UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA’ DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria Informatica Programma del Corso di Matematica 1 anno accademico 2006-2007 Prof. Alfonso Di Bartolo

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di laurea in Ingegneria Informatica

Programma del Corso di Matematica 1 anno accademico 2006-2007

Prof. Alfonso Di Bartolo

CALCOLO DIFFERENZIALE Pendenza di una retta e coefficiente angolare.

Rapporto incrementale e derivata in un punto. Condizione necessaria per la derivabilità in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e derivata sinistra. Punti angolosi, punti di cuspide e punti a tangente verticale. Derivate di somme, prodotti, quozienti, funzioni composte e funzioni inverse. Derivate di funzioni pari e di funzioni dispari. Derivate delle funzioni elementari. Derivata logaritmica. Punti di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat.

Teorema del valor medio di Lagrange. Condizioni sufficienti per la monotonia di una funzione derivabile in un intervallo. Derivate successive.

Funzioni strettamente convesse e strettamente concave.

Caratterizzazione della convessità e della concavità in termini di f’ e di f’’.

Asintoticità. Asintoti orizzontali ed asintoti obliqui. Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un asintoto obliquo. Studio dell'iperbole equilatera x ² -y ² =1. Studio del grafico di una funzione. Formula di L’Hôpital. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano.

Applicazioni al calcolo dei limiti.

INTEGRALI INDEFINITI Primitive e integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo. Primitive delle funzioni elementari. Linearità dell’integrale. Regola di integrazione per parti. Formule di cambiamento di variabile. Integrali di funzioni del tipo Ax  B

ax

 bx  c e ax

 bx  c . Integrazione delle funzioni razionali: metodo dei fratti semplici e formula di Hermite. Integrali riconducibili a integrali di funzioni razionali.

Cambiamenti di variabile di tipo esponenziale e di tipo trigonometrico.

INTEGRALI DEFINITI Integrale di Riemann per f : [a,b] --> R continua.

Integrale delle funzioni costanti. Positività, monotonia e linearità

dell'integrale di Riemann. Disuguaglianza "triangolare". Additività rispetto

agli intervalli. Approssimazione numerica dell'integrale. Interpretazione

geometrica. Integrali di funzioni continue a tratti. Funzioni integrali e loro

proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e formula di cambiamento di variabile. Media integrale. Teorema della media integrale. Integrali di Riemann di funzioni pari, dispari e periodiche. Integrali impropri: definizione, interpretazione geometrica, linearità ed esempi notevoli. Teorema di regolarità. Criteri di confronto e altri criteri di convergenza.

SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE Regolarità delle successioni monotòne. Successioni definite per ricorrenza. Definizione e carattere di una serie numerica: somme parziali, serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Serie armonica e serie armonica generalizzata. Linearità. Serie a termini di segno costante. Teorema di regolarità. Criteri di confronto. Serie geometriche. Criterio del rapporto e criterio della radice per successioni e per serie. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Serie di potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Somma di una serie di potenze. Teorema di derivazione ed integrazione. Serie di Taylor. Esempi notevoli. Prodotti e quozienti di serie di Taylor. Applicazioni al calcolo di integrali definiti ed alla soluzione di equazioni differenziali.

Materiale didattico

M. Bertsch e R. Dal Passo, Elementi di Analisi Matematica, Aracne.

E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringheieri.

P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 1, Liguori

Editore.