Esercizi del 4 marzo 2009 non risolti in classe Ricordatevi che in ognuno di questi esercizi la successione a

Esercizi del 4 marzo 2009 non risolti in classe

Ricordatevi che in ognuno di questi esercizi la successione a _n deve essere limitata sia inferiormente che superiormente!

Esercizio 10. In generale se X; Y  R e X  Y , allora sup X  sup Y . Così, dato che fa k : k  n + 1g  fa k : k  ng, si ha

b _n+1 = supfa _k : k  n + 1g  supfa _k : k  ng = b _n ;

ovvero la successione b _n è non crescente. Se b _n non fosse limitata inferiormente, dato che è una successione non crescente, allora inf _n2N b _n = 1, ma allora si avrebbe anche inf _n2N a _n = 1 e questo è assurdo poichè a _n è limitata.

Osserviamo che per l'Esercizio 9 la successione b n è convergente! Il massimo limite della successione a n si denisce come

n!1 lim sup a _n = lim

n!1 b _n :

Esercizio 11. In generale se X; Y  R e X  Y , allora inf X  inf Y . Così, dato che fa k : k  n + 1g  fa k : k  ng, si ha

c n+1 = inffa k : k  n + 1g  inffa k : k  ng = c n ;

ovvero la successione c _n è non decrescente. Se c _n non fosse limitata superiormen- te, dato che è una successione non decrescente, allora sup _n2N c _n = 1, ma allora si avrebbe anche sup _n2N a _n = 1 e questo è assurdo poichè a _n è limitata.

Per risolvere quest'ultimo esercizio, abbiamo soltanto modicato opportuna- mente l'esercizio precedente e osserviamo che anche in questo caso la successione c n è convergente! Il minimo limite della successione a n si denisce come

n!1 lim inf a n = lim

n!1 c n : Esercizio 12. Abbiamo a _n = 1=n, allora

b n = supf1=k : k  ng = 1

n e c n = inff1=k : k  ng = 0:

Dunque

n!1 lim sup 1 n = lim

n!1 b _n = lim

n!1

1 n = 0 mentre

n!1 lim inf 1 n = lim

n!1 c n = lim

n!1 0 = 0:

È conveniente dimostrare un'utile caratterizzazione del massimo e minimo limite:

Proposizione 1. Sia a n una successione limitata, allora lim

n!1 inf a n = l se e soltanto se per ogni " > 0 risulta:

1

i) fn 2 N : a _n < l + "g è innito;

ii) esiste N 2 N tale che per ogni n  N si ha l " < a _n . Analogamente, lim

n!1 sup a _n = l se e soltanto se per ogni " > 0 risulta:

i) fn 2 N : a n > l "g è innito;

ii) esiste N 2 N tale che per ogni n  N si ha a _n < l + ".

Dimostrazione. Dimostriamo soltanto il primo caso (il secondo è analogo). Ab- biamo che lim

n!1 inf a n = l se e soltanto se per ogni " > 0 si ha l " < c _n = inf

kn a _k < l + ";

cioè se e soltanto se. per ogni " > 0, si ha 8 <

:

8N 2 N; inf

kN a _k < l + ";

9N 2 N tale che l " < inf

kN a _k ; ovvero se e soltanto se, per ogni " > 0, risulta

 8N 2 N; 9n  N tale che a n < l + ";

9N 2 N tale che 8n  N; l " < a n ;

quindi se e soltanto se, per ogni " > 0, sono vericate le condizioni i) e ii).

Esercizio 13. Per ogni k 2 N si ha c n = inf

kn a n  sup

kn a n = b n :

Poichè c n è non decrescente e b n è non crescente, si ha quindi

n!1 lim inf a n  lim

n!1 sup a n ;

scambiando a _n con una estratta a _n

in quest'ultima disuguaglianza, abbiamo anche che

n!1 lim inf a _n

 lim

n!1 sup a _n

:

Inoltre, poichè n k è una successione strettamente crescente di numeri naturali, per ogni N 2 N si ha che

fa n

: k  Ng  fa n : n  Ng;

dato che n k  k  N, quindi

c _n  c _n

e b _n

 b _n ;

passando al limite e mettendo insieme con la disugualgianza di prima si ha

n!1 lim inf a _n  lim

n!1 inf a _n

 lim

n!1 sup a _n

 lim

n!1 sup a _n :

Queste disuguaglianze ci dicono che se a è un punto d'accumulazione per a n , allora

n!1 lim inf a n  a  lim

n!1 sup a n :

Per concludere l'esercizio bisogna dunque dimostrare che massimo e minimo li- mite sono punti d'accumulazione per a _n , ma questo segue dalla caratterizzazione data nella Proposizione 1.

2

Esercizio 14. Supponiamo che lim a _n = l, allora per la denizione di limite,

ssato " > 0, questo l verica le proprietà i) e ii) della Proposizione 1, sia per il massimo limite che per il minimo limite e dunque

l = lim

n!1 inf a _n = lim

n!1 sup a _n : Viceversa, supponiamo che valga

l = lim

n!1 inf a _n = lim

n!1 sup a _n ;

allora, ssato " > 0, per il punto ii) della proposizione 1, applicato sia al massimo limite che al minimo limite, si ha che esiste un N 2 N tale che per ogni n  N, l " < a _n < l + ", ovvero l = lim a _n .

Esercizio 15. Per a _n = ( 1) ⁿ si ha

b n = supf( 1) ^k : k  ng = supf1g = 1 e c n = inff( 1) ^k : k  ng = inff1g = 1;

quindi

n!1 lim sup( 1) ⁿ = 1 e lim

n!1 inf( 1) ⁿ = 1:

Per a n = ( 1) ⁿ (1 1=n) si ha b n = 1 e c n = 1, quindi

n!1 lim sup( 1) ⁿ (1 1=n) = 1 e lim

n!1 inf( 1) ⁿ (1 1=n) = 1:

Per a n = ( 1) ^{n n} _n+1 si ha b n = 1 e c n = 1, quindi

n!1 lim sup( 1) ⁿ n

n + 1 = 1 e lim

n!1 inf( 1) ⁿ n

n + 1 = 1:

Per a n = ⁿ⁺¹ _n

si ha b n = ⁿ⁺¹ _n

e c n = 0, quindi

n!1 lim sup n + 1

n ² = 0 e lim

n!1 inf n + 1 n ² = 0:

Per a n = ⁿ⁺¹ _n+3 si ha b n = 1 e c n = ⁿ⁺¹ _n+3 , quindi

n!1 lim sup n + 1

n + 3 = 1 e lim

n!1 inf n + 1 n + 3 = 1:

Esercizio 16. Poichè 0 e 1 sono punti d'accumulazione per la successione r _n e sono il più gande e il più piccolo valore che la successione assume si ha

n!1 lim sup r n = 1 e lim

n!1 inf r n = 0:

3

Esercizio 17. Chiamiamo l = inf E. Per come è denito E, allora l soddisfa le seguenti due condizioni

 8 2 E; l  

8" > 0; 9 2 E tale che  < l + ":

Poichè  < a _n per un insieme conito di indici n, esiste N 2 N tale che   a _n per ogni n  N; così ssato " > 0 per ogni  2 E esiste n 2 N tale che  " < a _n e dunque a _n < l " è vericata per inniti indici n, ovvero l verica la condizione i) della Proposizione 1. Dal fatto che esiste N 2 N per cui  > a _n per ogni n > N, dalla seconda riga delle condizioni nella parentesi, si ottiene che ssato

" > 0 esiste N 2 N tale che per ogni n  N si ha l + " >  > a _n . Quindi l verica anche la condizione ii) della Proposizione 1, perciò l = lim sup a n .

Per Enunciare un risultato analogo per il minimo limite bisogna porre E = f 2 R :  < a n per un insime conito di indici ng. Seguendo quanto fatto sopra, vericate che eettivamente lim inf a n = sup E.

4