CALCOLO LETTERALE
Un’espressione letterale, è un’espressione in cui compaiono numeri e lettere, o solo lettere, legati da operazioni.
Assegnando valori numerici alle lettere e sostituendo
nell’espressione tali valori alle lettere, otteniamo il valore dell’espressione.
In un’espressione letterale è possibile sottintendere il segno di
moltiplicazione tra un numero e una lettera, tra due o più lettere e quando sono presenti delle parentesi.
Per esempio: 3 ∙ a + 2 ∙ b2 ∙ c = 3a + 2b2c
x ∙ (3x – 5y) ∙ (2x + y) = x(3x – 5y)(2x + y)
Un monomio è un’espressione letterale in cui tra numeri e lettere e tra lettere compaiono solo moltiplicazioni.
In un monomio distinguiamo (oltre al segno, positivo o negativo):
Il coefficiente (rappresentato dalla parte numerica); la parte
letterale (rappresentata dalle lettere, scritte in ordine alfabetico).
Se il coefficiente è +1, si omette (es.: +1b = b)
Se il coefficiente è -1, si indica solo il segno (es.: -1c = -c)
Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.
Due monomi sono opposti se sono simili e hanno coefficienti opposti.
Due monomi sono uguali se sono simili e hanno lo stesso coefficiente.
Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui questa compare nel monomio.
Il grado complessivo del monomio, o grado del monomio, è uguale alla somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.
Esempio: il monomio 8a5b è di
grado 5 rispetto alla lettera a perché 5 è l’esponente di a;
grado 1 rispetto alla lettera b perché 1 è l’esponente di b.
Il grado del monomio è 6 = 5 + 1.
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.
Non è possibile sommare due o più monomi non simili.
Esempio: 2a + 3ab + 2b + 4abc
Il prodotto di due o più monomi è un monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali.
Es.: (-2ab2)(-3a2b3c) = 6a3b5c ab(-3c) = -3abc
La potenza con esponente naturale di un monomio è un monomio che ha per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale tutte le
lettere della base, ciascuna con esponente uguale al prodotto tra il proprio esponente e l’esponente della potenza.
Es.: (-2ab2)2 = 4a2b4 (-3a2b3c)3 = -27a6b9c3 (-2c)4 = 16c4
Il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo e il primo divisibile per il secondo, è un monomio che ha per coefficiente il quoziente dei
coefficienti e per parte letterale il quoziente delle parti letterali.
Vediamo che cosa succede in alcuni casi particolari.
Il quoziente tra due monomi simili è un numero: (–8ab2):(2ab2) = –4 Il quoziente tra due monomi opposti è –1: (–3xy2):(3xy2) = –1
Il quoziente tra due monomi uguali è 1: (6x2):(6x2) = 1
Un polinomio è una somma algebrica di monomi, detti termini del polinomio.
Es.: –ab -2ab2 +3a2b3c +5a3bc -3bc
Un polinomio è ridotto in forma normale, o semplicemente ridotto, se i termini che lo compongono non sono simili.
Se è formato da due monomi si chiama binomio.
Se è formato da tre monomi si chiama trinomio.
Se è formato da quattro monomi si chiama quadrinomio.
Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è l’esponente maggiore con cui essa compare nel polinomio ridotto a forma normale.
Il grado complessivo del polinomio, o grado del polinomio, è il maggiore tra i gradi dei monomi che
lo compongono.
Il polinomio 6a + 4a2b - b4 è
di grado 2 rispetto alla lettera a;
di grado 4 rispetto alla lettera b;
Il grado complessivo del polinomio è 4.
Il concetto di grado permette di classificare i polinomi.
Per calcolare la somma di due o più polinomi, si tolgono le eventuali
parentesi, si scrivono tutti i termini uno di seguito all’altro e si esegue la riduzione dei termini simili.
Per calcolare la differenza tra due polinomi, si calcola
la somma tra il primo polinomio e l’opposto del secondo, che si ottiene cambiando il segno a tutti i suoi termini.
Il prodotto di un monomio per un polinomio è il polinomio che si ottiene moltiplicando il monomio per ogni termine del polinomio.
Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio e riducendo poi gli eventuali termini simili.
Il quoziente tra un polinomio e un monomio per cui esso è divisibile è un polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del
polinomio per il monomio.
PRODOTTI NOTEVOLI
I prodotti notevoli sono casi particolari di prodotti di polinomi e hanno una interpretazione geometrica.
Consideriamo:
1) Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. (a + b)(a - b)
2) Il quadrato di un binomio. (a + b)2 3) Il cubo di un binomio. (a + b)3
PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA
1) Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale a un binomio che ha come termini: il quadrato del primo monomio,
l’opposto del quadrato del secondo monomio.
(a - b)(a + b) = a2 - b2 Interpretazione geometrica:
QUADRATO DI UN BINOMIO
2) Il quadrato di un binomio è uguale al trinomio che ha come termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo, il quadrato del secondo termine.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Interpretazione geometrica:
CUBO DI UN BINOMIO
3) Il cubo di un binomio è uguale al quadrinomio che ha come termini il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del
secondo, il cubo del secondo termine.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Interpretazione geometrica: (trattandosi di una figura tridimensionale, si vede meglio attraverso un disegno animato).
https://www.youtube.com/watch?v=4riaAQ8XzL0
