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1.2Esercizio:funzionediscontinua 1.1Esercizio:casoregolare 1Convoluzioneinferiore

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizi del 24 aprile 2017

Nome: Cognome: Matricola:

1 Convoluzione inferiore

1.1 Esercizio: caso regolare Consideriamo il seguente esempio. Sia

f (x) = kxk 2 .

f ✏ (x) = inf

y 2R

N

 X N

k=1

y k 2 + 1 2✏

X N k=1

(x k y k ) 2 . (1)

Per x fissato, denotiamo con

F ✏ (y) = X N k=1

y k 2 + 1 2✏

X N k=1

(x k y k ) 2

D y

j

F ✏ = 2y j 1

✏ (x j y j ) = 0. j = 1, . . . , N Quindi

y j = 1 2✏ + 1 x j , e sostituendo

f ✏ (x) =

✓ X N

k=1

1 (2✏ + 1) 2 x 2 k

◆ + 1

2✏

X N k=1

(2✏ 1

2✏ + 1 x k ) 2 . Semplificando

f ✏ (x) = 1 2✏ + 1

X N k=1

x 2 k = 1

2✏ + 1 kxk 2 .

1.2 Esercizio: funzione discontinua f (x) =

( 1 x  0 1 x > 0

f ✏ (x) = inf

y 2R

f (y) + kx yk 2 2✏

f ✏ (x) = min

y inf 0

f (y) + |x y| 2 2✏

◆ , inf

y>0

f (y) + |x y| 2 2✏

f ✏ (x) = min

y inf 0

1 + |x y | 2 2✏

◆ , inf

y>0

1 + |x y | 2 2✏

f ✏ (x) = 8 <

:

1 x  0

min

✓

1 + x 2✏

2

, 1 x > 0

min

✓

1 + x 2 2✏

, 1 = 1 + x 2

2✏ 1 + x 2 2✏  1 1 + x 2

2✏  1 () x 2  4✏ () |x|  2 p

f ✏ (x) = 8 >

<

> :

1 x  0

1 + x 2✏

2

0 < x  2 p

✏ 1 x > 2 p

(2)

2 Esercizio: Condizioni KKT

Si vuole minimizzare la funzione

f (x 1 , x 2 ) = x 2 1 + x 2 , soggetta ai vincoli

x 2 1 + x 2 2 4  0

x 1 + x 2 1  0

Scrivere le condizioni KKT e fare i calcoli

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