Imstra, r e t t a . n g o l a r e con fbrze e coppie d i s t r i b u i t e su rette, ( p p m e sulla, i n t e r a , u a superfieie.
3[emoria di OSVALDO ZANABONI {a Bologna).
Sunto. - Si ricavano le /brmule risolutive pi+~ acco+~cie alle applicazioni pratiche per i casl di ca+'ico indicali ~el titolo, deduces, dole da espressioni pith generali stabilite~ dallo stesso Auto+'e, in altre precedenti Note.
I n una biota p u b b l i c a t a in questi stessi (( Annal.i ~ (~) deducevo la solu- zione di una lastra rettangolare a lafi appoggiati sotto l ' e f f e t t o di una forza concentrata generica, ed in pari tempo a[fermavo che il risul~ato conseguito costituiva il punto di partenza per potere ricavare la soluzione della lastra stessa in qualsiasi altra condizione di carico e di vincolo.
Attraverso sviluppi eonsegnati' ad altre due Note successive, sono infatti riuscito, in un secondo tempo, ad ottenere t a soluzione generale della lastra appoggiata lungo due lati opposti e soggetta all'azione di f o r z e arbitraria:
mente distribuite lungo lince o superficie scelte a piaeimento sulla lastra stessa (.2), (3).
Quale applicazione diretta delle pifi ample conclusioni tratte in tale occasione, la biota presente 6 dedicata agli utteriori sviluppi dei casi parti- eolari, notevoli sotto vari aspetti teorici e pratici, che si ottengono scegliendo come superficie di 'carico l ' i n t e r a estensione della lastra, e come linee di carico le rette parallele a l l ' u n o od all'altro dei lati di questa.
biulla viene fissato nei riguardi della legge di distribuzione delle forze date~ la quale r i m a n e pertanto assolutamente generale.
(t) Serie IV~ Tomo XIX~ 1940, pp. ][07-124.
(e) O. ZA~ABONI, Soluzione caratteristico~ delta tastra ~'ettangolare a due lati appoggiati, sotto l'azione di forze e coppie concentrate, (<~ &tti del 2 ° Congresso Naz. dell'U. M. I. 7,, Bologna, ~_940-XVIII), ed anche: <~ Ricerche di Ingegneria ,,, Roma, 1941.
(3) O. ZANABOSI~ Soluzione della tast~'e~ rettangolare sotto ca~'ichi comunque distribuiti lungo linee e super ficie, (, Atti del 2 ° Congresso Naz. doll'U. M. I. >>, Bolc.gna 19~0-XVIII}, ed anche: ¢ Ricerehe di Ingegneria >)~ Roma. 19'~l-XIX.
196 O. ZA~=ABOI~I: Lastra rettangolare con [brze e coppTe
Contemporaneamente, usando un note procedimento deduttivo secondo il q uale l'effetto di u n a coppia pub aversi da quello di u n a forza m e d i a n t e u n a aeeoneia operazione di derivazione (*), ricavo anche la soluzione per il ease di eoppie c o m u n q u e distribuite lunge rette parallele ai lati delia piastra:
l ~unieo ehe presenti u n interesse applicative.
Credo di p e t e r a f f e r m a r e che i risultati consegui~! sono, per quanto mi risulta, in g r a n parte nuovi e consentono la trattazione di problemi ehe fine ad era non erano assolutamente risolubili.
R i c h i a m i p r e l i m i n a r i . -- P r i m a di e n t r a r e n e l F a r g o m e n t o prefissato, stimo utile a e c e n n a r e r a p i d a m e n t e ai risultati eonseguiti nelle note r i c h i a m a t e i n (~), (2), (~), al fine di non i n t e r r o m p e r e il file logieo d i tutto to sviluppo.
La soluzione della lastra appoggiata su tutto il contorno, sottoposta a earico concentrate, eonsta d e l l ' i n s i e m e di due funzioni biarmoniche espresse in serie di seni delia variabile x: u n a funzione vale e n t r e la striscia di ]astra a sinistra del carico, e l ' a l t r a vale nella striseia di destra.
,L r ~ Y
'
+
- ~ - a _ _
[
IX
~V_.~ ~ ~ i I
i i 1
i
Avuto r i g u a r d o alF indole det problema risolto, tall funzioni sono formal- m e n t e alquanto semplici, m a esse darebbero luogo i n d u b b i a m e n t e a sviluppi di u n a certa mole se fossero usate tati e quali per trattare~ m e d i a n t e sovrap-
posizione degli effetti, easi di forze distribuite.
Di qui 1' origine della nora citata in (~), la quale 5 dedieata alla r i e e r c a
(4) A. ~'AI)AI, Elastiche Platte~,, (ed. Springer~ Berlino}, pag. 162.
distribuite su rette, ol~pure sulla intera sua superficie t97
delle pifi semplici espressioni delia d e f o r m a t a di una l'astra che~ laseiando i n d e t e r m i n a t e le condizioni lungo i due lati verticali, contengsno in s~ il germe caratteristieo della soluzione per il carico concentrato.
Q u e s t s s e m p l i c i s s i m s soluzione, ehe ho pi:eeissmente e h i a m a t s ~ earatte- ristica >>, ~ definita da un ente snalifico che ~ identieamente nullo entro tutta 1s striseia ~ sinistra del earico, e ehe ~ ds~o da:
entro la striscia di d e s t r s (5).
5Taturalmente F introduzione della soluzione e a r a t t e r i s t i c s ~ connessa a p r e e i s s z i o n i e cautele che non 6 il easo di ripetere qui~ b s s t a n d o e i s s p e r e che essa ha il solo scopo di fornire dei termini su cui operare colle stesse regole formati vslide per u n s soluzione ordinaria.
Q u a l u n q n e soluzione effettiva b deducibile da quella ca ratteristica me- diante 1 ~aggiuntS finale di u n s funzione biarmonica in serie di seni, deter- m i n a t s soddisfacendo slle reali condizioni di vincolo esistenti lungo i lati verticali della 1sstra.
Assunto questo punto di partenza, e fissate due coordinate ausiliarie u, t giacenti r i s p e t t i v a m e n t e sugli assi x, y, nella n o t s (:~) ~ stata p r e s s in esame una curva u : u ( t } , di areo s, lungo la quale si immagina agire un carico generico distribnito di intensith q0.
Considerato l ' e f f e t t o totale come 1 ~integrale,~ degli effetti parziali dovuti ai carichi elementari qods --~qo d t dt -~- qdt, e ds posto:
(u)
si ~ trovato ehe uns soluzione p~rticolare della lastrs ~:
h "2 ~
nr:x(III)
w = H,,(y) s e n -zV .
U n s eccezione si p r e s e n t a quando la curva u(t) degenera nella retta u = a p a r a l l e l s a l l ' a s s e x, m s di cib s i dir~ pit~ avsnti.
(~) l g i f e r e n d o c i alla figura, si suppone q u i ehe i la~i a p p o g g i a t i siano q u e l l i orizzontali, c o r r i s p o n d e n t i alle e q u a z i o n i cartesiane x---~ 0; x . ~ - h . Come di consueto ~ stata indicat~
con N la r i g i d i t ~ de]l~ lastra, e con n si ~ indicato u n m~mero i n t e r o genm~ico ~ a r i a b i t e da 1 ad o0.
L ' o r i g i n e e l ' o r i e n t a m e n t o d e l l ' a s s e y sono del tutto i n d i f f e r e n t i agli effetti dei nostri svilulopi. L e coordinate d e l 10unlo di apl01ieazione della forza _P sono x ~ c; y ~ a .
198 O. Z ~ B o ~ I : L a s b r a r e t t a n g o l a r e con /brze e coppie
~ e d i a n t e l' applicazione di analoghi procedimenai di sovrapposizione degli effetti, si ~ trovata la soluzione particolare della, lastra anehe per un carico distribuito s u p e r f i c i a l m e n t e con intensitY) p(u, t).
P o s t o i n f a t t i :
h
'2j"
(IV)
p,,¢l
= i;0
, [
(v) -,=,,<tl . s e l l ] i
• h
(5 risultato :
sen d u
nr~(t--h y) c°sh nr:(:t~ Y)] dt
h ~ ~ 1 K,,{y) s e n - .
t. Forza d i s t r i b u i t a su una parallela ad x. - - Supponiamo che sopra u n a tetra parallela ad ~, di equazione y = a , agisca urt carico distribuito
c o n u n a l e g g e a r b i t r a r i a e s p r e s s a d a l l a f u n z i o n e q - - = q(x) d e f i n i t a n e l l ' i n -
tervallo x := 0 -+= h.
L' effetto totale della forza data si pub ottenere come somma degli effetti dei cariehi e l e m e n t a r i q@)dx, i quali si sanno valutare per mezzo della solu- zione caratteristica citata in introduzione.
I n base a cib possiamo a f f e r m a r e che nelia striscia di siuistra rispetto alla retta data, cio5 per ogni y ~ a , gli effetti parziali sono tutti nulli;
m e n t r e neila striscia di desti'a, per ogni y > a, gli effetti parziali sono dati dalla (I) ore si ponga q(x)dx in posto di P.
I n totale, posto (6):
h
2 f q nr~x
q,, --= f (x) s e n dx 0
u n a soluzione particolare del easo ehe ci interessa ~ data identicamente dallo zero per tutto il tratto y <_ a, e dalla espressione:
c~ - - nr~(y - - a)] nr:x
h ~ ~, q,~ [nr~(y - - a) eosh n~:(y a) senh sen
~ [ ~ - h h J h
2hTrc a v=i n
nel tratto y ~ a.
(6) Siccome la f u n z i o n e q(x) interessa, p e r r a g i o n i f)siche, e s c l u s i v a m e n t e nel tratto 0-~-h~ cosi ~ leeito a m m e t t e r e che nel tratto m e d e s i m o essa ral0presenti la s e m i o n d a di una f u n z i o n e p e r i o d i c a d i s p a r i estesa da - - ~ a -H ~ . Con cib i t e r m i n i q~, si i d e n t i f i c a n o con i coefficienti detlo s v i t u p p o in serie di ]~ou~IE~ d e l l a q(x): s v i l u p p o che~ colle a m m i s s i o n i fatte~ si riduce ad u n a serie di soli seni.
distribuite su rette, oppure sulla intera sua superficie 199
Cosieehb se poniamo, C0mB b leeito, la funzione b i a r m o n i e a aggiuntiva nella forma •
(1) I¥~ - - 2N~-.~ ~ ~ A~ senh n N nrc(y-- a) eosh n ~ 3 - - a)
+ C',~ cosh nT:(y-= a) n N y - - a) senh n~:( a) sen h
- - h + - D ~ h - - -
con A,,, B,~, C,~ D~,, eoeffieienti indeterminati, la d e f o r m a t a elastiea ehe fornisee la soluzione della lastra b data dalla (1) stessa per y ~ a, m e n t r e
data dalla •
(2)
I ~ 2 _ k~ ~ % l t A - - 1 ) s e n h n ~ ( y - a ) ~-(B,-l-1)nNY~-a)eoshnTC(Yija) +-~- C~ eosh nrc(y -- +- D ~ nu(Y-- a) senh h sen h
Le (1), (2) insieme risolvono d u n q u e il p r o b l e m a q u a n d o i eoeffieienti A,~, B,~, C,~, D~,, vengano definiti i m p o n e n d o all~ d e f o r m a t a W~, W~ il ri.
spetto dei vineoli effettivamente esistenti l u n g e i lati vertieali della lastra.
P e r tale rieerca ei si varrh, del principio di identith delle serie.
ESEMP~O 1 % - L a Iastra s o p p o r t i sulla m e d i a n a vertieale un earico mrcx (m intero); m e n t r e i vincoli lungo espresso u n i t a r i a m e n t e dalla q = k sen
i lati verticali siano costituiti da appoggi sempliei.
La q ~ gi/( data m e d i a n t e il proprio sviluppo in serie di seni, dal quale si rileva che:
q ~ _ ~ i 0 per n=t=m
C o n s e g u e n t e m e n t e le (1), (2) constano, per questo easo partieolare, del solo t e r m i n e eorrisponde a l l ' i n d i c e m.
P e r u s u f r u i r e dei vantaggi offerti dalla s i m m e t r i a della nostra struttura, poniamo 1' origine delle y sulla m e d i a n a verticale faeendo di eonseguenza a - = 0.
La W~ data dalIa (1) sara allora valida per y ~ t 2 " 0; e la l/l/~ data dalla (2) sara valida per y ~ 0 " 1
2"
Le eondizioni di s i m m e t r i a p r e e e d e n t e m e n t e invoeate esigono ehe W~
nel punto ( x , - y) sia identiea a l/g~ nel p u n t o (x, y), il ehe porta alle
200 O. ZA~ABON~: L a s t r a r e t t a n g o l a r e con f o r z e e coppie
equazioni :
A m - - 1 --- - - A m ; B . , + 1 = - - B,~
1 1
soddisfatte per A,~ - - ~ ; Bm - - - - 2"
Cib r e n d e a a e h e soddisfatta t ' i n d i s p e n s a b i l e eoudizione di eontinuith ed orizzontalita della tangente perpendicolare alla mediana, e cio~
= o
~Y ]~=o \ ~y /~=o
Valendoci dei valori gih noti di A,~, Bin, le eondizioni di appoggio semplice lungo il lato ¢ / = 2, espresse d a l l ' a n n u l l a r s i della freecia e del l m o m e n t o flettente, d h n n o :
, 1 m ~ l 1 m ~ l , 'mT:l ~. . mTzl _ m ~ l , m~l
i
- - ~ senh 2 h + 2" 2 h - eosn ~ + (4. cosn 2 / 7 + D.~ 2 h senn - ~ - = 0I 1 , m ~ l 1 mT:l m u l ~ m,-:l m ~ t , mT:l
• ~/~ eosh -~ (Cm-{-2D,,)cosh ~ + D m 2 h - s e n n ~-/~- =O.
senn ~ -+- 2 2 1 ~ -
Si ricava di q u i : 1 / mr:l
Cm mul . ~ m r z l ~ 1 mr:l
~ seeh ~ -~ff]; D,,, - - 2 tgh 2h '
La deformata riehiesta ~ d u n q u e :
kh~ i m r : y mr~y . m r : y / m u l W~ - - 4 N n S m . ~ - - senh ~ - A- ~ - cosn ~ - -t- ~tgh ~]~
m:~l mr:lt cosh m roy m ~ l m ~ y .m:zu I m ~ x
. . . senh - ~ s e n - - - -
2 h sech~ -2h-] ~ - tgh 2h h n ! h
E s i m m e t r i e a m e n t e p e r W,.
2. Coppia d i s t r i b u i t a su una r e t t a parallela ad x. - - Le eoppie che in.
teressano questo caso sono n a t u r a l m e n t e quelle sole che agiscono in piani' perpendicolarl alia r e t t a g e n e r i e a y - - a .
Secondo quanto trovasi svolto nei lavori citati in (2), (4), la soluzione richiesta si otfiene semplicemente derivando rispetto ad a la d e f o r m a t a w i , +v 2 dovuta ad un carieo distribuito lungo la r e t t a data, e sosfituendo ai pa- r a m e t r i della forza quetli della coppia.
C0sicch~ se F intensith di q u e s t ' u ! t i m a (~ data dalla funzione } ~ ~(x)~
distribuite su rette, oppure sulla intera sua superficie 201
e se procedendo allo sviluppo in serie di seni t r o v i a m o :
C01a :
~(x) = E ~n sen - - - -
1 h
h
2 j n~:x
I%, = h ~t(x) sen ~ d x
0
deduciamo i m m e d i a t a m e n t e dalle (1), (2):
l h~ ~ , ~ [ nr:(y--a) rive(y-- a)
1 ~v~ ~ 2N=2 E n"-[A'~ senh + B~ a) cosh n=(y-- +
1 h h h
(3)
t nu{y-- a) mc(y - a) ~ nrc(y-- a)] nv:x
, + C~ cosh ' h - + D~ h senn h / s e n
h
(4) w~ 2.L~* ~ n ~ A,~ senh + B~ a) cosh n~(y +
+ 6~,, eosh nr~(y-- a! + ( D n _ 11 nrc(y-- a) senh n ~ ( y - - a! sen
h h h h
I nuovi coefficienti A+,, B,,, C,,, D,~, vanno ancora determinati in base alle condizioni di vincolo lungo i lati verticali della lastra, procedendo cogli stessi criteri indicati al paragrafo 1 ed all' esempio i °.
L a (3) vale per y ~ a, e la (4) per y ~ a.
Le formule testb dedotte corrispondono alle coppie con a s s e - m o m e n t o orientato e diretto come l ' a s s e ~, quando si a s s u m a come senso r o t a t o r i o positivo qttello destrorso.
3. F o r z a d i s t r i b u i t a su una r e t t a parallela ad y. - - L a retta in que.
stione (vedi figura) sia la x-.~c, ed il d i a g r a m m a di carico sia dato dal- l' equazione q ~ q(y).
Stabilita lungo I'asse y u n a variabile ausiliaria t, la soluzione si ricava come caso particolare dalle (II), (HI) facendovi utt ) - - c = cost.
Dal]' integrale e s p r i m e n t e la H+: possiamo allora estrarre il termine co-
n T ~ c
stante sen-/~-~ cosicch~, introdotta la seguente n u o v a funzione di y ed n:
(5) F~(y) -- 27:3n3. (t). senh h - h (y)
legata alla H+, dalla:
(Yt --- - ~ . 7 sen -]~-. F, dy )
An**al~ di 2~lc~temc~tiec*, ~Sorie I V . Tomo X X , ~6
202 O. ZxxA~oxt: L a s t r a rettangolare con [brze e coppie
la soluzione.partieolare delia lastra ~:
2 ~ Z F,~(y). sen nr:c ~ - sen h nr:x
(6) +v
La soluzione generale si ottiene, come di consueto, aggiungendo alla precedente u n a f u n z i o n e binrmonica del tipo solito:
2 ~ ( A ~ s e n h nr~Y
(7) 5~h 1 ~ -
. nrzy nr~y , nT:y
-+/~,, -~-- cosh ~ , - + C,, cosn -~, -4-
nr~y . nrcy\ nr~c n = ~ + D~ ~ - senh ,~/-w-~] sen ~ - sen
h
i eui eoeffieienti ristdtano, come sempre, definiti in base alle condizioni di vincolo esistenti lungo i lati vertieali della lastra.
Se, come easo partieolare, il dia:gramma di carieo fosse assegnato per mezzo d i u n a successione di varie espressioni analitiehe vaievoli c i a s c u n a in un proprio tratto, le (5), (6) ei darebbero aneora le rispettive soluzioni parti- eolari; m e n t r e ]e singole funzioni b i a r m o n i c h e aggiuntive risutterebbero de- t e r m i n a t e , oltre ehe dalle eondizioni di vineolo, anche dalle condizioni di eontinuith tra i varI tratti di esistenza delle diverse espressioni date.
U n a semplice verifiea ci m o s t r a e h e l a F,~, data dalla (5), soddisfa alla seguente relazione differenziale:
(s)
in cui le derivate sono prese naturalment, e rispetto ad y.
Si eonstata p a r e faeilmente che questa relazione b indipendente dalla presenza delia funzione b i a r m o n i e a aggiuntiva arbitraria.
L a (8) si presta, tra l'altro, a risolvere il seguente importante quesito:
<< Data u n a funzione di due variabili del tipo della (6), deeidere se essa r a p p r e s e n t a la d e f o r m a t a di u n a lastra r e ~ t a n g o l a r e p e r effetto di u n carieo distribuito su d i u n a retta parallela ad un lato, e p r e c i s a m e n t e sulla retta
~ - - - ~ >>.
P e r rispondere alla q u e s g o n e b a s t e r a assumere la funzione di y t h e trovasi a coefficiente di ~ s e n - - h - - s e n ~ - , e su di essa eseguire 1' operazione indicata dat primo m e m b r o della (8).
Se il risultato ~ u n a funzione i n d i p e n d e n t e da n, la risposm b affer.
mativa, ed il risultato stesso ei 'd/~ l ' e q u a z i o n e del d i a g r a m m a di earieo agente sulla retta y = c.
distr,ibuite su rette, opp.~f,re sulla intera s.ua s.~q)erficie 203
Se per contro il risultato ~ funzione di n, la risposta ~ n a t u r a l m e n t e n egativa.
U n a seeonda utile espressione di F,~ si pub ricavare dalla (5) praticando indefinitamente l'integrazione per parti.
Il faeilissimo sviluppo conduce alla:
. . . . . . . . . . . l V ,
che soddisfa f o r m a l m e n t e alla (8).
ovvio e h e l a (9) ~ utilizzabile tutte le volte che essa dh luogo ad uno sviluppo convergente: in particolar modo quando q si riduee ad uu ordinario polinomio in q.
L ' u s o delh¢ (9) pub a n c h e essere consentito allorch~, p u t non avendosi convergenze~ nel senso ordinario, si possegano dei Criteri di sommazione chc costituiscano, per cosi dire, un procedimento inverso a quello della r i p e t u t a integrazione per patti, e risultino percib distruttivi di quanto con essa si era introdotto di non lecito secondo FAnalisi.
I n t r o d u c e n d o la (9) nella (6) troviamo la r e l a z i o n e :
2 h 3 ~ 1 [ ( h ) ~ ] nTcc n~a~
ehe, eolle restrizioni rieordate, risolve il nostro problema.
La (10) pub r i g u a r d a r s i comb somma di tante serie di seni quanti sono gli addendi entro parentesi quadra, e ciascuna di tall serie pub essere diret- t a m e n t e sommata.
Infatti, astraendo dal fattore q, indipendente da n, la p r i m a di esse:
2h ~ 1 nuc n~x
Nr~--; E ~7 sen ~ - sen ~ , esprime la deformata di u n a ordinaria trave a semplici appoggi, di luce h e rigidezza N, quando nel punto x---~ c si porti ad agire u n carico concentrato unitario (7).
Di tale d e f o r m a t a si possiede l' espressione in termini finiti, e cio6, rife- rendoci alia solita f i g u r a :
i C~ 2 C C , ) X - - X ~] per x _ < c 2h :~ ~ 1 nr~c n ~ x 6 h N L,~ -4-
. . . ~ - - S O ~ D s e n - - - - - - .
[ 1 1 t -~¥u 4 1 n 4 / ~ h c
(~ 6 1 ~ [(c; + 2ce,)v - - v ~] per v < c~°
La serie sueeessiva entro la ~9), salvo il fattore 2q", ~ quel particolare (7) TI3~:OSttENKO-LESSELS, Festigkeitslehre, (ed. Springer, ]3erlino), pug. 124.
204 O. ZX~CABOI¢I: L a s t r a rettangolare con [brze e coppie
integrale doppio della serie precedente, cambiato di segno, che si annulla per x = O , e per x - - h.
Se d u n q u e la prima d e f o r m a t a viene a s s u n t a come d i a g r a m m a di carico sulla trave appoggiata, la seconda serie r a p p r e s e n t a il d i a g r a m m a del momento flettente che ne risulta.
E s e g u i t e Ie integrazioni doppie sulle (11), cambiato il segno, e determinate le costanti in m a n i e r a che siano rispettate le condizioni di continuith nel punto x = c, e quelle di appoggio nei punti x - - 0 , x := h, si ha:
gC3 ~51
- - (e ~ + 2cc,) • + N
2h ~ ~ 1 n¢~c n u x per x ~ c
(12) h ~7:-~ Z - s e n 1 ~,6 ~ - s e n - - - - : h c [ |
.~cc~)(7ci-~- 14cc1-~- 4c~)v - -
- (c~ + ~ + i~I 2cc~) v~ v~
per v ~ c c In modo analogo la terza serie, salvo il fattore 3q 'v, ~ l ' e s p r e s s i o n e del m o m e n t o fiettente quando si assimili la seconda d e f o r m a t a ad un d i a g r a m m a di carico~ e cosi ~ via.
R e s t a d u n q u e pr0vato ehe, proeedendo per mezzo di facili integrazioni, si possono d e d u r r e in termini finiti i coefficienti di q, 2q", 3q '~', ecc. nello sviluppo di w.
Se q ~ un polinomio di y, tutta l a w resta d u n q u e esprimibile esclusiva- mente in termini finiti.
G]i sviluppi che ne risultano si prestano assai bene per i calcoli nume- rici relativi alla soluzione particolare dovuta al carico q, m e n t r e per la deter- minazione della funzione biarmonica aggiuntiva, secondo le condizioni di vincolo h n g o i lati verticali della lastra~ ed in base al principio di identith delte seri% sar'~ i n d i s p e n s a b i l e usare l a w nella forma (6) oppure nella (10).
ESE~PIO 1 ° - - Risolvere u n a lastra appoggiata sui quattro lati~ la quale m~y (m intero).
SOloporti ~ lungo la retta x ~--- c~ il carico q - - k sen - 7 - Inserita la q entro la (5) si t r o v a :
T ~ -.~ k m u y
s e n - -
\ Y + Z ~]
distribuite su rette, oppure sulla intera sua superficie 205
Allo stesso risultato si p e r v e r r e b b e qualora si sommasse formahnente, senza riguardo alle condizioni di convergenza, la s e r i e :
- - sen • 1 - - 2 3
~ n ' - - [ - \ In ] \ In ] ....
ottenuta dall'applicazione diretta della (9).
Come si ~ gii~ fatto notare, questo eorrisponde a p e r c o r r e r e a ritroso il e a m m i n o effettuato per passare dalla (5) atla t9) stessa.
Sostitnendo entro (6) abbiamo la soluzione particolare:
2k m~y ~ 1 n ~ n ~ x
[m ~ n~\~ sen -/~-- sen ~ ( - - ,
= - 7 -
V -4-
\
la quale rispetta gii~ di per s~ le eondizioni di appoggio lungo i lati verticali della lastra, e quindi r a p p r e s e n t a d i r e t t a m e n t e la soluzione richiesta senza a g g i u n t a di funzione b i a r m o n i c a s u p p l e m e n t a r e ; (ovverossia con u n a funzioue aggiuntiva che in questo easo partieolare risulta i d e n t i e a m e n t e nulla).
ESE]gPIO 3 ° - - Sia la solita ]astra appoggiata sui quattro lati, soggetta~
lungo la retta x - - 0, al carieo q ~-- ~- yL k
Poieh~ si ha q " . = - ~ , m e n t r e le successive derivate sono tutte identica. 2k m e n t e nulle, possiamo applieare d i r e t t a m e n t e la (10) che ei d h :
2kh ~ ~ 1 ( 4h~ \ nrcc nv:x
w--- Nl~r:4 1 ~ . y~ -~- ~ ) sen ~ - sen -h--
La soluzione in questa forma, ei servir'~ per la deduzione della funzione biarmoniea aggiuntiva (7) in m a n i e r a c h e l a d e f o r m a t a eomplessiva soddisfi alle condizioni di appoggio lungo i due lati vertieali y--~ O, y---~ I.
Omettendo i ealeoli intermedi, ehe non interessano, si trova che le quattro costanti i n d e t e r m i n a t e assumono il valore:
- - Nl~Tc~n~ ~:~n ~ -1~i-- - - 1 4 - - (1 q- 2v) - ~ ] --
B , , - [.71+
hTl~r~n ~ [.~n ~ (1 C~, - - 8kh~
2kh 5
1), = ~¥1,=6nO (1 + 2v).
2 -1- (1 -4- v) nrcl null I nrd - - coth ~ - ] l "~ cosech h 9, ~/ , n~l 1 ) - - ( 1 - t - h -~ ~v)(eosn ~ - - v)l I eosech nrcl
206 O. Z ~ B o ~ ; : L a s t r a retta,ngoiare con [brze e coppte
La deforma~a aggiunta resta cosi d e t e r m i n a t a in modo completo.
P e r gli sviluppi dei calcoti n u m e r i c i conviene r i c a v a r e la ~ in termini finiti, e per questo seopo ci si varr/~ delle (i1}~ (121 che dhnao immediata- mente, per ~ ~ (: :
kc~ i[(d- + 2cv~)x = 'x~]y ~" -~- ~) { c ~ + 2cc,){7c ~ + 14cv, + 4c~)x - - W - - 6NIP
3 (c~ + 2co, Ix :~ + o ~ "
Scambiando come"al solito, c con c, ed x con v, si ha 1' espressione di w valevole per il tratto c o m p l e m e n t a r e v ~ c~.
4. C o p p i a d i s t r i b u i t a su una r e t t a para]lela ad y . - - La retta sia la x = c, e la coppia, distribuita colla legge ~ ~ ?(y)~ agir~ secondo piani per- pendicolari alla retta stessa.
Assumiamo ancora il senso rotatorio des~rorso come positivo, e l ' a s s e - momento positivo orientato come l'asse y.
Risulta allora (vedi i lavori citati in (2), (4)) c h e l a soluzione dovuta alla coppia si ha da quella della corrispondente forza distribuita, prendendo la d e r i v a t a rispetto a c con segno cambiato, e ponendo i p a r a m e t r i di ~ in luogo di quelli di q.
Fatto dunque, a n a l o g a m e n t e alla (5):
h "~ n~(t -- y) n ~ ( t - y) cosh dt
(13) G~,~y)- 2 ~ n 3 " (t). senh h h h
(~)
ta soluzione richiesta, a meno di u n a ordinaria funzione biarmonica; ~ data da:
2~: ~ n ~ e n ~ x
i14) w ~ - - ~-/~:~ 7 nQ~iy), cos ~ - s e n ~-Y-"
La G,, soddisfa alla relazione:
G. ~v h ~ G,(' + G,~ = I~ly)
identiea alla (8), la quale p e r m e t t e di disfinguere, nei singoti casi prafiei, se un' equazione del fipo (14) ~ la deforma~a per effetto di u n a coppia distribuita.
P e r analogia eolla (9) si ha p u r e :
=~n ~ ~ + ~ + ~ - i ~ + . . . . \ ~ W ~=0
dist'ribuite s~.e rette; o p ~ r e s~dla intera sua s~pe,rficie 207
Sostituendo in (14) si ha:
2h~ ~ 2 / h \~ ,, / h \4 | - - - ! pF. , . . C O S ~ - - nr:c n u x
\ ~ n / h
P o s s i a m o anehe qui, i m p i e g a n d o gli stessi eriteri applicati per il caso del paragrafo preeedente, esprimere le varie serie in termini finiti.
Avremo, p a r t e n d o dalla d e f o r m a t a della trave d i l u c e h per ef[etto di u n a coppia u n i t a r i a nel p u n t o x ~ c:
2h~ E 1 nr~c n=x ) 6 h N [(2c:~ - - 2cc, - - c~)x + x 3] p e r x ~ c N~=~ n~ c°s-/-~- sen --bY --" I 1 1
6 [(2c ~ - 2 c G - c ~ ) v + v 3] per v ~ G . E s u c c e s s i v a m e n t e :
1 7
i 2 h ~ (804~ + 3 2 c c ~ - 12c~c~ - - 28c~c~ - - 7c~)x - -
+1
- - ( 2 c ~ - - 2 c c , - - c ~ ) 3 - - f O per x ~ c
2h' 1 n~c nr:x
Nu ~ = n ~ c o s ~ s e n ~ - : 1 [1
i2tiN[:gO (80' + - 3 2 c 3 c , - 12c~ce~- 2 8 c c ~ - 7c~)v - :
"" V3 V5 l
- - ( 2 c ~ - 2 c c ~ - c ~ } 3 --1-0 p e r v ~ c ,
J
e cosi via.
Tutte le f o r m u l e stabilite in questo paragrafo vanno usate colle stesse n o r m e indicate al paragrafo p r e c e d e n t e per il caso della forza distribuita.
5. Forza d i s t r i b u i t a s u i l ' i n t e r a superficie della lastra. - - L ' i n t e n s i t h su- perfieiale deI carico agente sarh definita per mezzo di u n a funzione delle variabiii x, y: scriveremo d u n q u e p - ~ p l x : y).
Considerata la y come a n parametro, e tenuto presente quanto 6 stato osservato nella nota (6}~ 6 s e m p r e possibile s v i l u p p a r e la p(% y) in serie di seni; per modo che, p o s t o :
p(x, y) -~ ., Pn(Y) sen - - - -
1 h
COIl :
h
2 /~ n r ~ _ (16) P~(Y) = ]~" r= (x, y) sen ~ - c t x
6 ~
208 O. Z~NxJ3o~: Lastra rettangolare con forze e coppie
ed introdotta la nuova funzione:
(17)
h:' /p [ n=(t--y)
n~(t - - y) eosh nz(t -- Y)ldth h
]
ehe 6 legata alla
1¢,,
della (V) dalla relazione:K.(y) 2=~ n~
= - h ~ - L,,(y)
u n a soluzione particolare della lastra 6 data dalla (VI) e si h a :
1 co n ~ a ~
(18) w--~ Tt~ L,jy) s e n - ) t .
N a t u r a l m e n t e la soluzione g e n e r a l e si ottiene aggiungendo la solita fun- zione biarmoniea arbitraria.
L ' a s s o l u t a identit~ formale della (17) colla (13~ e colla ( 5 ) c i 'assieura ehe sussiste la relazione differenziale"
(19) L,,'" l: + -]-(- Z,~ =p,,(y)
che 6 valida i n d i p e n d e n t e m e n t e d a l l ' e s i s t e n z a della r u n , l o n e b i a r m o n i c a aggiuntiva.
Avremo anehe, a n a l o g a m e n t e alia (9):
h' P , I Y ) + ~ P , ~ ( Y ~ . . .
che sostituita nella (18), d'~:
h ~ ~ 1 [ . 2h ~ ,
(20)
w= ~ ~ n + ~
p'' + ~+p p,~ + ...j sen-~{-.N a t u r a l m e n t e q u e s t ' u l t i m a va u s a t a co lie stesse eautele della (9) e delia i10), e riesce p a r t i c o l a r m e n t e utile allorch~ p , 6 un polinomio di y.
L a w, nella forma (18) o (19), si presta assai bene per la determinazione della funzione b i a r m o n i c a aggiuntiva in base alle e0ndizioni di vincolo dei lati verticali della lastra.
Come fu fatto nei paragrafi precedenti, eonsideriamo anehe qui le singole serie di cui 6 composta la (20).
h ~ 1 nr:a~
L a p r i m a di esse: ~ E ~p~{y) s e n - ~ - , 6 la d e f o r m a t a di u n a trave
distribuite su rette, oppu+'e sulla intera sua suf)erficie 209
appoggiata di rigidezza N e di l u t e h, so~to l'azione del carico distribuito plx, y) eousidera~o come funzione della sola x (~).
Sieeome la Seienza detle costruzioni ci insegna a d e d u r r e tale d e f o r m a t a per mezzo di quattro integrazioni della p(x, y) rispetto ad x, e m e d i a n t e successiva determinazione delle costanti arbitrarie p6r mezzo della eondizioni agli estremi, eosi la somma della prima serie pub oonsiderarsi nota.
P e r la seeonda serie, notiamo ehe essa 6 facilmente ottenibile datla p r i m a : basta infatti d e r i v a r e due volta rispetto ad y, i n t e g r a t e due volte rispetto ad x, e moltiplieare per - - 2 .
Qaeste stesse operazioni es~guite sulta somma, ormai nota, della p r i m a serie, sono atte a fornirei la somma della seconda.
Poich6 gli sviluppi in serie di seni soddisfano alle condizioni di appoggio per x = 0 , x = h, bisognerh, ad ogni doppia integrazione, d e t e r m i n a r e le eostanti in m a n i e r a t h e tali eondizioni risultino rispettate.
P e r analogia risutta a questo punto assai facile, iterando le aeeoncie operazioni gih rieordate, esprimere le somme della serie successive.
h ~ ~ I nrcx
Sinteticamente, se poniamo f(~, y)--2qrc~-~n--~p,~(9).sen ) ~ , e se indi- ehiamo eon I, I' operazione di integrazione rispetto ad x r i p e t u t a s v o l t e sod- disfaeendo sempre alle condizioni di appoggio, avremo t h e la soluzione par- ticolare b data da:
- 4 f). y. + . . . .
La (20) e la (21) risultano assai utili per la facilit/~ che esse conferi- scone ai caleoli quando Pl~, y) ~ uu ordinario polinomio helle due variabili.
EsEI~IPIO 4% -- D e t e r m i n a r e una soluzione partieolare della lastra quando il earico agente sia espresso da p - = / ~ xyL k
Eseguiamo d a p p r i m a l'applieazione della f o r m u l a (~1), e peroib consi- deriamo la trave appoggiata, eli l u t e h e di rigidezza N, caricata della forza distribuita p.
La sua deformata, deduoibile mediante u n a q u a d r u p l a integrazione ri- spetto ad x, e m e d i a n t e determinazione delle eostanti arbitrarie in base alle eondizioni di appoggio, ~:
kY~ (3x ~ -- 1 0 h ~ ~ - 7h'x) f(x, y) = 360Ni~ h
(s) G. ALBEN~A, Lezioni di Pottti~ (ed. U. T. E. T.~ Torino), voL I I , pag 33.
"210 O. Z ~ ( ~ o ~ I : L a s t r a r e t t a n g o l c t r e con f o r z e e coppie, ecc.
P o i c h ~ le d e r i v a t e di
f
r i s p e t t o ad y , di ordine s u p e r i o r e a 2 sono iden- t i c a m e n t e nulle~ lo s v i l u p p o (21) c o n t e r r h d a e soli termini.S i c c o m e poi :
kY~ (3~ 7 - - 2 1 h % ~ -t- 4 9 h ' x 3 - - 31h%) U f ) - 15t20Nh
s o s t i t u e n d o in (21) si ha in t e r m i n i fiuiti"
7 5 6 0 N h 1 ~ k [21y ~. (3x s - - 10h~x :~ -I- 7 h ' x ) - - (6~c 7 - - 42Mx, 5 + 9 8 h ' x ~ - - 62h%c)].
Calcolata p e r v e r i f i c a la h~,v, troviamo, c o m e e f f e t t i v a m e n t e d e v e e s s e r e :
k p
A ~w _ N h l ~ x y ~ = ~V"
Allo scopo di d e d u r r e l ' e v e n t u a l e f u n z i o a e b i a r m o n i e a a g g i u n t i v a , si p r e s t a i n v e c e assai me glio l a w e s p r e s s a in serie di seni.
P e r la (16) si h a :
h
2 [ k
o
n u x 1),~+~ 2 k y 2
sen ~ - - d x - ~ ( - - "l ~ u n "
C o n s e g u e n t e m e n t e : p " - - (-- l ) ' + ~ ' F ~ n " 4k e poich~ le s u c c e s s i v e d e r i v a t e dip++ sono i d e n t i c a m e n t e nulle, t o r n a utile v a l e r s i della (20).
Q u e s t a ci di~ subito ] a w n e l l a f o r m a d e s i d e r a t a :
w - - 2¢1~u5 El n~ \Y~ -I- ~ n ~ ] sen ~ - ,
