9. ESERCIZI su INTEGRALI CURVILINEI
Calcolare i seguenti integrali curvilinei lungo la curva indicata
1.
Z
x x3ds essendo la curva '(t) = (t3, t2),2 [ 1, 1].
2.
Z
xy ds dove `e la curva semplice avente sostegno{(x, y) 2 R2| x2+y42 = 1, x 0, y 0}
3.
Z
2x ds dove `e la curva semplice avente per sostegno la frontiera dell’insieme D ={(x, y) | x42 + y2 1, x p
2}.
4.
Z
xy2ds dove `e l’elica cilindrica '(t) = (cos t, sin t, 2t), t2 [0,⇡2].
5.
Z
3x z ds dove `e la curva semplice avente per sostegno l’intersezione del paraboloide z = x2+ y2+ 1 con il piano z = 2x + 1 nella regione y 0.
6.
Z
x2 y2ds essendo la curva semplice avente per sostegno l’intersezione del cilindro x2+ y2 = 1 con il parabolide z = 2x2+ y2 nella regione x 0, z 32.
7.
Z
x ds, `e la curva semplice avente per sostegno l’intersezione delle superfici y =p
3x2 e p
3z = 2xy nella regione 0 z 16.
Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi filiformi disposti lungo il sostegno delle curve indicate.
8. La cicloide '(t) = (r(t sin t), r(1 cos t)), t2 [0, 2⇡], di densit`a di massa costante;
9. La letteraLsapendo che la lunghezza del segmento verticale `e il doppio di quella del segmento orizzontale e che la densit`a di massa del segmento orizzontale `e il triplo di quella del segmento verticale, costante nei due segmenti;
10. La curva semplice avente per sostegno la frontiera dell’insieme D = {(x, y) 2 R2 | (x 1)2+ y2 1, x2+ y2 1} di densit`a di massa (x, y) = x2+ 1;
11. L’elica cilindrica '(t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t2 [0, 4⇡], di densit`a di massa (x, y, z) = z2;
12. La curva semplice avente per sostegno l’intersezione della sfera x2+ y2+ z2= 4 con il piano x = y nella regione z 0 di densit`a di massa costante.
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