Scomposizione di un polinomio in fattori

(1)

Scomposizione di un polinomio in fattori

Una operazione che ha molta importanza in algebra, per le sue applicazioni, è la scomposizione di un polinomio in fattori, cioè la trasformazione di una somma algebrica di monomi in un prodotto.

Non sempre questa scomposizione è possibile, né si può possono dare regole generali atte allo scopo.

Raccoglimento a fattore comune

La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori è quello di METTERE IN EVIDENZA I FATTORI COMUNI ( o meglio il MCD di singoli termini del polinomio)

9 a ² - 6 ab + 3ac = 3a ( 3a - 2 b + c) Raccoglimento a fattore comune parziale

Se il polinomio è del tipo ax + bx + ay + by si può mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due termini, il fattore comune y

ax + bx + ay + by = x ( a + b) + y ( a + b) mettendo ora in evidenza il fattore ( a + b) avremo

ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = ( a + b) (x + y) esempio: xy - x + 2y -2 = x (y -1) + 2 ( y - 1) = ( x + 2 ) ( y -1)

Scomposizione di polinomi in fattori mediante le regole sui prodotti notevoli

1) Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi aumentata del doppio del loro prodotto è uguale al QUADRATO DELLA SOMMA DEI DUE MONOMI

Esempio : 16 a ² + b ² + 8ab = ( +4a ) ² + ( +b ) ² + 2 ( + 4a) ( +b) = ( 4a + b ) ²

2) Un polinomio formato dalla somma dei quadrati di 3 monomi aumentata del doppio prodotto di ciascun monomio per ognuno dei seguenti è uguale al QUADRATO DEL POLINOMIO SOMMA DEI 3 MONOMI

Esempio a ² + 9 b ² + 4 c ² - 6ab - 4 ac + 12 bc = ( a - 3 b - 2 c ) ²

3) la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA.

Esempio 25 x ² - 49 = ( 5x) ² - 7 ² = ( 5x + 7) ( 5x - 7)

4) Un quadrinomio formato dalla somma di due cubi e dei tripli prodotti del quadrato di una base per l’altra base è UGUALE AL CUBO DELLA SOMMA DELLE BASI.

Esempio

8x ³ + 36x ² + 54x + 27 = ( 2x ) ³ + 3( 2x ) ² 3 + 3 ( 2x) ( 3) ² + 3 ³ = (2x +3) ³

(2)

Somma o differenza di due cubi

La somma di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , MENO IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE

a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² – ab + b ² )

La differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL

PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a ³ - b ³ = ( a + b ) ( a ² + ab + b ² )

Scomposizione del trinomio di 2° grado

x ² + ( a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x( x + a) + b( x +a) = ( x + a) ( x +b) esempio

x ² + 5 x + 6 = x ² + 3x + 2x + 2*3 = x( x + 3) + 2( x +3) = ( x + 2) ( x + 3) Scomposizione mediante la regola di Ruffini

Usando il criterio di divisibilità di P (x) per (x –a) e applicando al regola di ruffini si può scomporre un polinomio nella variabile x in fattori tutti o in parte, di 1 ° grado.

Esempio: scomporre il polinomio x ⁴ – x ³ + 3x ² -5x -10 P(x) si annulla per x = -1 e x = 2

P( -1) = 1 + 1 + 3 +5 -10 = 0 P ( 2) = 16 - 8 + 12 -10 -10 = 0

x ⁴ – x ³ + 3x ² -5x -10 = (x ³ –2x ² + 5x -10 )( x +1) = (x ² +5) ( x -2) ( x+1)

(3)

Per trovare il MCD di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta col minimo esponente

Per trovare il mcm di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta col massimo esponente

Esempio

Dati i polinomi 3 x ⁴ – 3x ² ; 9 x ² +18x + 9 ; 6x ³ + 6 x ²

Scomponendo i polinomi in fattori

3 x ⁴ – 3x ² = 3x ² ( x ² – 1) = 3x ² ( x + 1)( x - 1) 9 x ² +18x + 9 = 9 ( x ² +2x + 1) = 9 ( x +1) ²

6x ³ + 6 x 2 = 6 x ² (x + 1)

I fattori ottenuti sono tutti irriducibili e si può calcolare il MCD dei polinomi dati che risulta essere 3 ( x +1) e il mcm che è 18 ( x +1) ² ( x - 1)

Dati i polinomi 2 x ³ – 16 ; x ³ - x ² - 4x + 4 ; x ³ + 2x ² - 4x - 8 2 x ³ – 16 = 2 ( x ³ – 8) = 2 ( x - 2) ( x ² + 2x + 4)

Ricordando che la differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE

a

³

- b

³

= ( a + b ) ( a

²

+ ab + b

²

)

x ³ - x ² - 4x + 4 = x ² (x - 1) - 4 (x - 1) = ( x ² - 4) ( x-1) = ( x+2) ( x-2) ( x -1) infatti ( x ² - 4) = ( x+2) ( x-2)

ricordando che la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA.

Esempio 25 x

²

- 49 = ( 5x)

²

- 7

²

= ( 5x + 7) ( 5x - 7)

x ³ + 2x ² - 4x - 8 = x ² (x + 2) - 4( x +2) = (x ² -4 )( x+2) = ( x -2)( x +2)( x+2) = ( x -2) ( x +2) ²

MCD è ( x - 2 )

mcm è 2( x ² + 2x + 4) ( x-1) ( x -2) ( x +2) ²

Scomposizione di un polinomio in fattori

Scomposizione di un polinomio in fattori

Una operazione che ha molta importanza in algebra, per le sue applicazioni, è la scomposizione di un polinomio in fattori, cioè la trasformazione di una somma algebrica di monomi in un prodotto.

Non sempre questa scomposizione è possibile, né si può possono dare regole generali atte allo scopo.

Raccoglimento a fattore comune

La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori è quello di METTERE IN EVIDENZA I FATTORI COMUNI ( o meglio il MCD di singoli termini del polinomio)

9 a 2 - 6 ab + 3ac = 3a ( 3a - 2 b + c) Raccoglimento a fattore comune parziale

Se il polinomio è del tipo ax + bx + ay + by si può mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due termini, il fattore comune y

ax + bx + ay + by = x ( a + b) + y ( a + b) mettendo ora in evidenza il fattore ( a + b) avremo

ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = ( a + b) (x + y) esempio: xy - x + 2y -2 = x (y -1) + 2 ( y - 1) = ( x + 2 ) ( y -1)

Scomposizione di polinomi in fattori mediante le regole sui prodotti notevoli

1) Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi aumentata del doppio del loro prodotto è uguale al QUADRATO DELLA SOMMA DEI DUE MONOMI

Esempio : 16 a 2 + b 2 + 8ab = ( +4a ) 2 + ( +b ) 2 + 2 ( + 4a) ( +b) = ( 4a + b ) 2

2) Un polinomio formato dalla somma dei quadrati di 3 monomi aumentata del doppio prodotto di ciascun monomio per ognuno dei seguenti è uguale al QUADRATO DEL POLINOMIO SOMMA DEI 3 MONOMI

Esempio a 2 + 9 b 2 + 4 c 2 - 6ab - 4 ac + 12 bc = ( a - 3 b - 2 c ) 2

3) la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA.

Esempio 25 x 2 - 49 = ( 5x) 2 - 7 2 = ( 5x + 7) ( 5x - 7)

4) Un quadrinomio formato dalla somma di due cubi e dei tripli prodotti del quadrato di una base per l’altra base è UGUALE AL CUBO DELLA SOMMA DELLE BASI.

Esempio

8x 3 + 36x 2 + 54x + 27 = ( 2x ) 3 + 3( 2x ) 2 *3 + 3 ( 2x) *( 3) 2 + 3 3 = (2x +3) 3

Somma o differenza di due cubi

La somma di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , MENO IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 – ab + b 2 )

La differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL

PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a 3 - b 3 = ( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 )

Scomposizione del trinomio di 2° grado

x 2 + ( a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x( x + a) + b( x +a) = ( x + a) ( x +b) esempio

x 2 + 5 x + 6 = x 2 + 3x + 2x + 2*3 = x( x + 3) + 2( x +3) = ( x + 2) ( x + 3) Scomposizione mediante la regola di Ruffini

Usando il criterio di divisibilità di P (x) per (x –a) e applicando al regola di ruffini si può scomporre un polinomio nella variabile x in fattori tutti o in parte, di 1 ° grado.

Esempio: scomporre il polinomio x 4 – x 3 + 3x 2 -5x -10 P(x) si annulla per x = -1 e x = 2

P( -1) = 1 + 1 + 3 +5 -10 = 0 P ( 2) = 16 - 8 + 12 -10 -10 = 0

x 4 – x 3 + 3x 2 -5x -10 = (x 3 –2x 2 + 5x -10 )( x +1) = (x 2 +5) ( x -2) ( x+1)

Per trovare il MCD di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta col minimo esponente

Per trovare il mcm di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta col massimo esponente

Esempio

Dati i polinomi 3 x 4 – 3x 2 ; 9 x 2 +18x + 9 ; 6x 3 + 6 x 2

Scomponendo i polinomi in fattori

3 x 4 – 3x 2 = 3x 2 ( x 2 – 1) = 3x 2 ( x + 1)( x - 1) 9 x 2 +18x + 9 = 9 ( x 2 +2x + 1) = 9 ( x +1) 2

6x 3 + 6 x 2 = 6 x 2 (x + 1)

I fattori ottenuti sono tutti irriducibili e si può calcolare il MCD dei polinomi dati che risulta essere 3 ( x +1) e il mcm che è 18 ( x +1) 2 ( x - 1)

Dati i polinomi 2 x 3 – 16 ; x 3 - x 2 - 4x + 4 ; x 3 + 2x 2 - 4x - 8 2 x 3 – 16 = 2 ( x 3 – 8) = 2 ( x - 2) ( x 2 + 2x + 4)

Ricordando che la differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE

a

- b

= ( a + b ) ( a

+ ab + b

)

x 3 - x 2 - 4x + 4 = x 2 (x - 1) - 4 (x - 1) = ( x 2 - 4) ( x-1) = ( x+2) ( x-2) ( x -1) infatti ( x 2 - 4) = ( x+2) ( x-2)

ricordando che la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA.

Esempio 25 x

- 49 = ( 5x)

- 7

= ( 5x + 7) ( 5x - 7)

x 3 + 2x 2 - 4x - 8 = x 2 (x + 2) - 4( x +2) = (x 2 -4 )( x+2) = ( x -2)( x +2)( x+2) = ( x -2) ( x +2) 2

MCD è ( x - 2 )

mcm è 2( x 2 + 2x + 4) ( x-1) ( x -2) ( x +2) 2

9 a ² - 6 ab + 3ac = 3a ( 3a - 2 b + c) Raccoglimento a fattore comune parziale

Esempio : 16 a ² + b ² + 8ab = ( +4a ) ² + ( +b ) ² + 2 ( + 4a) ( +b) = ( 4a + b ) ²

Esempio a ² + 9 b ² + 4 c ² - 6ab - 4 ac + 12 bc = ( a - 3 b - 2 c ) ²

Esempio 25 x ² - 49 = ( 5x) ² - 7 ² = ( 5x + 7) ( 5x - 7)

8x ³ + 36x ² + 54x + 27 = ( 2x ) ³ + 3( 2x ) ² 3 + 3 ( 2x) ( 3) ² + 3 ³ = (2x +3) ³

a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² – ab + b ² )

PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a ³ - b ³ = ( a + b ) ( a ² + ab + b ² )

x ² + ( a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x( x + a) + b( x +a) = ( x + a) ( x +b) esempio

x ² + 5 x + 6 = x ² + 3x + 2x + 2*3 = x( x + 3) + 2( x +3) = ( x + 2) ( x + 3) Scomposizione mediante la regola di Ruffini

Esempio: scomporre il polinomio x ⁴ – x ³ + 3x ² -5x -10 P(x) si annulla per x = -1 e x = 2

x ⁴ – x ³ + 3x ² -5x -10 = (x ³ –2x ² + 5x -10 )( x +1) = (x ² +5) ( x -2) ( x+1)

Dati i polinomi 3 x ⁴ – 3x ² ; 9 x ² +18x + 9 ; 6x ³ + 6 x ²

3 x ⁴ – 3x ² = 3x ² ( x ² – 1) = 3x ² ( x + 1)( x - 1) 9 x ² +18x + 9 = 9 ( x ² +2x + 1) = 9 ( x +1) ²

6x ³ + 6 x 2 = 6 x ² (x + 1)

I fattori ottenuti sono tutti irriducibili e si può calcolare il MCD dei polinomi dati che risulta essere 3 ( x +1) e il mcm che è 18 ( x +1) ² ( x - 1)

Dati i polinomi 2 x ³ – 16 ; x ³ - x ² - 4x + 4 ; x ³ + 2x ² - 4x - 8 2 x ³ – 16 = 2 ( x ³ – 8) = 2 ( x - 2) ( x ² + 2x + 4)

x ³ - x ² - 4x + 4 = x ² (x - 1) - 4 (x - 1) = ( x ² - 4) ( x-1) = ( x+2) ( x-2) ( x -1) infatti ( x ² - 4) = ( x+2) ( x-2)

x ³ + 2x ² - 4x - 8 = x ² (x + 2) - 4( x +2) = (x ² -4 )( x+2) = ( x -2)( x +2)( x+2) = ( x -2) ( x +2) ²

mcm è 2( x ² + 2x + 4) ( x-1) ( x -2) ( x +2) ²