiemi misurabili di R ⁿ . Frontiera di un insieme misurabile. Definizione di f (x)dxdy



per f:A-->R continua, con A misurabile e compatto. Somme di Riemann. Proprietà dell'integrale doppio (linearità, additività, monotonia...) ed interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Integrale doppio di certe classi di funzioni non continue. Formule di riduzione per integrali doppi. Definizione di integrale triplo. Integrali tripli calcolati per fili e per strati. Volume dei solidi di rotazione. Teorema di Guldino. Formula di cambiamento di variabile per integrali multipli. Integrali doppi in coordinate polari. Coordinate sferiche nello spazio. Integrali tripli in coordinate sferiche.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Generalità. Equazioni del primo ordine a variabili separabili: teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy. Soluzioni "in grande" ed "in piccolo". Tecnica risolutiva per le equazioni a variabili separabili. Equazione di Manfredi, equazione di Clairaut ed equazione di Bernoulli. Equazioni lineari.

Operatori differenziali lineari. Soluzione generale di un'equazione lineare nonomogenea. Equazioni lineari del primo ordine: metodo del fattore integrante e variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Polinomio caratteristico P(z). Fattorizzazione dell'operatore differenziale P(D). Soluzione generale di un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee: metodo di riduzione dell'ordine e metodo dell'annullatore.

SERIE DI POTENZE Intervallo e raggio di convergenza. Somma di una serie di potenze. Teorema di derivazione ed integrazione. Serie di Taylor.

Esempi notevoli. Prodotti e quozienti di serie di Taylor. Applicazioni al

calcolo di integrali definiti ed alla soluzione di equazioni differenziali.

Materiale didattico

 Bertsch – Dal Passo, Elementi di Analisi matematica, Aracne Editrice

 Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri .

 Marcellini – Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 2, Liguori

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