SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in FATTORI

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SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in FATTORI

E' l'operazione che consiste nello scrivere un polinomio sotto forma di un prodotto.

Va detto che non sempre è possibile scomporre un polinomio in fattori, né esistono delle regole sempre applicabili.

Studiamo alcuni metodi che ci permettono di scomporre un polinomio in fattori:

• Raccoglimento a fattor comune totale

• Raccoglimewnto a fattor comune parziale

• Scomposizione mediante i prodotti notevoli:

differenza di due quadrati, quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio,

somma e differenza di due cubi

• Scomposizione di un trinomio particolare di 2° grado

• Scomposizione di un polinomio mediante la regola di Ruffini.

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE:

Se tutti i termini del polinomio sono divisibili per uno stesso monomio, posso raccoglierlo a fattor comune:

Nel polinomio 3x²y −6xy+15x³ tutti i termini sono divisibili per 3x, posso raccoglierlo così:

^3x

(

^{xy −}^2y⁺⁵^x²

)

i termini dentro la parentesi si ottengono dividendo ciascun termine per il fattore raccolto ( ad es 3x²y:3x=xy …) Per ottenere una scomposizione completa devo raccogliere sempre il MCD dei termini del polinomio (prodotto dei soli fattori comuni presi con il minimo esponente)

Alle volte anziché raccogliere a fattor comune un monomio posso raccogliere un polinomio:

Ad esempio: ²

(

^x⁺^y

)

⁻^y

(

^x⁺^y

)

qui si può raccogliere il binomio (x+y)in questo modo ⁼

(

^x⁺^y

)(

2−^y

)

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RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE:

Se non si può raccogliere a fattor comune tra tutti i termini è possibile a volte raccogliere a fattore comune a gruppi di elementi ( gruppi con lo stesso numero di termini).

Ad esempio: 2a+2b−a² −ab raccolgo a 2 a 2 così:

=2

(

^a⁺^b

) (

−^a ^a⁺^b

)

e dato che le due parentesi sono uguali posso fare il successivo raccoglimento ottenendo un prodotto di due binomi

=

(

^a⁺^b

)(

²⁻^a

)

così è scomposto in fattori

N.B: Dopo un raccoglimento parziale deve sempre seguire un raccoglimento totale.

SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

E’ il risultato di un prodotto notevole : a −² ^b² lo scompongo nel prodotto

(

a −^b

)(

^a⁺^b

)

^{, quindi:}

a

²

− b

²

= a +b ( ) ( ^{a − b} )

SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO NEL QUADRATO DI UN BINOMIO:

Un trinomio è un quadrato di un binomio se due dei suoi termini sono i quadrati di due monomi e il terzo termine è il doppio prodotto dei monomi trovati.

Cioè:

^a

²

⁺ ² ^ab+b

²

⁼ ( ^a+b )

²

Ad esempio : x² − x⁴ +⁴ è il quadrato di _{x − 2} perché ^x² è il quadrato di x, 4 è il quadrato di 2 e x

−4 è il doppio prodotto di x e 2 (dato che ha il – davanti, i due termini avranno segno opposto), quindi scompongo così: x²− 4x + 4 = x

( )

²− 2(2)(x) − 2

( )

² ^{= x − 2}

( )

²

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO DI 6 TERMINI NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO:

Un polinomio in 6 termini è un quadrato di un trinomio se tre dei suoi termini sono i quadrati di tre monomi e gli altri tre sono i doppi prodotti dei termini trovati presi a due a due.

Cioè:

a

²

+b

²

+c

²

+2ab +2ac +2bc = a +b +c ( )

²

Ad esempio : x²+ 4y²+ z²+ 4xy +2xz + 4yz = x +2y + z

( )

²

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SCOMPOSIZIONE DI UN QUADRINOMIO NEL CUBO DI UN BINOMIO Riconosco che un quadrinomio è un cubo di un binomio se :

due suoi termini sono due cubi,

gli altri due sono i tripli prodotti presenti nello sviluppo.

( )

³

3 2 2

3

+ 3 a b+ 3 ab +b = a+b a

Ad esempio nel polinomio: a³ +6a²x+12ax² +8x³ individuo ^a³ che è il cubo di a e ^8x³che è il cubo di 2x, gli altri due termini sono i tripli prodotti di a e 2x :

x a x a² 2 6 ²

3⋅ ⋅ = e ³^⋅^a^⋅( )²^x ² ⁼¹²^ax²

quindi scompongo in

(

^a⁺^2x

)

³

SCOMPOSIZIONE DELLA SOMMA E DELLA DIFFERENZA DI DUE CUBI Se dobbiamo scomporre un binomio e vediamo che i due termini che lo formano sono due cubi possiamo utilizzare le formule:

SOMMA DI CUBI ^a³ ⁺^b³ ⁼

(

^a⁺^b

) (

^a² ⁺^b² ⁻^ab

)

DIFFERENZA DI CUBI ^a³^-^b³ ⁼

(

^a ^-^b

) (

^a²⁺^b²⁺^ab

)

Se devo scomporre x³+8

riconosco che è il cubo di x e che 8 è il cubo di 2 quindi scrivo il binomio

(

^x⁺²

)

^{e poi}

lo moltiplico per un trinomio, detto falso quadrato, che è formato dal quadrato di x + il quadrato di 2 – il prodotto di x per 2, otteniamo la seguente scomposizione:

(

^x⁺²

) (

^x²⁺⁴⁻²^x

)

TRINOMIO PARTICOLARE DI 2° GRADO

Se a+b = s e a⋅b = p

Si può scomporre il trinomio di 2° grado nel modo seguente:

(

^x ^a

)(

^x ^b

)

p sx

x² + + = + + infatti:

Osserviamo cosa succede se moltiplichiamo tra loro due binomi di primo grado nella stessa lettera del tipo:

(

^x⁺²

)(

^x⁺⁵

)

⁼^...^...^...^...

dove due termini si sommano e otteniamo il trinomio: ……….

nel quale ^x² ha coefficiente 1;

il termine di primo grado ha coefficiente : …….. che è la somma di ………..;

il termine noto è il prodotto ………..

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Per scomporre un trinomio di quel tipo devo determinare due numeri che diano come somma il coefficiente del termine di 1° grado e come prodotto il termine noto.

ES: scomponiamo x −² 6x+8 dobbiamo determinare due numeri la cui somma = ……….

E il cui prodotto = ………

Una volta trovati scriviamo:

(

x...

) (

x...

)

SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO in FATTORI