Calcolo Vettoriale. Rappresentazione grafica 1 26/10/2021

Calcolo Vettoriale

Molte grandezze fisiche sono completamente quantificabili con un semplice numero: ad esempio massa, temperatura, volume, carica elettrica, ecc. Queste grandezze sono dette scalari.

Altre grandezze invece devono essere descritte non solo da un valore numerico ma anche da una direzione, da un verso e da un punto di applicazione, per essere determinate completamente.

Esempi sono lo spostamento o la velocità di un corpo, la forza applicata ad un corpo, eccetera.

I vettori sono elementi matematici utili per descrivere grandezze caratterizzate non solo da un valore numerico (come le grandezze scalari) ma anche da una direzione, un verso ed un punto di applicazione.

Le quantità vettoriali verranno indicate in grassetto per distinguerle da quelle scalari (ad esempio, w sarà un vettore, mentre w sarà un numero).

Rappresentazione grafica

Un vettore v si rappresenta graficamente con una freccia.

Direzione e verso della freccia sono quelle del vettore. Il valore numerico associato al vettore, detto modulo, |v|, è indicato dalla lunghezza della freccia. L'origine della freccia è il punto di applicazione del vettore.

Le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani sono le componenti del vettore. Nel caso di un vettore V nel piano X-Y abbiamo 2 sole componenti:

V

=|V|cos();

V

=|V|sen();

Nota: nel caso di un vettore V nello spazio tridimensionale (vedi figura) abbiamo:

V_x=|V|sen()cos();

V_y=|V|sen()sin();

V_z=|V|cos();

Rappresentazione analitica

Un vettore si rappresenta analiticamente indicando le componenti sugli assi cartesiani. Per vettori che giacciono sul piano cartesiano bidimensionale X-Y avremo:

v= 



 





y x

v v

Da questa rappresentazione si ricava il modulo (teorema di Pitagora):

|v|²=vx2

+vy2

e l’angolo di inclinazione  del vettore (definizione di tangente):

tan()=vy / vx

Un vettore nello spazio tridimensionale X-Y-Z ha una rappresentazione analitica con 3 componenti:

v=

x y z

v v v

  

  

  e modulo:

|v|²=vx2

+vy2

+vz2

Esercizio 1: Piano Inclinato

Una sciatrice che pesa P=50 kg si trova su una pista inclinata di 30° rispetto all’orizzontale.

Quanto vale la componente della forza peso parallela (PPAR) e quanto quella perpendicolare (PPER) al piano inclinato?

Il peso è rappresentato da un vettore P diretto verticalmente verso il basso e di modulo:

| P | = 50 (kg)

Il vettore P, il piano inclinato e la linea orizzontale formano un triangolo rettangolo (vedi figura).

Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, e l'angolo alla base è retto, allora l’angolo superiore è pari a 90°-, con  l’inclinazione del piano. Quindi la perpendicolare al piano inclinato (linea tratteggiata sotto ai piedi della sciatrice) forma con P un angolo pari a . In questo problema abbiamo che =30°. Quindi la componente di P perpendicolare al piano inclinato è:

PPER=| P | cos () = 50 ×cos 30°= 50×0.866 = 43.3 e quella parallela:

PPAR=| P | sen () = 50 ×sen 30°= 50×0.5 = 25 Si noti che: PPER2

+ PPAR2

=43.3²+25²=1875+625=2500= 50²= | P |²

Compito. Quanto valgono P_PER e P_PARse  fosse un angolo retto? E se il piano non fosse inclinato ma orizzontale?

Operazioni tra vettori

Somma Siano dati i vettori v1= 



 





y x

v v

1

1 e v2= 



 





y x

v v

2 2

Si definisce somma v1+v2 il vettore v3= 



 





y x

v v

3

3 con:

v_3x=v_1x+v_2x v3y=v1y+v2y

Graficamente la somma si ottiene spostando v2 in modo che la sua origine si sovrapponga alla punta di v₁. Il vettore che collega l'origine di v₁ con la punta di v₂ è il vettore somma v₃.

Moltiplicazione di un vettore per numero

Consideriamo un generico numero k e il vettore v= 



 





y x

v v

Il prodotto kv è il vettore w di componenti: w= 



 





y x

kv kv .

Il prodotto amplifica le due componenti dello stesso fattore k, quindi kv è geometricamente simile a v. In particolare ha la stessa direzione di v.

Se k=-1, allora -v= 



 









y x

v v .

Come si vede dalla figura, -v è uguale a v ma ha verso opposto.

Differenza Dati i vettori v1= 



 





y x

v v

1

1 e v2= 



 





y x

v v

2

2 si definisce differenza v1-v2 il vettore v3= 



 





y x

v v

3

3 definito da:

v3x=v1x-v2x

v3y=v1y-v2y

Graficamente è come sommare a v₁ il vettore -v₂ . Quest’ultimo si ottiene ruotando v₂ di 180°.

Esercizio. Tre amici si ritrovano per correre assieme 1 km verso est. Poi si dividono e ognuno percorre un altro km. Qual è la distanza finale dal punto di partenza di ognuno dei tre se il secondo km è percorso:

a) verso ovest; b) verso sud; c) verso est?

Il primo chilometro percorso può essere rappresentato da un vettore di modulo =1 km e diretto verso est.

E

Ad esso si somma un secondo spostamento, rappresentato ancora da un vettore di modulo=1 km.

Direzione e verso del secondo vettore sono però rivolte ad E (c), W (a) o S (b). Risolviamo il problema sia col metodo grafico che con quello analitico

Metodo Grafico c)

=

a)

= 0

b)

=

Metodo Analitico c)



 







 







 





0 2 0 1 0 1

Modulo =

= 2²0²

=2

a)



 







 







 





0 0 0

1 0

1

Modulo=

= 0² 0²

=0

b)



 





 



 





 



 





1 1 1 0 0 1

Modulo=

= 1² 1²

= 2

Esercizio 2. Considerate la forza A, rappresentata dal vettore qui sotto:

200 N

e la forza B rappresentata nei successivi grafici. Calcolare analiticamente il vettore somma C=A+B, e differenza D=A- B dandone una rappresentazione grafica qualitativa (regola del parallelogramma).

Ricordate che:

sen(45°)=0.707; cos(45°)=0.707 sen(30°)=0.5 ; cos (30°)=0.866

2.1) =============================================================

100 N

2.2) =============================================================

200 N

2.3) =============================================================

200 N  =45°

2.4) =============================================================

 =30°

200 N

Esercizio 3. Un numero complesso z=a+ib può essere rappresentato nel piano complesso dal vettore z= a

b

  

 . Rappresentate come vettori i numeri:

z₁=3+i5;

z2=-2+i5;

e calcolate la somma z₃= z₁+i z₂

in modo analitico e col metodo grafico

Rapporto Incrementale e Derivata

Un vettore può essere funzione di una variabile. Ad esempio, v(t) indica che v è funzione del tempo t. In forma analitica abbiamo che:

v(t)=

 

 



 t v

t v

y

x .

Si estende il concetto di rapporto incrementale anche ad una funzione vettoriale:

=

   

   























 







t t v t t v

t t v t t v

y y

x x

La derivata di v(t) è:

v'

 

=

   

   























 















t t v t t

v t

t v t t v

y y

t

x x

t

0 0

lim lim

=

=

 

 



 t v

t v

y x

' '

Esempio: Dato il vettore

v(t)= 



 





4 3 ² t

t

la sua derivata è:

v’(t)= 



 



 1 6t

Nota: in fisica la derivata di un vettore è usata per calcolare il vettore velocità dal vettore spostamento, e il vettore accelerazione dal vettore velocità.

Prodotto Scalare

Dati i vettori v1= 



 





y x

v v

1

1 e v2= 



 





y x

v v

2 2

si definisce prodotto scalare v1  v2 la quantità scalare (cioè il numero):

v₁  v2=| v₁ || v₂ | cos()

Quindi il prodotto scalare tra due vettori è un numero (e non un vettore!).

Si dimostra che il prodotto scalare è uguale a:

v1  v2=v1xv2x+ v1yv2y

Se v₁ e v₂ sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è 0.

Se v1 e v2 sono paralleli, il prodotto scalare è uguale al prodotto dei due moduli.

Inoltre si può facilmente dimostrare che:

v1  v2= v2 v1

v1  (v2+v3)= v1  v2+ v1 v3

Esercizio Sia |v₁|= 2, |v₂|= 5. Quanto vale v₁  v2 se i due vettori

a) sono perpendicolari; b) formano un angolo di 60°;c) formano un angolo di 45°; c) formano un angolo di 30°; d) sono paralleli

Nel 1° caso, cos(90°)=0 e v₁  v2 =2x5x0 =0

Nel 2° caso, cos(60°)=0.5 e v1  v2 =2x5x0.5 =5

Nel 3° caso, cos(45°)=0.707 e v₁  v2 =2x5x0.707 =7.07

Nel 4° caso, cos(30°)=0.866 e v1  v2 =2x5x0.866 =8.66

Nel 5° caso, cos(0°)=1 e v1  v2 =2x5x1 =10

Nota: in fisica il prodotto scalare viene usato per calcolare il lavoro L prodotto da una forza F applicata su di un punto che si sposta della quantità s: L=F s

Prodotto Vettoriale

Dati i vettori v1= 



 





y x

v v

1

1 e v2= 



 





y x

v v

2 2

si definisce prodotto vettoriale v₁  v₂ il vettore v₃ con modulo:

|v₃|=|v₁||v₂|sen() e con direzione perpendicolare al piano definito da v1 e v2.

Il verso del vettore prodotto è indicato dalla "regola della mano destra" (vedi figura).

In termini di componenti si dimostra che:

v_3x=v_1yv_2z-v_2yv_1z v_3y=v_2xv_1z-v_1xv_2z v3z=v1xv2y-v2xv1y

Esercizio

Sia |v1|= 2, |v2|= 5. Quanto vale v3=v1  v2 se i due vettori si trovano entrambi nel piano X-Y e a) sono perpendicolari; b) formano un angolo di 60°;c) formano un angolo di 45°; c) formano un angolo di 30°; d) sono paralleli

Direzione e verso del vettore v3 sono quelli del pollice se mettiamo l’indice diretto come v1 ed il medio come v₂. Per quanto riguarda il modulo abbiamo:

Nel 1° caso, sin(90°)=1 e |v₁v₂|=2x5x1 =10

Nel 2° caso, sin (60°)=0.866 e |v1v2|=2x5x0.866 =8.66

Nel 3° caso, sin (45°)=0.707 e |v₁v₂|=2x5x0.707 =7.07

Nel 4° caso, sin (30°)=0.5 e |v₁v2|=2x5x0.5 =5

Nel 5° caso, sin (0°)=0 e |v1v2|=2x5x1 =0

Nota: in fisica il prodotto vettoriale viene usato per calcolare il momento M prodotto da una forza F applicata su di un braccio b: M=Fb

e per calcolare la forza F che agisce su una carica elettrica q che si muove in un campo magnetico di intensità B con velocità v: F=qvB

Soluzione Esercizi

Esercizio 1

Se =90°, P_PER= 50 ×cos 90°= 0; P_PAR=50 ×sen 90°= 50. Scendendo da una parete verticale, la componente del peso in direzione della parete è nulla.

Se =0°, PPER= 50×cos 0°= 50; PPAR=50 ×sen 0°= 0. Sciando su una pista orizzontale, il peso grava interamente sulla neve.

Esercizio 2 2.1

2.2

2.3

2.4

Esercizio 3