Esercizio 1.1. Si trovino i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y) = x 2 + y 2 nell’insieme E = {(x, y) ∈ R 2 | x 2 + 4y 2 ≤ 1}.

1 Massimi e minimi di funzioni di pi` u variabili

Esercizio 1.1. Si trovino i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y) = x ² + y ² nell’insieme E = {(x, y) ∈ R ² | x ² + 4y ² ≤ 1}.

L’insieme E ` e rappresentato dalla porzione di piano interna all’ellisse di equazione x ² + 4y ² = 1. Cerchiamo dapprima i punti stazionari della funzione all’interno di E, risolvendo il sistema







∂f

∂x (x, y) = 2x = 0

∂f

∂y (x, y) = 2y = 0

la cui soluzione ` e x = 0 y = 0. Per cui il punto di coordinate (0, 0) ` e un punto stazionario per la funzione f .

Adesso si devono cercare eventuali punti singolari sul bordo ∂E. Si pu` o procedere in due modi:

parametrizzando il bordo tramite una funzione ϕ : I ⊂ R → ∂E e studiare la funzione di una sola variabile f ◦ ϕ : I → R;

oppure usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per trovare i massimi e minimi della funzione f con vincolata alla curva x ² + 4y ² = 1.

Procediamo con la parametrizzazione. Ricordiamo che l’ellisse generica di equazione ^x _a

+

y

b

= 1 si pu` o parametrizzare usando la funzione ϕ : [0, 2π[ → R ²

θ → (a cos θ, b sin θ) , nel nostro caso ϕ(θ) = cos θ, ¹ ₂ sin θ
e quindi

f ◦ ϕ : [0, 2π[ → R

θ → f (ϕ(θ)) = cos ² θ + ¹ ₄ sin ² θ . Studiamo allora la funzione di una sola variabile ˜ f := f ◦ ϕ, la cui derivata ` e

d dθ

f = −2 cos θ sin θ + ˜ 1

2 sin θ cos θ = − 3

2 sin θ cos θ

che si annulla per θ = 0, π/2, π, (3π)/2. I punti stazionari sul bordo sono quindi ϕ(0),ϕ(π/2),ϕ(π) e ϕ( ³ ₂ π) cio` e i punti (1, 0), (0, 1/2), (−1, 0) e (0, −1/2) confrontiamo ora il valore della fun- zione in tutti i punti stazionari trovati sia sul bordo che all’interno della dell’insieme E.

f (0, 0) = 0, f (1, 0) = 1, f (0, 1/2) = 1/4, f (−1, 0) = 1 e f (0, −1/2) = 1/4. I punti di massimo sono quindi i punti (1, 0) e (−1, 0) mentre il punto di minimo ` e il punto (0, 0).

Studiamo invece ora la funzione al bordo di E usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Si tratta di trovare i punti stazionari della funzione g(x, y, λ) = f (x, y) + λF (x, y) con F (x, y) = x ² + 4y ² − 1, quindi g(x, y, λ) = x ² + y ² + λ(x ² + 4y ² − 1).



 

 



 

 



∂

∂x g(x, y, λ) = 2x + λ2x = 0 =⇒ x = 0 ∨ λ = −1

∂

∂y g(x, y, λ) = 2y + λ8y = 0 =⇒ y = 0 ∨ λ = −1/4

∂

∂λ g(x, y, λ) = x ² + 4y ² − 1 = 0

da cui



 

 



 

 



x = 0 λ = −1/4

4y ² − 1 = 0 =⇒ y = ±1/2 e



 

 



 

 



λ = −1 y = 0

x ² − 1 = 0 =⇒ x = ±1 ritroviamo quindi i punti (0, 1/2), (0, −1/2), (1, 0) e (−1, 0).

Esercizio 1.2. Trovare i punti della superficie di equazione F (x, y, z) = z ² − xy − 1 = 0, che hanno minima distanza dall’origine.

Si tratta di trovare il minimo della funzione distanza p

x ² + y ² + z ² vincolata alla curva z ² − xy − 1 = 0. Si ottiene il medesimo risultato usando come funzione il quadrato della distanza f (x, y, z) = x ² + y ² + z ² . Si devono trovare quindi i punti stazionari della funzione g(x, y, z, λ) = x ² + y ² + z ² + λ(z ² − xy − 1).



 

 

 

 



 

 

 

 



∂

∂x g(x, y, z, λ) = 2x − λy = 0 =⇒ x = ¹ ₂ λy

∂

∂y g(x, y, z, λ) = 2y − λx = 0 =⇒ 2y − ¹ ₂ λ ² y = y(2 − ¹ ₂ λ ² ) = 0 =⇒ y = 0 ∨ λ = ±2

∂

∂z g(x, y, z, λ) = 2z + 2λz = 0 =⇒ z = 0 ∨ λ = −1

∂

∂λ g(x, y, z, λ) = z ² − xy − 1 = 0 da cui



 

 

 

 



 

 

 

 



y = 0 x = 0 λ = −1 z ² = 1 =⇒ z = ±1

e



 

 

 

 



 

 

 

 



λ = ±2 x = ±y z = 0

xy = −1 =⇒ x ² = ±1 =⇒ x = ±1

i punti da prendere in considerazione sono dunque (0, 0, −1), (0, 0, 1), (1, −1, 0) e (−1, 1, 0) e quelli che realizzano il minimo sono (0, 0, −1), (0, 0, 1).

Esercizio 1.3. Trovare massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y) = x ² +y ² −(x+y) nell’insieme Q = {(x, y) ∈ R ² | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

L’insieme E ` e il quadrato di lato 2 e spigoli V 1 = (1, −1), V 2 = (1, 1), V 3 = (−1, 1) e V 4 = (−1, −1). Cerchiamo i punti stazionari della funzione f all’interno di Q. Dal sistema







∂

∂x f (x, y) = 2x − 1 = 0 =⇒ x = ¹ ₂

∂

∂y f (x, y) = 2y − 1 = 0 =⇒ y = ¹ ₂

si trova il punto A = ¹ ₂ , ¹ ₂
. Adesso parametrizziamo il lato V 1 V 2 con la curva ϕ 1 : [−1, 1] → R ²

t → (1, t) .

La restrizione di f a V ₁ V ₂ diventa ˜ f (t) := f (ϕ ₁ (t) = 1 + t ² − (1 + t) = t ² + t la cui derivata

d

dt f = 2t − 1 si annulla per t = ˜ ¹ ₂ , quindi sul lato V ₁ V ₂ dobbiamo considerare il punto P ₁ = ϕ ¹ ₂
= 1, ¹ ₂
.

Parametrizziamo ora il lato V ₂ V ₃ con la curva ϕ ₂ (t) = (t, 1) ottenendo il punto stazionario P ₂ = ¹ ₂ , 1
, il lato V 3 V ₄ con ϕ ₃ (t) = (−1, t) ottenendo il punto P ₃ = −1, ¹ ₂ ,
e il lato V 4 V ₁ con ϕ 4 (t) = (t, −1) ottenendo il punto stazionario P 4 = ¹ ₂ , −1
.

Valutiamo ora la funzione nei punti A, P 1 , P 2 , P 3 , P 4 e nei vertici V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , ottenendo il punto di massimo in V ₄ con f (V ₄ ) = 4 ed il punto di minimo in A, con f (A) = − ¹ ₂ .

Esercizio 1.4. Si trovino massimo e minimo della funzione f (x, y, z) = x ² − y ² + z ² in E = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² + z ² ≤ 1, z ≥ 0}.

L’insieme E ` e rappresentato da una semisfera. I punti stazionari di f all’interno di E sono dati dalla soluzione del sistema



 

 



 

 



∂

∂x f = 2x = 0

∂

∂y f = −2y = 0

∂

∂z f = 2z = 0 che ` e il punto (0, 0, 0).

Il bordo di E deve essere suddiviso nei tre pezzi 1. S ₁ = {x ² + y ² + z ² = 1, z > 0}

2. D = {x ² + y ² < 1, z = 0}

3. C = {x ² + y ² = 1, z = 0}

e si deve studiare separatamente ogni singola parte.

Parametrizziamo la superficie S 1 . Utilizzando le coordinate sferiche consideriamo la superficie di equazione

γ : [0, π[×] − ^π ₂ , ^π ₂ [ → R ³

(θ, ϕ) → (sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ) .

Consideriamo la funzione di due variabili ˜ f (θ, ϕ) = (f ◦ γ)(θ, ϕ) = sin ² ϕ cos ² θ − sin ² ϕ sin ² θ + cos ² ϕ e consideriamo il seguente sistema in θ e ϕ nell’insieme [0, π[×] − ^π ₂ , ^π ₂ [







∂

∂θ f (θ, ϕ) = −4 cos θ sin θ sin ˜ ² ϕ = 0 =⇒ ϕ = 0 , θ ∈ [0, π[ ∨ ϕ ∈] − ^π ₂ , ^π ₂ [, θ = 0, ^π ₂

∂

∂ϕ f (θ, ϕ) = −4 sin ϕ cos ϕ sin ˜ ² θ = 0 =⇒ ϕ = 0 , θ ∈ [0, π[ ∨ ϕ ∈] − ^π ₂ , ^π ₂ [, θ = 0 il sistema ` e quindi soddisfatto per ϕ ∈] − ^π ₂ , ^π ₂ [, θ = 0, quindi dobbiamo considerare tutti i punti del tipo γ(0, ϕ) = (sin ϕ, 0, cos ϕ) con ϕ ∈] − ^π ₂ , ^π ₂ [.

Parametrizziamo ora il disco D, con

γ : [0, 1[×[0, 2π[ → R ³

(ρ, θ) → (ρ cos θ, ρ sin θ, 0) ,

quindi consideriamo la funzione ˜ f (ρ, θ) = f (γ(ρ, θ)) = ρ ² (cos ² θ − sin ² θ) = ρ ² cos 2θ e studiamone il gradiente. Il sistema

( _∂

∂ρ f (ρ, θ) = 2ρ cos 2θ = 0 ˜

∂

∂θ f (ρ, θ) = −2ρ ˜ ² sin 2θ = 0

ha come soluzione ρ = 0 e θ ∈ [0, 2π[, e si ritrova il punto stazionario (0, 0, 0).

Parametrizziamo infine il cerchio C con

γ : [0, 2π[ → R ³

θ → (cos θ, sin θ, 0) ,

e consideriamo la funzione ˜ f (θ) = f (γ(θ)) = cos ² θ − sin ² θ, la cui derivata _dθ ^d f (θ) = ˜

−4 cos θ sin θ si annulla per θ = 0, ^π ₂ , π, ³ ₂ π. Dobbiamo considerare dunque i punti (1, 0, 0), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) e (0, −1, 0).

Confrontando il valore della funzione in tutti i punti trovati, abbiamo che i punti di minimo sono (0, −1, 0) e (0, 1, 0) in cui la funzione assume valore −1, e i punti di massimo sono i punti del tipo (sin ϕ, 0, cos ϕ) con ϕ ∈ [− ^π ₂ , ^π ₂ ] in cui f (sin ϕ, 0, cos ϕ) = 1.

Esercizio 1.5. Si trovino i massimi e minimi relativi della funzione f (x, y, z) = x ⁴ + x ² + y ³ + z ³ − 3yz.

Studiamo il sistema ∇f = 0



 

 



 

 



f _x = 4x ³ + 2x = 2x(2x ² + 1) = 0 =⇒ x = 0

f _y = 3y ² − 2z = 0 3y ² − 2y = y(3y − 2) = 0 =⇒ y = 0 ∨ y = ² ₃

⇑

f z = 2z − 2y = 0 =⇒ z = y

i punti stazionari sono dunque O = (0, 0, 0) e A = (0, ² ₃ , ² ₃ ). Studiamo ora la matrice Hessiana

H(x, y, z) =













12x ² + 2 0 0

0 6y −2

0 −2 2











 e per il punto O abbiamo

H(0, 0, 0) =













2 0 0

0 0 −2

0 −2 2













ed i minori risultano essere H ₁ = 2, H ₂ = 0 e H ₃ = −8, non ci sono dunque le condizioni necessarie di massimo o di minimo, il punto O ` e quindi punto di sella.

Per quanto riguarda il punto A abbiamo

H

 0, 2

3 , 2 3



=













2 0 0

0 4 −2

0 −2 2













e risulta H ₁ = 2, H ₂ = 8 e H ₃ = 8, dunque A ` e punto di minimo relativo.