Docente: Marianna Saba mariannasaba@unica.it Dipartimento di Matematica e Informatica
Via Ospedale 72
Corso di Laurea in Scienze dell’Architettura Modulo di Analisi Matematica
50 ore di lezione frontale
Modalità d’esame
• Scritto: gli studenti che frequentano regolarmente le lezioni possono sostenere la prova scritta divisa in due prove parziali, una alla fine della prima parte del
programma (fine novembre) e solamente per chi supera questa, una seconda
prova a gennaio/febbraio. Gli altri sosterranno lo scritto totale nelle date degli
appelli previsti in calendario.
Programma del corso
1. Funzioni 2. Limiti 3. Derivate
4. Studio di funzione
5. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale (cenni) 6. Integrali
7. Equazioni differenziali
8. Funzioni reali di due variabili 9. Ottimizzazione (cenni)
10. Calcolo integrale in più variabili (cenni)
1. Funzioni
• Teoria degli insiemi
• Il concetto di funzione, piano cartesiano e grafici
• Funzioni polinomiali di 1
°e 2
°grado
• Valore assoluto
• Simmetrie, traslazioni, monotonia
• Funzioni goniometriche fondamentali
• Potenze, esponenziali e logaritmi
• Il concetto di funzione inversa
Gli insiemi
Come definire un insieme:
1. Elencazione: elenco tutti gli elementi dell’insieme 𝐴 = 1,2,3,4
2. Uso una proprietà che caratterizza tutti e soli gli elementi dell’insieme : 𝐴 = {𝑥: 𝑃 𝑥 }
• Se 𝑎 è un elemento di 𝐴 si scrive 𝑎 ∈ 𝐴 (si legge ‘𝑎 appartiene ad 𝐴’), altrimenti 𝑎 ∉ 𝐴 (si legge ‘𝑎 non appartiene ad 𝐴’)
• L’insieme senza elementi si chiama insieme vuoto: ∅
Simboli
: "tale che "
∀ "per ogni "
∃ "esiste almeno un "
∃! "esiste un unico "
• ∀𝑥: 𝑃(𝑥) si legge " per ogni x tale che P di x "
• ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑏: 𝑥 = 𝑃(𝑏) si legge: "per ogni x appartenente ad A esiste b tale che x è uguale a P di b"
• ∃! 𝑥: 𝑃(𝑥) si legge "esiste uno e un solo x tale che P di x"
Connettivi logici
• ˄ si legge ‘e contemporaneamente’
• ˅ si legge ‘oppure’
• ⇒ si legge ‘allora’ o ‘implica’
• ⇔ si legge ‘se e solo se’
Esempi:
∃! 𝑥 ∈ 𝑁 ∶ 𝑥 < 7˄ 𝑥 > 5 (esiste un unico x appartenente a N tale che x è minore di 7 e x è maggiore di 5)
𝑎 ∈ 𝐴 ⇔ (𝑎 < 5 ˅ 𝑎 > 23) (a appartiene ad A se e solo se a è minore di 5 oppure a è maggiore di 23)
Inclusione insiemistica
• Dati due insiemi 𝐴 e 𝐵, 𝐴 è sottoinsieme di 𝐵 se e solo se ogni elemento di 𝐴 appartiene anche a 𝐵 e si indica con
𝐴 ⊆ 𝐵 (𝐴 è incluso in 𝐵) In formule: 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ (∀𝑎 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑎 ∈ 𝐵)
Esempi:
• 𝐴 = {1,3,4,5,6,7}, 𝐵 = {1,4,5} 𝐵 ⊆ 𝐴
• 𝐴 = {1,3,4,5,6,7}, 𝐵 = {1,2,4,5} 𝐵
⊈
𝐴Esempi sull’inclusione
Esercizi:
• 𝐴 = {1,2,3,4} è incluso in 𝐵 = {1,2,3,4,5,6} ?
• 𝐴 = {1,2,3,4} è incluso in 𝐶 = {1,2,4,5,6} ?
• Trovare tutti i sottoinsiemi di due elementi dell’insieme A.
Uguaglianza tra due insiemi: (𝐴 = 𝐵) ⇔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) Esempio:
Dati 𝐴 = 1,2,3,4 e 𝐵 = {3,1,4,2}, 𝐴 = 𝐵?
Operazioni tra insiemi: unione e intersezione
• Unione 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵}
• Intersezione 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
• Esempio
𝐴 = {1,2,3,4} 𝐵 = {3,4,5}
• 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5}
• 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,4}
Insiemi numerici
• 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
• 𝑁 = {0,1,2,3, … } numeri naturali
• 𝑍 = … , −2, −1,0,1,2, … numeri interi
• 𝑄 = 𝑝
𝑞 : 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑍, 𝑞 ≠ 0, 𝑝 e 𝑞 primi tra loro numeri razionali
• 𝐼 = numeri irrazionali, esempi: 2, e, 𝜋
• 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼
Esercizi
1. 𝐴 = 𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁 ˄ 2𝑛 = 8 = {𝑛 ∈ 𝑁: 2𝑛 = 8}
Quindi quali sono gli elementi di 𝐴?
2. 𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅 ˄ 𝑥 − 1 > 0 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 − 1 > 0}
Quindi quali sono gli elementi di 𝐵?
3. Dati gli insiemi 𝐴 = 1,3,5,7 , 𝐵 = 4,7,8,9 , 𝐶 = 1 , determinare gli insiemi 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐶, A ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
Intervalli limitati della retta reale
Siano 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 con 𝑎 < 𝑏, allora
• 𝑎, 𝑏 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}, intervallo chiuso (estremi inclusi)
• (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, intervallo aperto (estremi esclusi)
• (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}, intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra (né aperto né chiuso)
• [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra (né aperto né chiuso)
Esercizi: rappresentare nella retta reale gli intervalli
−2,3 ; −3.12, −1,34 ; − 2, 0 ; [1, 5.23)
Intervalli illimitati della retta reale
• [𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≥ 𝑎}
• (𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 > 𝑎}
• (−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 < b}
• (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ≤ b}
• −∞, +∞ = 𝑅
Esercizi. Determinare i seguenti insiemi:
3; 5.6 ∪ [2; 4.3] 3,5 ∩ (3; 4.9)
−∞; 3.4 ∩ [−7.23 ; 3.4] 3; 5.2 ∪ [3; 5.19]
2. ത9; 5. ത2 ∪ ∅ 2. ത9; 5. ത2 ∩ ∅
