RETTE NEL PIANO: applicazioni

GEOMETRIA ANALITICA - RETTE

ESERCIZI SVOLTI

RETTE NEL PIANO: applicazioni

Calcolo dell’area di un triangolo note le coordinate dei vertici.

Dato un triangolo di vertici A x( A^{; ,}yA) (B xB^; yB)e C x⁽ C^;yC⁾, in questa lezione ci proponiamo di determinarne l’area sia per mezzo della nota formula:

2 AB CH×

A =

essendo AB la base del triangolo e CH la relativa altezza, sia attraverso il determinante di una matrice 2x2.

Esercizio

Siano A ( 1; 3 ), B ( 3;1) e C ( -6; -2 ) i vertici del triangolo A B C^ . Calcoliamo innanzi tutto la lunghezza della base AB:

2 2 2 2

( _{B A}) ( _{B A}) (3 1) (1 3) 4 4 2 2

AB= x −x + y −y = − + − = + = .

Per calcolare l’altezza CH basterà calcolare la distanza tra il punto (C x_C;y_C) e la retta AB, utilizzando la formula:

2 2

( , ) ax^C by^C c d C r

a b

+ +

= + ^.

Determiniamo l’equazione della retta r e poi CH : _AB

1 3 1 3

: 4 0

3 1 1 3 2 2

A B

AB

B A B A

x x y y x y x y

r x y

x x y y

− = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ + − =

− − − − − .

CH = ( ) ( )

2 2

1 6 1 2 4 6 2 4 12 12 12

(C, )

2 2 2

1 1

d rAB ⋅ − + ⋅ − − − − − −

= = = = =

+

6 2

2₁ =6 2 Pertanto l’area del triangolo è:

( )

12 2

2 2 12 2

2 2 2 12

6 2 × ×

= =

× =

A = ^.

Allo stesso risultato si può giungere seguendo una strada molto più semplice. Basterà infatti calcolare il determinante⁽¹⁾ di una matrice 2x2 e applicare la seguente formula:

1 2

C A C A

B A B A

x x y y

x x y y

− −

× − −

A = ^{= 1 ( )( ) ( )( )}

2× x^C −x^A y^B−y^A − y^C −y^A x^B−x^A  ^. (*) Nel nostro caso:

B C

A H

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( )

6 1 2 3 7 5

1 1 1 1

7 ( 2) ( 5) 2 (14 10) 12

3 1 1 3 2 2

2 2 2 2

− − − − − −

× = × = × − ⋅ − − − ⋅ = × + =

− − −

A = .

N.B. Invece della formula (*) può anche essere utilizzata la seguente formula equivalente che ha il vantaggio di essere più facile da ricordare:

( ) ( )

1

1 1

2 1 2

1

A A

B B A B C A B c B C C B

C C

x y

x y x y y y x x x y x y

x y

× =  − − − + − 

A =

Osservazioni:

- Attraverso la formula (*) è possibile risalire alla condizione di allineamento di tre punti.

Infatti, tre punti sono allineati se, e solo se, l’area del triangolo da essi individuato è uguale a zero, pertanto:

(xC −xA)(yB −yA) (− yC −yA)(xB −xA)=⁰ ⇒

(xC−xA)(yB−yA) (= yC −yA)(xB −xA)

da cui: ( )

( ) ( )

( )

C A C A

B A B A

x x y y

x x y y

− −

− = − . (1)

- Inoltre, se nella (1) sostituiamo il punto C con un generico punto P(x; y) della retta, l’equazione diventa:

( )

( ) ( )

( )

A A

B A B A

x x y y

x x y y

− −

− = −

- che è la formula per trovare l’equazione di una retta passante per due punti.

(1) Per calcolare il determinante di una matrice 2x2 basta moltiplicare i termini della diagonale principale e dal risultato ottenuto sottrarre il prodotto dei termini della diagonale secondaria, cioè:

( ) ( )

11 12

11 22 21 12

21 22

a a

a a a a

a a = ⋅ − ⋅ .

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