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, siano y la rappresentazione di x in base 2 arrotondata a 7 cifre e z la rappresentazione di y in base 10. Si calcolino l’errore assoluto e l’errore relativo commessi approssimando x con z.

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Academic year: 2021

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(1)

ANALISI NUMERICA, 21/09/2012

1. Dato x = (12.7)

10

, siano y la rappresentazione di x in base 2 arrotondata a 7 cifre e z la rappresentazione di y in base 10. Si calcolino l’errore assoluto e l’errore relativo commessi approssimando x con z.

2. Dato il sistema Ax = b, b ∈ R

3

e

A =

a 0 1

0 a 0

1 0 a

 , a ∈ R

si consideri il metodo iterativo di tipo splitting corrispondente alla de- composizione A = M − N con M matrice diagonale di elementi M

ii

= a

3 , i = 1, 2, 3. Si stabilisca per quali valori di a il metodo ` e convergente.

3. a) Si determi la spline lineare che interpola la funzione f (x) = x

3

+ 3x

nei punti x

1

= 0, x

2

= 1, x

3

= 3. Si stimi l’errore commesso sull’intervallo [0, 3] in norma infinito.

b) Si calcoli il numero minimo di sottointervalli di uguale ampiezza in cui suddividere l’intervallo [0, 1] affinch´ e l’errore commesso in norma infinito interpolando la funzione

f (x) = 4x

2

+ 1 con una spline lineare sia minore di 10

−2

.

4. Si consideri il seguente metodo per l’approssimazione di un problema di Cauchy:

 η

0

= y

0

η

i+i

= η

i

+ αhf (t

i

, η

i

) + βhf (t

i+1

, η

i

+ hf (t

i

, η

i

)),

con α e β costanti positive. Si determini per quali valori di α e β il metodo

`

e consistente.

Effettuata la scelta α = β = 1

2 (metodo di Heun), si determini l’ordine di

consistenza.

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